时间
数学
线性代数
具体型行列式的计算
化为基本形（12 + 1）
爪形行列式
1 1 1 1 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 ⇒ 第3列的( − 1 3 )倍加到第1列 第4列的( − 1 4 )倍加到第1列 性质7： 第2列的( − 1 2 )倍加到第1列 1 − 1 2 − 1 3 − 1 4 1 1 1 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 = ( 1 − 1 2 − 1 3 − 1 4 ) × 2 × 3 × 4 = 24 − 12 − 8 − 6 = − 2 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \xRightarrow\\substack{\\text{第3列的($-\\frac{1}{3}$)倍加到第1列} \\\\\\ \\\\ \\text{第4列的($-\\frac{1}{4}$)倍加到第1列}}{\substack{\text{性质7：} \\ \text{第2列的(-\\frac{1}{2})倍加到第1列}}} \begin{bmatrix} 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \\\ \\ \begin{align} \notag& = (1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) × 2 × 3 × 4 \\ \notag& = 24 - 12 - 8 - 6 \\ \notag& = -2 \end{align} 1111120010301004 性质7：第2列的(−21)倍加到第1列 第3列的(−31)倍加到第1列 第4列的(−41)倍加到第1列 1−21−31−41000120010301004 =(1−21−31−41)×2×3×4=24−12−8−6=−2
方法总结
对于四种爪性行列式：
左上爪 = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 0 0 a 31 0 a 33 0 a 41 0 0 a 44 左下爪 = a 11 0 0 a 14 a 21 0 a 23 0 a 31 a 32 0 0 a 41 a 42 a 43 a 44 右上爪 = a 11 a 12 a 13 a 14 0 0 a 23 a 24 0 a 32 0 a 34 a 41 0 0 a 44 右下爪 = a 11 0 0 a 14 0 a 22 0 a 24 0 0 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 {左上爪} = \begin{bmatrix} \color{red}a_{11} & \color{red}a_{12} & \color{red}a_{13} & \color{red}a_{14} \\ \color{red}a_{21} & \color{red}a_{22} & 0 & 0 \\ \color{red}a_{31} & 0 & \color{red}a_{33} & 0 \\ \color{red}a_{41} & 0 & 0 & \color{red}a_{44} \end{bmatrix} {左下爪} = \begin{bmatrix} \color{red}a_{11} & 0 & 0 & \color{red}a_{14} \\ \color{red}a_{21} & 0 & \color{red}a_{23} & 0 \\ \color{red}a_{31} & \color{red}a_{32} & 0 & 0 \\ \color{red}a_{41} & \color{red}a_{42} & \color{red}a_{43} & \color{red}a_{44} \end{bmatrix} \\\ \\ {右上爪} = \begin{bmatrix} \color{red}a_{11} & \color{red}a_{12} & \color{red}a_{13} & \color{red}a_{14} \\ 0 & 0 & \color{red}a_{23} & \color{red}a_{24} \\ 0 & \color{red}a_{32} & 0 & \color{red}a_{34} \\ \color{red}a_{41} & 0 & 0 & \color{red}a_{44} \end{bmatrix} {右下爪} = \begin{bmatrix} \color{red}a_{11} & 0 & 0 & \color{red}a_{14} \\ 0 & \color{red}a_{22} & 0 & \color{red}a_{24} \\ 0 & 0 & \color{red}a_{33} & \color{red}a_{34} \\ \color{red}a_{41} & \color{red}a_{42} & \color{red}a_{43} & \color{red}a_{44} \end{bmatrix} 左上爪= a11a21a31a41a12a2200a130a330a1400a44 左下爪= a11a21a31a4100a32a420a230a43a1400a44 右上爪= a1100a41a120a320a13a2300a14a24a34a44 右下爪= a1100a410a220a4200a33a43a14a24a34a44
