LeetCode 48. 旋转图像

问题描述

给定一个 n × n 的二维矩阵表示图像，要求将图像顺时针旋转 90 度 。旋转必须在原地完成，即直接修改输入矩阵，不使用额外空间。

示例：

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输入：matrix = [[1,2,3],
               [4,5,6],
               [7,8,9]]
输出：[[7,4,1],
      [8,5,2],
      [9,6,3]]

解决思路：转置 + 镜像翻转

通过两个步骤实现原地旋转：

矩阵转置 ：沿主对角线翻转元素
matrix[i][j] ↔ matrix[j][i]
水平镜像翻转 ：每行左右翻转元素
matrix[i][j] ↔ matrix[i][n-1-j]

数学证明：

顺时针旋转公式：matrix[i][j] → matrix[j][n-1-i]
转置后：matrix[i][j] → matrix[j][i]
镜像翻转后：matrix[j][i] → matrix[j][n-1-i]

C++ 代码实现

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();
        
        // 1. 矩阵转置 (沿主对角线翻转)
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                swap(matrix[i][j], matrix[j][i]);
            }
        }
        
        // 2. 水平镜像翻转 (每行左右翻转)
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int left = 0, right = n - 1;
            while (left < right) {
                swap(matrix[i][left], matrix[i][right]);
                ++left;
                --right;
            }
        }
    }
};

关键点解析

转置操作：
- 遍历上三角区域（避免重复交换）
- i 从 0 到 n-1，j 从 i+1 到 n-1
- 交换 matrix[i][j] 和 matrix[j][i]
镜像翻转：
- 对每行用双指针法（left 和 right）
- 交换行首尾元素并向中间移动
时间复杂度：O(n²)
- 转置：O(n²/2) ≈ O(n²)
- 镜像：O(n²/2) ≈ O(n²)
空间复杂度 ：O(1)

完全原地操作

示例推演

以 3×3 矩阵为例：

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初始矩阵：
1 2 3
4 5 6
7 8 9

步骤1：转置（沿主对角线翻转）：
1 4 7
2 5 8
3 6 9

步骤2：水平镜像（每行左右翻转）：
7 4 1  ← 翻转 [1,4,7] → [7,4,1]
8 5 2  ← 翻转 [2,5,8] → [8,5,2]
9 6 3  ← 翻转 [3,6,9] → [9,6,3]

最终得到顺时针旋转 90 度的结果：

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7 4 1
8 5 2
9 6 3

此方法简洁高效，严格满足原地操作要求，是旋转矩阵的最优解法。