时间
数学
线性代数
具体型行列式的计算
化为基本形（12 + 1）
爪形行列式
1 1 1 1 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 \] ⇒ 第3列的( − 1 3 )倍加到第1列 第4列的( − 1 4 )倍加到第1列 性质7： 第2列的( − 1 2 )倍加到第1列 \[ 1 − 1 2 − 1 3 − 1 4 1 1 1 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 \] = ( 1 − 1 2 − 1 3 − 1 4 ) × 2 × 3 × 4 = 24 − 12 − 8 − 6 = − 2 \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \& 1 \& 1 \\\\ 1 \& 2 \& 0 \& 0 \\\\ 1 \& 0 \& 3 \& 0 \\\\ 1 \& 0 \& 0 \& 4 \\end{bmatrix} \\xRightarrow\[\\substack{\\text{第3列的($-\\frac{1}{3}$)倍加到第1列} \\\\\\ \\\\ \\text{第4列的($-\\frac{1}{4}$)倍加到第1列}}\]{\\substack{\\text{性质7：} \\\\ \\text{第2列的($-\\frac{1}{2}$)倍加到第1列}}} \\begin{bmatrix} 1-\\frac{1}{2}-\\frac{1}{3}-\\frac{1}{4} \& 1 \& 1 \& 1 \\\\ 0 \& 2 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 3 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 4 \\end{bmatrix} \\\\\\ \\\\ \\begin{align} \\notag\& = (1-\\frac{1}{2}-\\frac{1}{3}-\\frac{1}{4}) × 2 × 3 × 4 \\\\ \\notag\& = 24 - 12 - 8 - 6 \\\\ \\notag\& = -2 \\end{align} 1111120010301004 性质7：第2列的(−21)倍加到第1列 第3列的(−31)倍加到第1列 第4列的(−41)倍加到第1列 1−21−31−41000120010301004 =(1−21−31−41)×2×3×4=24−12−8−6=−2 **方法总结** 对于四种爪性行列式： 左上爪 = \[ a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 0 0 a 31 0 a 33 0 a 41 0 0 a 44 \] 左下爪 = \[ a 11 0 0 a 14 a 21 0 a 23 0 a 31 a 32 0 0 a 41 a 42 a 43 a 44 \] 右上爪 = \[ a 11 a 12 a 13 a 14 0 0 a 23 a 24 0 a 32 0 a 34 a 41 0 0 a 44 \] 右下爪 = \[ a 11 0 0 a 14 0 a 22 0 a 24 0 0 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 \] {左上爪} = \\begin{bmatrix} \\color{red}a_{11} \& \\color{red}a_{12} \& \\color{red}a_{13} \& \\color{red}a_{14} \\\\ \\color{red}a_{21} \& \\color{red}a_{22} \& 0 \& 0 \\\\ \\color{red}a_{31} \& 0 \& \\color{red}a_{33} \& 0 \\\\ \\color{red}a_{41} \& 0 \& 0 \& \\color{red}a_{44} \\end{bmatrix} {左下爪} = \\begin{bmatrix} \\color{red}a_{11} \& 0 \& 0 \& \\color{red}a_{14} \\\\ \\color{red}a_{21} \& 0 \& \\color{red}a_{23} \& 0 \\\\ \\color{red}a_{31} \& \\color{red}a_{32} \& 0 \& 0 \\\\ \\color{red}a_{41} \& \\color{red}a_{42} \& \\color{red}a_{43} \& \\color{red}a_{44} \\end{bmatrix} \\\\\\ \\\\ {右上爪} = \\begin{bmatrix} \\color{red}a_{11} \& \\color{red}a_{12} \& \\color{red}a_{13} \& \\color{red}a_{14} \\\\ 0 \& 0 \& \\color{red}a_{23} \& \\color{red}a_{24} \\\\ 0 \& \\color{red}a_{32} \& 0 \& \\color{red}a_{34} \\\\ \\color{red}a_{41} \& 0 \& 0 \& \\color{red}a_{44} \\end{bmatrix} {右下爪} = \\begin{bmatrix} \\color{red}a_{11} \& 0 \& 0 \& \\color{red}a_{14} \\\\ 0 \& \\color{red}a_{22} \& 0 \& \\color{red}a_{24} \\\\ 0 \& 0 \& \\color{red}a_{33} \& \\color{red}a_{34} \\\\ \\color{red}a_{41} \& \\color{red}a_{42} \& \\color{red}a_{43} \& \\color{red}a_{44} \\end{bmatrix} 左上爪= a11a21a31a41a12a2200a130a330a1400a44 左下爪= a11a21a31a4100a32a420a230a43a1400a44 右上爪= a1100a41a120a320a13a2300a14a24a34a44 右下爪= a1100a410a220a4200a33a43a14a24a34a44 在计算时都是利用斜爪消除平爪或者竖爪，将其化成12 + 1 的基本形 ###### 特殊行列式 \[ 1 − 1 1 x − 1 1 − 1 x + 1 − 1 1 x − 1 1 − 1 x + 1 − 1 1 − 1 \] ⇒ 第3列的1倍加到第2列 第4列的1倍加到第3列 性质7： 第2列的1倍加到第1列 \[ 0 0 x x − 1 0 x x − 1 x x 0 − 1 x 0 0 − 1 \] ⇒ 第3列的 1 x 倍加到第4列 性质7： 第1列的 1 x 倍加到第4列 \[ 0 0 x x 0 x x 0 x x 0 0 x 0 0 0 \] = ( − 1 ) 4 × 3 2 x 4 = x 4 \\begin{bmatrix} 1 \& -1 \& 1 \& x -1 \\\\ 1 \& -1 \& x + 1 \& -1 \\\\ 1 \& x - 1 \& 1 \& -1 \\\\ x + 1 \& -1 \& 1 \& -1 \\end{bmatrix} \\xRightarrow\[\\substack{\\text{第3列的1倍加到第2列} \\\\\\ \\\\ \\text{第4列的1倍加到第3列}}\]{\\substack{\\text{性质7：} \\\\\\ \\\\ \\text{第2列的1倍加到第1列}}} \\begin{bmatrix} 0 \& 0 \& x \& x -1 \\\\ 0 \& x \& x \& -1 \\\\ x \& x \& 0\& -1 \\\\ x \& 0 \& 0\& -1 \\end{bmatrix} \\\\\\ \\\\ \\xRightarrow\[\\substack{\\text{第3列的$\\frac{1}{x}$倍加到第4列} \\\\\\ \\\\ \\text{}}\]{\\substack{\\text{性质7：} \\\\\\ \\\\ \\text{第1列的$\\frac{1}{x}$倍加到第4列}}} \\begin{bmatrix} 0 \& 0 \& x \& x \\\\ 0 \& x \& x \& 0 \\\\ x \& x \& 0\& 0 \\\\ x \& 0 \& 0\& 0 \\end{bmatrix} = (-1)\^{\\frac{4×3}{2}}x\^4 = x\^4 111x+1−1−1x−1−11x+111x−1−1−1−1 性质7： 第2列的1倍加到第1列 第3列的1倍加到第2列 第4列的1倍加到第3列 00xx0xx0xx00x−1−1−1−1 性质7： 第1列的x1倍加到第4列 第3列的x1倍加到第4列 00xx0xx0xx00x000 =(−1)24×3x4=x4 **方法总结** 我们可以通过行列式的性质将行列式简化成 12 + 1 的基本形 > **简便计算**：当行列式的行元素差别不大，且第1列元素大部分相同时，则 > > * 将第一行的（-1）倍加至其余行，化简行列式 > * 对化简整理后的行列式利用行列式的性质，将其化为 12 + 1的基本形 ###### 行（列）和相等行列式 D n = \[ a b b ⋯ b b a b ⋯ b b b a ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b b b ⋯ a \] ⇒ ⋯ 第n列的-1倍加到第n - 1列 性质7： 第n列的-1倍加到第1列 \[ a − b 0 0 ⋯ b 0 a − b 0 ⋯ b 0 0 a − b ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b − a b − a b − a ⋯ a \] 右下爪行列式 ⇒ 性质 3 ：提出第 n 行的公因式 b − a ( b − a ) \[ a − b 0 0 ⋯ b 0 a − b 0 ⋯ b 0 0 a − b ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 1 ⋯ a b − a \] ⇒ ⋯ 第n-1行的 − 1 a − b 倍加到第n行 性质7： 第1行的 − 1 a 倍加到第n行 ( b − a ) \[ a − b 0 0 ⋯ b 0 a − b 0 ⋯ b 0 0 a − b ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ a b − a + ( n − 1 ) ( − b a − b ) \] = ( b − a ) ∗ ( a − b ) n − 1 ∗ \[ a b − a + ( n − 1 ) ( − b a − b ) \] = ( b − a ) ∗ ( a − b ) n − 1 ∗ \[ a b − a + ( n − 1 ) ( b b − a ) \] = ( a − b ) n − 1 ∗ \[ a + ( n − 1 ) b \] {D_n} = \\begin{bmatrix} a \& b \& b \& \\cdots \& b \\\\ b \& a \& b \& \\cdots \& b \\\\ b \& b \& a \& \\cdots \& b \\\\ \\vdots \& \\vdots \& \\vdots \& \\ddots \& \\vdots \\\\ b \& b \& b \& \\cdots \& a \\end{bmatrix} \\xRightarrow\[\\substack{\\text{$\\cdots$} \\\\\\ \\\\ \\text{第n列的-1倍加到第n - 1列}}\]{\\substack{\\text{性质7：} \\\\\\ \\\\ \\text{第n列的-1倍加到第1列}}} \\begin{bmatrix} a-b \& 0 \& 0 \& \\cdots \& b \\\\ 0 \& a - b \& 0 \& \\cdots \& b \\\\ 0 \& 0 \& a - b \& \\cdots \& b \\\\ \\vdots \& \\vdots \& \\vdots \& \\ddots \& \\vdots \\\\ b - a \& b - a \& b - a\& \\cdots \& a \\end{bmatrix} \\\\\\ \\\\ {右下爪行列式}\\xRightarrow{性质3：提出第n行的公因式b - a} {(b-a)} \\begin{bmatrix} a-b \& 0 \& 0 \& \\cdots \& b \\\\ 0 \& a - b \& 0 \& \\cdots \& b \\\\ 0 \& 0 \& a - b \& \\cdots \& b \\\\ \\vdots \& \\vdots \& \\vdots \& \\ddots \& \\vdots \\\\ 1 \& 1 \& 1 \& \\cdots \& \\frac{a}{b-a} \\end{bmatrix} \\\\\\ \\\\ \\xRightarrow\[\\substack{\\text{$\\cdots$} \\\\\\ \\\\ \\text{第n-1行的$-\\frac{1}{a-b}$倍加到第n行}}\]{\\substack{\\text{性质7：} \\\\\\ \\\\ \\text{第1行的$-\\frac{1}{a}$倍加到第n行}}} {(b-a)} \\begin{bmatrix} a - b \& 0 \& 0 \& \\cdots \& b \\\\ 0 \& a - b \& 0 \& \\cdots \& b \\\\ 0 \& 0 \& a - b \& \\cdots \& b \\\\ \\vdots \& \\vdots \& \\vdots \& \\ddots \& \\vdots \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& \\cdots \& \\frac{a}{b-a}+(n-1)(-\\frac{b}{a-b}) \\end{bmatrix} \\\\\\ \\\\ \\begin{align} \\notag\& = (b - a) \* (a - b)\^{n -1} \*\[ \\frac{a}{b-a}+(n-1)(-\\frac{b}{a-b})\] \\\\ \\notag\& = (b - a) \* (a - b)\^{n -1} \*\[ \\frac{a}{b-a}+(n-1)(\\frac{b}{b-a})\] \\\\ \\notag\& = (a - b)\^{n-1} \* \[a + (n-1)b\] \\end{align} Dn= abb⋮bbab⋮bbba⋮b⋯⋯⋯⋱⋯bbb⋮a 性质7： 第n列的-1倍加到第1列 ⋯ 第n列的-1倍加到第n - 1列 a−b00⋮b−a0a−b0⋮b−a00a−b⋮b−a⋯⋯⋯⋱⋯bbb⋮a 右下爪行列式性质3：提出第n行的公因式b−a (b−a) a−b00⋮10a−b0⋮100a−b⋮1⋯⋯⋯⋱⋯bbb⋮b−aa 性质7： 第1行的−a1倍加到第n行 ⋯ 第n-1行的−a−b1倍加到第n行(b−a) a−b00⋮00a−b0⋮000a−b⋮0⋯⋯⋯⋱⋯bbb⋮b−aa+(n−1)(−a−bb) =(b−a)∗(a−b)n−1∗\[b−aa+(n−1)(−a−bb)\]=(b−a)∗(a−b)n−1∗\[b−aa+(n−1)(b−ab)\]=(a−b)n−1∗\[a+(n−1)b
方法总结
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笨方法：按照上述展示过程，利用行列式的性质逐步化简至 12 + 1 的基本形
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简便方法：当行列式中每行（列）元素之和相等时，将其余各列（行）加到第1列（行），让后提出公因式，进行初步化简；最后根据行列式的性质进一步化简成 12 + 1 的基本形
X型行列式