在计算时都是利用斜爪消除平爪或者竖爪，将其化成12 + 1 的基本形
特殊行列式
1 − 1 1 x − 1 1 − 1 x + 1 − 1 1 x − 1 1 − 1 x + 1 − 1 1 − 1 ⇒ 第3列的1倍加到第2列 第4列的1倍加到第3列 性质7： 第2列的1倍加到第1列 0 0 x x − 1 0 x x − 1 x x 0 − 1 x 0 0 − 1 ⇒ 第3列的 1 x 倍加到第4列 性质7： 第1列的 1 x 倍加到第4列 0 0 x x 0 x x 0 x x 0 0 x 0 0 0 = ( − 1 ) 4 × 3 2 x 4 = x 4 \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & x -1 \\ 1 & -1 & x + 1 & -1 \\ 1 & x - 1 & 1 & -1 \\ x + 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \xRightarrow\\substack{\\text{第3列的1倍加到第2列} \\\\\\ \\\\ \\text{第4列的1倍加到第3列}}{\substack{\text{性质7：} \\\ \\ \text{第2列的1倍加到第1列}}} \begin{bmatrix} 0 & 0 & x & x -1 \\ 0 & x & x & -1 \\ x & x & 0& -1 \\ x & 0 & 0& -1 \end{bmatrix} \\\ \\ \xRightarrow\\substack{\\text{第3列的$\\frac{1}{x}$倍加到第4列} \\\\\\ \\\\ \\text{}}{\substack{\text{性质7：} \\\ \\ \text{第1列的\\frac{1}{x}倍加到第4列}}} \begin{bmatrix} 0 & 0 & x & x \\ 0 & x & x & 0 \\ x & x & 0& 0 \\ x & 0 & 0& 0 \end{bmatrix} = (-1)^{\frac{4×3}{2}}x^4 = x^4 111x+1−1−1x−1−11x+111x−1−1−1−1 性质7： 第2列的1倍加到第1列 第3列的1倍加到第2列 第4列的1倍加到第3列 00xx0xx0xx00x−1−1−1−1 性质7： 第1列的x1倍加到第4列 第3列的x1倍加到第4列 00xx0xx0xx00x000 =(−1)24×3x4=x4
方法总结
我们可以通过行列式的性质将行列式简化成 12 + 1 的基本形
简便计算：当行列式的行元素差别不大，且第1列元素大部分相同时，则
- 将第一行的（-1）倍加至其余行，化简行列式
- 对化简整理后的行列式利用行列式的性质，将其化为 12 + 1的基本形
行（列）和相等行列式
D n = a b b ⋯ b b a b ⋯ b b b a ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b b b ⋯ a ⇒ ⋯ 第n列的-1倍加到第n - 1列 性质7： 第n列的-1倍加到第1列 a − b 0 0 ⋯ b 0 a − b 0 ⋯ b 0 0 a − b ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b − a b − a b − a ⋯ a 右下爪行列式 ⇒ 性质 3 ：提出第 n 行的公因式 b − a ( b − a ) a − b 0 0 ⋯ b 0 a − b 0 ⋯ b 0 0 a − b ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 1 ⋯ a b − a ⇒ ⋯ 第n-1行的 − 1 a − b 倍加到第n行 性质7： 第1行的 − 1 a 倍加到第n行 ( b − a ) a − b 0 0 ⋯ b 0 a − b 0 ⋯ b 0 0 a − b ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ a b − a + ( n − 1 ) ( − b a − b ) = ( b − a ) ∗ ( a − b ) n − 1 ∗ a b − a + ( n − 1 ) ( − b a − b ) = ( b − a ) ∗ ( a − b ) n − 1 ∗ a b − a + ( n − 1 ) ( b b − a ) = ( a − b ) n − 1 ∗ a + ( n − 1 ) b {D_n} = \begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end{bmatrix} \xRightarrow\\substack{\\text{$\\cdots$} \\\\\\ \\\\ \\text{第n列的-1倍加到第n - 1列}}{\substack{\text{性质7：} \\\ \\ \text{第n列的-1倍加到第1列}}} \begin{bmatrix} a-b & 0 & 0 & \cdots & b \\ 0 & a - b & 0 & \cdots & b \\ 0 & 0 & a - b & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b - a & b - a & b - a& \cdots & a \end{bmatrix} \\\ \\ {右下爪行列式}\xRightarrow{性质3：提出第n行的公因式b - a} {(b-a)} \begin{bmatrix} a-b & 0 & 0 & \cdots & b \\ 0 & a - b & 0 & \cdots & b \\ 0 & 0 & a - b & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & \frac{a}{b-a} \end{bmatrix} \\\ \\ \xRightarrow\\substack{\\text{$\\cdots$} \\\\\\ \\\\ \\text{第n-1行的$-\\frac{1}{a-b}$倍加到第n行}}{\substack{\text{性质7：} \\\ \\ \text{第1行的-\\frac{1}{a}倍加到第n行}}} {(b-a)} \begin{bmatrix} a - b & 0 & 0 & \cdots & b \\ 0 & a - b & 0 & \cdots & b \\ 0 & 0 & a - b & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{a}{b-a}+(n-1)(-\frac{b}{a-b}) \end{bmatrix} \\\ \\ \begin{align} \notag& = (b - a) * (a - b)^{n -1} * \\frac{a}{b-a}+(n-1)(-\\frac{b}{a-b}) \\ \notag& = (b - a) * (a - b)^{n -1} * \\frac{a}{b-a}+(n-1)(\\frac{b}{b-a}) \\ \notag& = (a - b)^{n-1} * a + (n-1)b \end{align} Dn= abb⋮bbab⋮bbba⋮b⋯⋯⋯⋱⋯bbb⋮a 性质7： 第n列的-1倍加到第1列 ⋯ 第n列的-1倍加到第n - 1列 a−b00⋮b−a0a−b0⋮b−a00a−b⋮b−a⋯⋯⋯⋱⋯bbb⋮a 右下爪行列式性质3：提出第n行的公因式b−a (b−a) a−b00⋮10a−b0⋮100a−b⋮1⋯⋯⋯⋱⋯bbb⋮b−aa 性质7： 第1行的−a1倍加到第n行 ⋯ 第n-1行的−a−b1倍加到第n行(b−a) a−b00⋮00a−b0⋮000a−b⋮0⋯⋯⋯⋱⋯bbb⋮b−aa+(n−1)(−a−bb) =(b−a)∗(a−b)n−1∗b−aa+(n−1)(−a−bb)=(b−a)∗(a−b)n−1∗b−aa+(n−1)(b−ab)=(a−b)n−1∗a+(n−1)b
方法总结
-
笨方法：按照上述展示过程，利用行列式的性质逐步化简至 12 + 1 的基本形
-
简便方法：当行列式中每行（列）元素之和相等时，将其余各列（行）加到第1列（行），让后提出公因式，进行初步化简；最后根据行列式的性质进一步化简成 12 + 1 的基本形
X型行列式
a 1 0 0 b 1 0 a 2 b 2 0 0 b 3 a 3 0 b 4 0 0 a 4 ⇒ 性质5： 第2列与第4列互换 a 1 b 1 0 0 0 0 b 2 a 2 0 0 a 3 b 3 b 4 a 4 0 0 ⇒ 性质5： 第2行与第4行互换 a 1 b 1 0 0 b 4 a 4 0 0 0 0 a 3 b 3 0 0 b 2 a 2 ⇒ 分块行列式 A 0 0 B 由拉普拉斯展开式可得 A 0 0 B = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = ( a 1 a 4 − b 1 b 4 ) ( a 3 a 2 − b 3 b 2 ) \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & a_2 & b_2 & 0 \\ 0 & b_3 & a_3 & 0 \\ b_4 & 0 & 0 & a_4 \end{bmatrix} \xRightarrow\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{}}{\substack{\text{性质5：} \\\ \\ \text{第2列与第4列互换}}} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_2 & a_2 \\ 0 & 0 & a_3 & b_3 \\ b_4 & a_4 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\\ \\ \xRightarrow\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{}}{\substack{\text{性质5：} \\\ \\ \text{第2行与第4行互换}}} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & 0 & 0 \\ b_4 & a_4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & b_3 \\ 0 & 0 & b_2 & a_2 \end{bmatrix} \xRightarrow\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{}}{\substack{\text{} \\\ \\ \text{分块行列式}}} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} \\\ \\ {由拉普拉斯展开式可得} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} = |A||B|=(a_1a_4 - b_1b_4)(a_3a_2-b_3b_2) a100b40a2b300b2a30b100a4 性质5： 第2列与第4列互换 a100b4b100a40b2a300a2b30 性质5： 第2行与第4行互换 a1b400b1a40000a3b200b3a2 分块行列式 A00B 由拉普拉斯展开式可得A00B=∣A∣∣B∣=(a1a4−b1b4)(a3a2−b3b2)
方法总结
X型行列式在计算时，有两种情况：
- 主副对角线上元素相同
a ⋯ ⋯ b ⋮ a b ⋮ ⋮ b a ⋮ b ⋯ ⋯ a 2 n = ( a 2 − b 2 ) n \begin{bmatrix} a & \cdots & \cdots & b \\ \vdots & a & b & \vdots \\ \vdots & b & a & \vdots \\ b & \cdots & \cdots & a \end{bmatrix}_{2n} = (a^2 - b^2)^{n} a⋮⋮b⋯ab⋯⋯ba⋯b⋮⋮a 2n=(a2−b2)n
- 主副对角线上元素不同
a 1 ⋯ ⋯ b 1 ⋮ a k b k ⋮ ⋮ b k + 1 a k + 1 ⋮ b 2 k ⋯ ⋯ a 2 k 2 k = ∏ i = 1 k ( a i a 2 k + 1 − i − b i b 2 k + 1 − i ) \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & \cdots & b_1 \\ \vdots & a_k & b_k & \vdots \\ \vdots & b_{k+1} & a_{k+1} & \vdots \\ b_{2k} & \cdots & \cdots & a_{2k} \end{bmatrix}{2k} = \prod\limits{i = 1}^k(a_ia_{2k+1-i}-b_ib_{2k+1-i}) a1⋮⋮b2k⋯akbk+1⋯⋯bkak+1⋯b1⋮⋮a2k 2k=i=1∏k(aia2k+1−i−bib2k+1−i)
递推法
建立 D n D_n Dn 与 D n − 1 D_{n-1} Dn−1 的关系式，实现递推：
- 元素分布规律相同
- D n − 1 D_{n-1} Dn−1 比 D n D_n Dn 少一阶
递推法：给出 n 阶，推 n - 1 阶，n - 2 阶，......，一直往下推，推到首项的表达式（即1阶的情况）
数学归纳法：从1阶，2阶，......，找到基本规律，然后往上（即高阶）假设，假设命题对 n = k - 1 时成立，最后证明命题对 n = k 时成立
宽对角行列式
D 4 = 1 − a a 0 0 − 1 1 − a a 0 0 − 1 1 − a a 0 0 − 1 1 − a ⇒ 第2行的1倍加到第4行 第3行的1倍加到第4行 性质7： 第1行的1倍加到第4行 1 − a a 0 0 − 1 1 − a a 0 0 − 1 1 − a a − a 0 0 1 ⇒ 按照第4行展开 − a × （ − 1 ） 4 + 1 × a 0 0 1 − a a 0 − 1 1 − a a + 1 − a a 0 − 1 1 − a a 0 − 1 1 − a = a 4 + D 3 D 3 = 1 − a a 0 − 1 1 − a a 0 − 1 1 − a ⇒ 第2行的1倍加到第3行 性质7： 第1行的1倍加到第3行 1 − a a 0 − 1 1 − a a − a 0 1 ⇒ 按照第3行展开 − a × ( − 1 ) 3 + 1 × a 0 1 − a a + 1 − a a − 1 1 − a = − a 3 + D 2 D 2 = 1 − a a − 1 1 − a ⇒ 性质7： 第1行的1倍加到第2行 1 − a a − a 1 ⇒ 按照第2行展开 − a × ( − 1 ) 2 + 1 × a + 1 − a = a 2 − a + 1 D 4 = a 4 + D 3 = a 4 − a 3 + D 2 = a 4 − a 3 + a 2 − a + 1 {D_4} = \begin{bmatrix} 1 - a & a & 0 & 0 \\ -1 & 1 - a & a & 0 \\ 0 & -1 & 1 - a & a \\ 0 & 0 & -1 & 1 - a \end{bmatrix} \xRightarrow\\substack{\\text{第2行的1倍加到第4行} \\\\\\ \\\\ \\text{第3行的1倍加到第4行}}{\substack{\text{性质7：} \\\ \\ \text{第1行的1倍加到第4行}}} \begin{bmatrix} 1 - a & a & 0 & 0 \\ -1 & 1 - a & a & 0 \\ 0 & -1 & 1 - a & a \\ -a & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\\ \\ \xRightarrow\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{}}{\substack{\text{} \\\ \\ \text{按照第4行展开}}} -a × （-1）^{4 + 1} × \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 1 - a & a & 0 \\ -1 & 1 - a & a \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 - a & a & 0 \\ -1 & 1 - a & a \\ 0 & -1 & 1 - a \\ \end{bmatrix} = a^4 + D_3 \\\ \\ D_3 = \begin{bmatrix} 1 - a & a & 0 \\ -1 & 1 - a & a \\ 0 & -1 & 1 - a \\ \end{bmatrix} \xRightarrow\\substack{\\text{第2行的1倍加到第3行} \\\\\\ \\\\ \\text{}}{\substack{\text{性质7：} \\\ \\ \text{第1行的1倍加到第3行}}} \begin{bmatrix} 1 - a & a & 0 \\ -1 & 1 - a & a \\ -a & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\\ \\ \xRightarrow\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{}}{\substack{\text{} \\\ \\ \text{按照第3行展开}}} -a × (-1)^{3 + 1} × \begin{bmatrix} a & 0 \\ 1 - a & a \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 - a & a \\ -1 & 1 - a \\ \end{bmatrix} = - a ^3 + D_2 \\\ \\ D_2 = \begin{bmatrix} 1 - a & a \\ -1 & 1 - a \\ \end{bmatrix} \xRightarrow\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{}}{\substack{\text{性质7：} \\\ \\ \text{第1行的1倍加到第2行}}} \begin{bmatrix} 1 - a & a \\ -a & 1 \\ \end{bmatrix} \xRightarrow\\substack{\\text{} \\\\\\ \\\\ \\text{}}{\substack{\text{} \\\ \\ \text{按照第2行展开}}} -a × (-1)^{2 + 1} × a + 1 - a = a^2 - a + 1 \\\ \\ D_4 = a^4 + D_3 = a^4 - a^3 + D_2 = a^4 - a^3 + a^2 - a + 1 D4= 1−a−100a1−a−100a1−a−100a1−a 性质7： 第1行的1倍加到第4行 第2行的1倍加到第4行 第3行的1倍加到第4行 1−a−10−aa1−a−100a1−a000a1 按照第4行展开 −a×（−1）4+1× a1−a−10a1−a00a + 1−a−10a1−a−10a1−a =a4+D3 D3= 1−a−10a1−a−10a1−a 性质7： 第1行的1倍加到第3行 第2行的1倍加到第3行 1−a−1−aa1−a00a1 按照第3行展开 −a×(−1)3+1×a1−a0a+1−a−1a1−a=−a3+D2 D2=1−a−1a1−a性质7： 第1行的1倍加到第2行 1−a−aa1 按照第2行展开 −a×(−1)2+1×a+1−a=a2−a+1 D4=a4+D3=a4−a3+D2=a4−a3+a2−a+1