a 1 0 0 b 1 0 a 2 b 2 0 0 b 3 a 3 0 b 4 0 0 a 4 \] ⇒ 性质5： 第2列与第4列互换 \[ a 1 b 1 0 0 0 0 b 2 a 2 0 0 a 3 b 3 b 4 a 4 0 0 \] ⇒ 性质5： 第2行与第4行互换 \[ a 1 b 1 0 0 b 4 a 4 0 0 0 0 a 3 b 3 0 0 b 2 a 2 \] ⇒ 分块行列式 \[ A 0 0 B \] 由拉普拉斯展开式可得 \[ A 0 0 B \] = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = ( a 1 a 4 − b 1 b 4 ) ( a 3 a 2 − b 3 b 2 ) \\begin{bmatrix} a_1 \& 0 \& 0 \& b_1 \\\\ 0 \& a_2 \& b_2 \& 0 \\\\ 0 \& b_3 \& a_3 \& 0 \\\\ b_4 \& 0 \& 0 \& a_4 \\end{bmatrix} \\xRightarrow\[\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{}}\]{\\substack{\\text{性质5：} \\\\\\ \\\\ \\text{第2列与第4列互换}}} \\begin{bmatrix} a_1 \& b_1 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& b_2 \& a_2 \\\\ 0 \& 0 \& a_3 \& b_3 \\\\ b_4 \& a_4 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} \\\\\\ \\\\ \\xRightarrow\[\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{}}\]{\\substack{\\text{性质5：} \\\\\\ \\\\ \\text{第2行与第4行互换}}} \\begin{bmatrix} a_1 \& b_1 \& 0 \& 0 \\\\ b_4 \& a_4 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& a_3 \& b_3 \\\\ 0 \& 0 \& b_2 \& a_2 \\end{bmatrix} \\xRightarrow\[\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{}}\]{\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{分块行列式}}} \\begin{bmatrix} A \& 0 \\\\ 0 \& B \\end{bmatrix} \\\\\\ \\\\ {由拉普拉斯展开式可得} \\begin{bmatrix} A \& 0 \\\\ 0 \& B \\end{bmatrix} = \|A\|\|B\|=(a_1a_4 - b_1b_4)(a_3a_2-b_3b_2) a100b40a2b300b2a30b100a4 性质5： 第2列与第4列互换 a100b4b100a40b2a300a2b30 性质5： 第2行与第4行互换 a1b400b1a40000a3b200b3a2 分块行列式 \[A00B\] 由拉普拉斯展开式可得\[A00B\]=∣A∣∣B∣=(a1a4−b1b4)(a3a2−b3b2) **方法总结** X型行列式在计算时，有两种情况： * 主副对角线上元素相同 \[ a ⋯ ⋯ b ⋮ a b ⋮ ⋮ b a ⋮ b ⋯ ⋯ a \] 2 n = ( a 2 − b 2 ) n \\begin{bmatrix} a \& \\cdots \& \\cdots \& b \\\\ \\vdots \& a \& b \& \\vdots \\\\ \\vdots \& b \& a \& \\vdots \\\\ b \& \\cdots \& \\cdots \& a \\end{bmatrix}_{2n} = (a\^2 - b\^2)\^{n} a⋮⋮b⋯ab⋯⋯ba⋯b⋮⋮a 2n=(a2−b2)n * 主副对角线上元素不同 \[ a 1 ⋯ ⋯ b 1 ⋮ a k b k ⋮ ⋮ b k + 1 a k + 1 ⋮ b 2 k ⋯ ⋯ a 2 k \] 2 k = ∏ i = 1 k ( a i a 2 k + 1 − i − b i b 2 k + 1 − i ) \\begin{bmatrix} a_1 \& \\cdots \& \\cdots \& b_1 \\\\ \\vdots \& a_k \& b_k \& \\vdots \\\\ \\vdots \& b_{k+1} \& a_{k+1} \& \\vdots \\\\ b_{2k} \& \\cdots \& \\cdots \& a_{2k} \\end{bmatrix}_{2k} = \\prod\\limits_{i = 1}\^k(a_ia_{2k+1-i}-b_ib_{2k+1-i}) a1⋮⋮b2k⋯akbk+1⋯⋯bkak+1⋯b1⋮⋮a2k 2k=i=1∏k(aia2k+1−i−bib2k+1−i) ##### 递推法 建立 D n D_n Dn 与 D n − 1 D_{n-1} Dn−1 的关系式，实现递推： * 元素分布规律相同 * D n − 1 D_{n-1} Dn−1 比 D n D_n Dn 少一阶 **递推法**：给出 n 阶，推 n - 1 阶，n - 2 阶，......，一直往下推，推到首项的表达式（即1阶的情况） **数学归纳法**：从1阶，2阶，......