行列式表示的函数和方程
这类问题的行列式元素 a i j a_{ij} aij 往往不是具体数值，而是含 x x x 或 λ \lambda λ 等的函数：
- 在行列式中，若 a i j a_{ij} aij 时具体数值，则行列式也是一个具体数值
- 若 a i j a_{ij} aij 是含 x x x 或 λ \lambda λ 等的函数，则行列式可能是自变量为 x x x 或 λ \lambda λ 等的函数
无规律行列式
设 f ( x ) = 1 0 x 1 2 x 2 1 3 x 3 , 求 f ( x + 1 ) − f ( x ) 设 f(x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & x \\ 1 & 2 & x^2 \\ 1 & 3 & x^3 \end{bmatrix} , 求f(x + 1) - f(x) 设f(x)= 111023xx2x3 ,求f(x+1)−f(x)
在这一题中，单看 f ( x + 1 ) − f ( x ) f(x+1)-f(x) f(x+1)−f(x) 我们无法观察出什么内容，如果我们直接将 f ( x ) f(x) f(x) 展开又太过麻烦，因此我们直接将 x + 1 x+1 x+1 带入到行列式中：
f ( x + 1 ) − f ( x ) = 1 0 ( x + 1 ) 1 2 ( x + 1 ) 2 1 3 ( x + 1 ) 3 − 1 0 x 1 2 x 2 1 3 x 3 f(x + 1) - f(x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & (x + 1) \\ 1 & 2 & (x + 1)^2 \\ 1 & 3 & (x + 1)^3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & x \\ 1 & 2 & x^2 \\ 1 & 3 & x^3 \end{bmatrix} f(x+1)−f(x)= 111023(x+1)(x+1)2(x+1)3 − 111023xx2x3
这里我们就不难发现，这两个行列式的第一列与第二列都相等，因此我们不妨借助性质3：行列式中某行（列）元素有公因子 k ( k ≠ 0 ) k(k\neq0) k(k=0) ，则 k k k 可提到行列式外面 的逆运算------ 倍乘 性质，将-1倍乘到 f ( x ) f(x) f(x) 的第3列中；
并借助性质4：行列式中某行（列）元素均是两个数之和，则可拆成两个行列式之和 的逆运算------ 单行可加 性质，将 f ( x − 1 ) f(x-1) f(x−1) 和 f ( x ) f(x) f(x) 这两个行列式的第三列相加，于是我们就得到了一个新的行列式：
1 0 ( x + 1 ) − x 1 2 ( x + 1 ) 2 − x 2 1 3 ( x + 1 ) 3 − x 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & (x + 1) - x \\ 1 & 2 & (x + 1)^2 - x^2\\ 1 & 3 & (x + 1)^3 - x^3 \end{bmatrix} 111023(x+1)−x(x+1)2−x2(x+1)3−x3
接下来我们将这个行列式的第三行进行化简：
1 0 1 1 2 2 x + 1 1 3 3 x 2 + 3 x + 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 2x + 1\\ 1 & 3 & 3x^2 + 3x + 1 \end{bmatrix} 11102312x+13x2+3x+1
此时我们就可以继续通过性质7：行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变 ，将第一行的-1倍加到第三列，将第二行的-x倍加到第三列，这样我们就得到了最终的下三角行列式：
1 0 0 1 2 0 1 3 3 x 2 = 6 x 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 3 & 3x^2 \end{bmatrix} = 6x^2 111023003x2 =6x2
函数可以用含变量的行列式表示，因此，对这类行列式当然地也可以求极限、导数、积分等。
关于 λ \lambda λ 的方程
λ − 1 − 2 3 1 λ − 4 3 − 1 a λ − 5 = 0 ， 该方程有二重根，求参数 a 的值 \begin{bmatrix} \lambda - 1& -2 & 3 \\ 1 & \lambda - 4 & 3 \\ -1 & a & \lambda -5 \end{bmatrix} = 0， {该方程有二重根，求参数a的值} λ−11−1−2λ−4a33λ−5 =0，该方程有二重根，求参数a的值
在这题中，因为是一个3阶行列式，我们可以采用笨方法------直接将行列式展开；
当然也存在简便方法------通过行列式的性质将行列式简化：
- 首先我们可以看到第一列中第二行和第三行的元素是±1，第3列中第一行和第二行的元素均为3，因此我们可以从这两点出发，将行列式凑出尽可能多的零，方便我们后续的展开；
- 其次，我们经过观察可以看到，第3行中存在未知参数a，不太好进行消元；
- 因此，我们首选第一行或者第二行进行凑0
这里我们根据性质7：将行列式中的某一行的k倍加到另一行中，行列式不变，将第一行的-1倍加到第二行中，我们就得到了新的行列式：
λ − 1 − 2 3 2 − λ λ − 2 0 − 1 a λ − 5 \begin{bmatrix} \lambda - 1& -2 & 3 \\ 2- \lambda & \lambda - 2 & 0 \\ -1 & a & \lambda -5 \end{bmatrix} λ−12−λ−1−2λ−2a30λ−5
此时我们不难发现，在第二行中，第一列与第二列这两个元素相加正好为0，因此我们继续消元，将第一列的1倍加到第二列，得到新的行列式：
λ − 1 λ − 3 3 2 − λ 0 0 − 1 a − 1 λ − 5 \begin{bmatrix} \lambda - 1& \lambda - 3 & 3 \\ 2- \lambda & 0 & 0 \\ -1 & a - 1 & \lambda -5 \end{bmatrix} λ−12−λ−1λ−30a−130λ−5
现在我们就可以根据第二行将行列式展开：
( 2 − λ ) ⋅ ( − 1 ) 2 + 1 ⋅ λ − 3 3 a − 1 λ − 5 = ( λ − 2 ) ⋅ ( λ − 3 ) ( λ − 5 ) + 3 ( 1 − a ) = ( λ − 2 ) ( λ 2 − 8 λ + 18 − 3 a ) = 0 (2 - \lambda) · (-1)^{2 + 1} · \begin{bmatrix} \lambda - 3 & 3 \\ a - 1 & \lambda -5 \end{bmatrix} \\\ \\ \begin{align} \notag&=(\lambda - 2)·(\\lambda - 3)(\\lambda - 5) + 3(1 - a)\\ \notag &=(\lambda - 2)(\lambda^2 - 8\lambda + 18 - 3a)=0 \end{align} (2−λ)⋅(−1)2+1⋅λ−3a−13λ−5 =(λ−2)⋅(λ−3)(λ−5)+3(1−a)=(λ−2)(λ2−8λ+18−3a)=0
在这种 a b = 0 ab=0 ab=0 的方程中，要么 a = 0 a=0 a=0 ，要么 b = 0 b=0 b=0 ，要么 a a a 、 b b b 都为0，这里我们需要根据具体情况进行分类讨论；
在题目中有提到，方程有二重根，即两个相等实根，若原式中 λ − 2 = 0 \lambda - 2 = 0 λ−2=0 成立且为方程的二重根时，那说明 λ 2 − 8 λ + 18 − 3 a = 0 \lambda^2 - 8\lambda + 18 - 3a = 0 λ2−8λ+18−3a=0 的解同样是 λ = 2 \lambda = 2 λ=2；若原式中 λ − 2 = 0 \lambda - 2 = 0 λ−2=0不成立，那么方程的二重根就一定来自于 λ 2 − 8 λ + 18 − 3 a = 0 \lambda^2 - 8\lambda + 18 - 3a = 0 λ2−8λ+18−3a=0，这样我们就得到了两种情况：
- λ = 2 \lambda = 2 λ=2 为方程的二重根
λ 2 − 8 λ + 18 − 3 a = 0 2 2 − 8 × 2 + 18 − 3 a = 0 6 − 3 a = 0 a = 2 \begin{align} \lambda^2 - 8\lambda + 18 - 3a & = 0 \\ 2^2 - 8 × 2 + 18 - 3a & = 0 \\ 6 - 3a & = 0 \\ a &= 2 \end{align} λ2−8λ+18−3a22−8×2+18−3a6−3aa=0=0=0=2
- λ = 2 \lambda = 2 λ=2 不是方程的二重根
λ 2 − 8 λ + 18 − 3 a = 0 Δ = ( − 8 ) 2 − 4 × 1 × ( 18 − 3 a ) = 0 64 − 72 + 12 a = 0 a = 2 3 \begin{align} \lambda^2 - 8\lambda + 18 - 3a & = 0 \\ \Delta = (-8)^2 - 4 × 1 × (18 - 3a) & = 0 \\ 64-72+12a & = 0 \\ a &= \frac{2}{3} \end{align} λ2−8λ+18−3aΔ=(−8)2−4×1×(18−3a)64−72+12aa=0=0=0=32