，找到基本规律，然后往上（即高阶）假设，假设命题对 n = k - 1 时成立，最后证明命题对 n = k 时成立 **宽对角行列式** D 4 = \[ 1 − a a 0 0 − 1 1 − a a 0 0 − 1 1 − a a 0 0 − 1 1 − a \] ⇒ 第2行的1倍加到第4行 第3行的1倍加到第4行 性质7： 第1行的1倍加到第4行 \[ 1 − a a 0 0 − 1 1 − a a 0 0 − 1 1 − a a − a 0 0 1 \] ⇒ 按照第4行展开 − a × （ − 1 ） 4 + 1 × \[ a 0 0 1 − a a 0 − 1 1 − a a \] + \[ 1 − a a 0 − 1 1 − a a 0 − 1 1 − a \] = a 4 + D 3 D 3 = \[ 1 − a a 0 − 1 1 − a a 0 − 1 1 − a \] ⇒ 第2行的1倍加到第3行 性质7： 第1行的1倍加到第3行 \[ 1 − a a 0 − 1 1 − a a − a 0 1 \] ⇒ 按照第3行展开 − a × ( − 1 ) 3 + 1 × \[ a 0 1 − a a \] + \[ 1 − a a − 1 1 − a \] = − a 3 + D 2 D 2 = \[ 1 − a a − 1 1 − a \] ⇒ 性质7： 第1行的1倍加到第2行 \[ 1 − a a − a 1 \] ⇒ 按照第2行展开 − a × ( − 1 ) 2 + 1 × a + 1 − a = a 2 − a + 1 D 4 = a 4 + D 3 = a 4 − a 3 + D 2 = a 4 − a 3 + a 2 − a + 1 {D_4} = \\begin{bmatrix} 1 - a \& a \& 0 \& 0 \\\\ -1 \& 1 - a \& a \& 0 \\\\ 0 \& -1 \& 1 - a \& a \\\\ 0 \& 0 \& -1 \& 1 - a \\end{bmatrix} \\xRightarrow\[\\substack{\\text{第2行的1倍加到第4行} \\\\\\ \\\\ \\text{第3行的1倍加到第4行}}\]{\\substack{\\text{性质7：} \\\\\\ \\\\ \\text{第1行的1倍加到第4行}}} \\begin{bmatrix} 1 - a \& a \& 0 \& 0 \\\\ -1 \& 1 - a \& a \& 0 \\\\ 0 \& -1 \& 1 - a \& a \\\\ -a \& 0 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix} \\\\\\ \\\\ \\xRightarrow\[\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{}}\]{\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{按照第4行展开}}} -a × （-1）\^{4 + 1} × \\begin{bmatrix} a \& 0 \& 0 \\\\ 1 - a \& a \& 0 \\\\ -1 \& 1 - a \& a \\\\ \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} 1 - a \& a \& 0 \\\\ -1 \& 1 - a \& a \\\\ 0 \& -1 \& 1 - a \\\\ \\end{bmatrix} = a\^4 + D_3 \\\\\\ \\\\ D_3 = \\begin{bmatrix} 1 - a \& a \& 0 \\\\ -1 \& 1 - a \& a \\\\ 0 \& -1 \& 1 - a \\\\ \\end{bmatrix} \\xRightarrow\[\\substack{\\text{第2行的1倍加到第3行} \\\\\\ \\\\ \\text{}}\]{\\substack{\\text{性质7：} \\\\\\ \\\\ \\text{第1行的1倍加到第3行}}} \\begin{bmatrix} 1 - a \& a \& 0 \\\\ -1 \& 1 - a \& a \\\\ -a \& 0 \& 1 \\\\ \\end{bmatrix} \\\\\\ \\\\ \\xRightarrow\[\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{}}\]{\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{按照第3行展开}}} -a × (-1)\^{3 + 1} × \\begin{bmatrix} a \& 0 \\\\ 1 - a \& a \\\\ \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} 1 - a \& a \\\\ -1 \& 1 - a \\\\ \\end{bmatrix} = - a \^3 + D_2 \\\\\\ \\\\ D_2 = \\begin{bmatrix} 1 - a \& a \\\\ -1 \& 1 - a \\\\ \\end{bmatrix} \\xRightarrow\[\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{}}\]{\\substack{\\text{性质7：} \\\\\\ \\\\ \\text{第1行的1倍加到第2行}}} \\begin{bmatrix} 1 - a \& a \\\\ -a \& 1 \\\\ \\end{bmatrix} \\xRightarrow\[\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{}}\]{\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{按照第2行展开}}} -a × (-1)\^{2 + 1} × a + 1 - a = a\^2 - a + 1 \\\\\\ \\\\ D_4 = a\^4 + D_3 = a\^4 - a\^3 + D_2 = a\^4 - a\^3 + a\^2 - a + 1 D4= 1−a−100a1−a−100a1−a−100a1−a 性质7： 第1行的1倍加到第4行 第2行的1倍加到第4行 第3行的1倍加到第4行 1−a−10−aa1−a−100a1−a000a1 按照第4行展开 −a×（−1）4+1× a1−a−10a1−a00a + 1−a−10a1−a−10a1−a =a4+D3 D3= 1−a−10a1−a−10a1−a 性质7： 第1行的1倍加到第3行 第2行的1倍加到第3行 1−a−1−aa1−a00a1 按照第3行展开 −a×(−1)3+1×\[a1−a0a\]+\[1−a−1a1−a\]=−a3+D2 D2=\[1−a−1a1−a\]性质7： 第1行的1倍加到第2行 \[1−a−aa1\] 按照第2行展开 −a×(−1)2+1×a+1−a=a2−a+1 D4=a4+D3=a4−a3+D2=a4−a3+a2−a+1 ##### 行列式表示的函数和方程 这类问题的行列式元素 a i j a_{ij} aij 往往不是具体数值，而是含 x x x 或 λ \\lambda λ 等的函数： * 在行列式中，若 a i j a_{ij} aij 时具体数值，则行列式也是一个具体数值 * 若 a i j a_{ij} aij 是含 x x x 或 λ \\lambda λ 等的函数，则行列式可能是自变量为 x x x 或 λ \\lambda λ 等的函数 **无规律行列式** 设 f ( x ) = \[ 1 0 x 1 2 x 2 1 3 x 3 \] , 求 f ( x + 1 ) − f ( x ) 设 f(x) = \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& x \\\\ 1 \& 2 \& x\^2 \\\\ 1 \& 3 \& x\^3 \\end{bmatrix} , 求f(x + 1) - f(x) 设f(x)= 111023xx2x3 ,求f(x+1)−f(x) 在这一题中，单看 f ( x + 1 ) − f ( x ) f(x+1)-f(x) f(x+1)−f(x) 我们无法观察出什么内容，如果我们直接将 f ( x ) f(x) f(x) 展开又太过麻烦，因此我们直接将 x + 1 x+1 x+1 带入到行列式中： f ( x + 1 ) − f ( x ) = \[ 1 0 ( x + 1 ) 1 2 ( x + 1 ) 2 1 3 ( x + 1 ) 3 \] − \[ 1 0 x 1 2 x 2 1 3 x 3 \] f(x + 1) - f(x) = \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& (x + 1) \\\\ 1 \& 2 \& (x + 1)\^2 \\\\ 1 \& 3 \& (x + 1)\^3 \\end{bmatrix} - \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& x \\\\ 1 \& 2 \& x\^2 \\\\ 1 \& 3 \& x\^3 \\end{bmatrix} f(x+1)−f(x)= 111023(x+1)(x+1)2(x+1)3 − 111023xx2x3 这里我们就不难发现，这两个行列式的第一列与第二列都相等，因此我们不妨借助**性质3：行列式中某行（列）元素有公因子 k ( k ≠ 0 ) k(k\\neq0) k(k=0) ，则 k k k 可提到行列式外面** 的逆运算------ **倍乘** 性质，将-1倍乘到 f ( x ) f(x) f(x) 的第3列中； 并借助**性质4：行列式中某行（列）元素均是两个数之和，则可拆成两个行列式之和** 的逆运算------ **单行可加** 性质，将 f ( x − 1 ) f(x-1) f(x−1) 和 f ( x ) f(x) f(x) 这两个行列式的第三列相加，于是我们就得到了一个新的行列式： \[ 1 0 ( x + 1 ) − x 1 2 ( x + 1 ) 2 − x 2 1 3 ( x + 1 ) 3 − x 3 \] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& (x + 1) - x \\\\ 1 \& 2 \& (x + 1)\^2 - x\^2\\\\ 1 \& 3 \& (x + 1)\^3 - x\^3 \\end{bmatrix} 111023(x+1)−x(x+1)2−x2(x+1)3−x3 接下来我们将这个行列式的第三行进行化简： \[ 1 0 1 1 2 2 x + 1 1 3 3 x 2 + 3 x + 1 \] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 1 \\\\ 1 \& 2 \& 2x + 1\\\\ 1 \& 3 \& 3x\^2 + 3x + 1 \\end{bmatrix} 11102312x+13x2+3x+1 此时我们就可以继续通过**性质7：行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变** ，将第一行的-1倍加到第三列，将第二行的-x倍加到第三列，这样我们就得到了最终的下三角行列式： \[ 1 0 0 1 2 0 1 3 3 x 2 \] = 6 x 2 \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 0 \\\\ 1 \& 2 \& 0\\\\ 1 \& 3 \& 3x\^2 \\end{bmatrix} = 6x\^2 111023003x2 =6x2 函数可以用含变量的行列式表示，因此，对这类行列式当然地也可以求极限、导数、积分等。 **关于 λ \\lambda λ 的方程** \[ λ − 1 − 2 3 1 λ − 4 3 − 1 a λ − 5 \] = 0 ， 该方程有二重根，求参数 a 的值 \\begin{bmatrix} \\lambda - 1\& -2 \& 3 \\\\ 1 \& \\lambda - 4 \& 3 \\\\ -1 \& a \& \\lambda -5 \\end{bmatrix} = 0， {该方程有二重根，求参数a的值} λ−11−1−2λ−4a33λ−5 =0，该方程有二重根，求参数a的值 在这题中，因为是一个3阶行列式，我们可以采用笨方法------直接将行列式展开； 当然也存在简便方法------通过行列式的性质将行列式简化： * 首先我们可以看到第一列中第二行和第三行的元素是±1，第3列中第一行和第二行的元素均为3，因此我们可以从这两点出发，将行列式凑出尽可能多的零，方便我们后续的展开； * 其次，我们经过观察可以看到，第3行中存在未知参数a，不太好进行消元； * 因此，我们首选第一行或者第二行进行凑0 这里我们根据**性质7：将行列式中的某一行的k倍加到另一行中，行列式不变**，将第一行的-1倍加到第二行中，我们就得到了新的行列式： \[ λ − 1 − 2 3 2 − λ λ − 2 0 − 1 a λ − 5 \] \\begin{bmatrix} \\lambda - 1\& -2 \& 3 \\\\ 2- \\lambda \& \\lambda - 2 \& 0 \\\\ -1 \& a \& \\lambda -5 \\end{bmatrix} λ−12−λ−1−2λ−2a30λ−5 此时我们不难发现，在第二行中，第一列与第二列这两个元素相加正好为0，因此我们继续消元，将第一列的1倍加到第二列，得到新的行列式： \[ λ − 1 λ − 3 3 2 − λ 0 0 − 1 a − 1 λ − 5 \] \\begin{bmatrix} \\lambda - 1\& \\lambda - 3 \& 3 \\\\ 2- \\lambda \& 0 \& 0 \\\\ -1 \& a - 1 \& \\lambda -5 \\end{bmatrix} λ−12−λ−1λ−30a−130λ−5 现在我们就可以根据第二行将行列式展开： ( 2 − λ ) ⋅ ( − 1 ) 2 + 1 ⋅ \[ λ − 3 3 a − 1 λ − 5 \] = ( λ − 2 ) ⋅ \[ ( λ − 3 ) ( λ − 5 ) + 3 ( 1 − a ) \] = ( λ − 2 ) ( λ 2 − 8 λ + 18 − 3 a ) = 0 (2 - \\lambda) · (-1)\^{2 + 1} · \\begin{bmatrix} \\lambda - 3 \& 3 \\\\ a - 1 \& \\lambda -5 \\end{bmatrix} \\\\\\ \\\\ \\begin{align} \\notag\&=(\\lambda - 2)·\[(\\lambda - 3)(\\lambda - 5) + 3(1 - a)\]\\\\ \\notag \&=(\\lambda - 2)(\\lambda\^2 - 8\\lambda + 18 - 3a)=0 \\end{align} (2−λ)⋅(−1)2+1⋅\[λ−3a−13λ−5\] =(λ−2)⋅\[(λ−3)(λ−5)+3(1−a)\]=(λ−2)(λ2−8λ+18−3a)=0 在这种 a b = 0 ab=0 ab=0 的方程中，要么 a = 0 a=0 a=0 ，要么 b = 0 b=0 b=0 ，要么 a a a 、 b b b 都为0，这里我们需要根据具体情况进行分类讨论； 在题目中有提到，方程有二重根，即两个相等实根，若原式中 λ − 2 = 0 \\lambda - 2 = 0 λ−2=0 成立且为方程的二重根时，那说明 λ 2 − 8 λ + 18 − 3 a = 0 \\lambda\^2 - 8\\lambda + 18 - 3a = 0 λ2−8λ+18−3a=0 的解同样是 λ = 2 \\lambda = 2 λ=2；若原式中 λ − 2 = 0 \\lambda - 2 = 0 λ−2=0不成立，那么方程的二重根就一定来自于 λ 2 − 8 λ + 18 − 3 a = 0 \\lambda\^2 - 8\\lambda + 18 - 3a = 0 λ2−8λ+18−3a=0，这样我们就得到了两种情况： * λ = 2 \\lambda = 2 λ=2 为方程的二重根 λ 2 − 8 λ + 18 − 3 a = 0 2 2 − 8 × 2 + 18 − 3 a = 0 6 − 3 a = 0 a = 2 \\begin{align} \\lambda\^2 - 8\\lambda + 18 - 3a \& = 0 \\\\ 2\^2 - 8 × 2 + 18 - 3a \& = 0 \\\\ 6 - 3a \& = 0 \\\\ a \&= 2 \\end{align} λ2−8λ+18−3a22−8×2+18−3a6−3aa=0=0=0=2 * λ = 2 \\lambda = 2 λ=2 不是方程的二重根 λ 2 − 8 λ + 18 − 3 a = 0 Δ = ( − 8 ) 2 − 4 × 1 × ( 18 − 3 a ) = 0 