此时 λ 2 − 8 λ + 18 − 3 a = λ 2 − 8 λ + 18 − 2 = λ 2 − 8 λ + 16 = ( λ − 4 ) 2 = 0 \lambda^2 - 8\lambda + 18 - 3a = \lambda^2 - 8\lambda + 18 - 2=\lambda^2 - 8\lambda + 16=(\lambda - 4)^2 = 0 λ2−8λ+18−3a=λ2−8λ+18−2=λ2−8λ+16=(λ−4)2=0，即 λ = 4 \lambda = 4 λ=4 为方程的二重根。
综上所述， a = 2 或 a = 2 3 a = 2 或 a = \frac{2}{3} a=2或a=32
英语
每日一句
An old saying has it that half of all advertising budgets are wasted --- the trouble is, no one knows which half.(2013, Reading Comprehension, Part A Text 2)
词汇
An old saying has it that：常言道
advertising budgets: 广告预算
第一步：找谓语
An old saying has it that half of all advertising budgets are wasted --- the trouble is, no one knows which half.
第二步：断句
原句中有四处谓语，包含四件事，各谓语分布在以下部分：
- has：为主句谓语
- are wasted：为that引导的宾语从句中的谓语
- is：为破折号后的主句谓语
- knows：为表语从句中的谓语
按照标点、引导词与谓语，可以将原句断开为以下分句：
- An old saying has it ------ 主句1
- that half of all advertising budgets are wasted ------ 宾语从句
- --- the trouble is, ------主句2
- no one knows which half. ------ 表语从句
第三步：简化
破折号前
An old saying has it that half of all advertising budgets are wasted
主句
An old saying has it
- 主句主语部分：An old saying
- 限定词：an 修饰名词：saying
- 形容词：old 作为前置定语，修饰名词：saying
- 名词：saying 为主句主语核心词
- 主句谓语部分：has 为及物动词，后接宾语
- 主句宾语部分：it 为形式宾语，后面的that从句为动词：has 的真正宾语
去掉主句的扩展成分，就得到了主句的核心：
- ...... saying has it ------ 有 ...... 说法
宾语从句
that half of all advertising budgets are wasted
- 从句引导词：that 引导宾语从句，整个从句作动词：has 的宾语，引导词：that在句中不做成分
- 从句主语部分：half of all advertising budgets
- 名词：half 为从句主语核心词
- 介词短语：of all advertising budgets 作后置定语，补充说明 half 的范围
- 形容词：all 与形容词：advertising 共同修饰名词：budgets
- 名词：budgets 为介词：of 的宾语
- 从句谓语部分：are wasted 为被动语态，从句主语为该动作的承受者
去掉从句扩展成分，就得到了从句的核心：
- that half ...... are wasted ------ ...... 一半被浪费了
破折号后
the trouble is, no one knows which half.
主句
the trouble is,
- 主句主语部分：the trouble
- 限定词：the 修饰名词：trouble
- 名词：trouble 为主句主语核心词
- 主句谓语部分：is 为系动词，后接表语
去掉主句扩展成分，就得到了主句的核心：
- ...... trouble is ------ ...... 问题是
表语从句
no one knows which half.
- 从句连接词：that 被省略
- 从句主语部分：no one
- 限定词：no 修饰代词：one
- 代词：one 代指people
- 从句谓语部分：knows 为及物动词，后接宾语
- 从句宾语部分：which half
- 限定词：which 修饰名词：half
- 名词：half 为从句宾语核心词
去掉从句扩展部分，就得到了从句的核心：
- ...... one knows ...... half ------ ...... 人 知道 ...... 一半