64 − 72 + 12 a = 0 a = 2 3 \\begin{align} \\lambda\^2 - 8\\lambda + 18 - 3a \& = 0 \\\\ \\Delta = (-8)\^2 - 4 × 1 × (18 - 3a) \& = 0 \\\\ 64-72+12a \& = 0 \\\\ a \&= \\frac{2}{3} \\end{align} λ2−8λ+18−3aΔ=(−8)2−4×1×(18−3a)64−72+12aa=0=0=0=32 此时 λ 2 − 8 λ + 18 − 3 a = λ 2 − 8 λ + 18 − 2 = λ 2 − 8 λ + 16 = ( λ − 4 ) 2 = 0 \\lambda\^2 - 8\\lambda + 18 - 3a = \\lambda\^2 - 8\\lambda + 18 - 2=\\lambda\^2 - 8\\lambda + 16=(\\lambda - 4)\^2 = 0 λ2−8λ+18−3a=λ2−8λ+18−2=λ2−8λ+16=(λ−4)2=0，即 λ = 4 \\lambda = 4 λ=4 为方程的二重根。 综上所述， a = 2 或 a = 2 3 a = 2 或 a = \\frac{2}{3} a=2或a=32 ## 英语 ### 每日一句 An old saying has it that half of all advertising budgets are wasted --- the trouble is, no one knows which half.(2013, Reading Comprehension, Part A Text 2) #### 词汇 An old saying has it that：常言道 advertising budgets: 广告预算 #### 第一步：找谓语 An old saying has it that half of all advertising budgets are wasted --- the trouble is, no one knows which half. #### 第二步：断句 原句中有四处谓语，包含四件事，各谓语分布在以下部分： * has：为主句谓语 * are wasted：为that引导的宾语从句中的谓语 * is：为破折号后的主句谓语 * knows：为表语从句中的谓语 按照标点、引导词与谓语，可以将原句断开为以下分句： * An old saying has it ------ 主句1 * that half of all advertising budgets are wasted ------ 宾语从句 * --- the trouble is, ------主句2 * no one knows which half. ------ 表语从句 #### 第三步：简化 ##### 破折号前 An old saying has it that half of all advertising budgets are wasted ###### 主句 An old saying has it * 主句主语部分：An old saying * 限定词：an 修饰名词：saying * 形容词：old 作为前置定语，修饰名词：saying * 名词：saying 为主句主语核心词 * 主句谓语部分：has 为及物动词，后接宾语 * 主句宾语部分：it 为形式宾语，后面的that从句为动词：has 的真正宾语 去掉主句的扩展成分，就得到了主句的核心： * ...... saying has it ------ 有 ...... 说法 ###### 宾语从句 that half of all advertising budgets are wasted * 从句引导词：that 引导宾语从句，整个从句作动词：has 的宾语，引导词：that在句中不做成分 * 从句主语部分：half of all advertising budgets * 名词：half 为从句主语核心词 * 介词短语：of all advertising budgets 作后置定语，补充说明 half 的范围 * 形容词：all 与形容词：advertising 共同修饰名词：budgets * 名词：budgets 为介词：of 的宾语 * 从句谓语部分：are wasted 为被动语态，从句主语为该动作的承受者 去掉从句扩展成分，就得到了从句的核心： * that half ...... are wasted ------ ...... 一半被浪费了 ##### 破折号后 the trouble is, no one knows which half. ###### 主句 the trouble is, * 主句主语部分：the trouble * 限定词：the 修饰名词：trouble * 名词：trouble 为主句主语核心词 * 主句谓语部分：is 为系动词，后接表语 去掉主句扩展成分，就得到了主句的核心： * ...... trouble is ------ ...... 问题是 ###### 表语从句 no one knows which half. * 从句连接词：that 被省略 * 从句主语部分：no one * 限定词：no 修饰代词：one * 代词：one 代指people * 从句谓语部分：knows 为及物动词，后接宾语 * 从句宾语部分：which half * 限定词：which 修饰名词：half * 名词：half 为从句宾语核心词 去掉从句扩展部分，就得到了从句的核心： * ...... one knows ...... half ------ ...... 人 知道 ...... 一半