【C++】红黑树的底层思想 and 大厂面试常问

橘颂TA2025-07-11 13:02

一、红黑树的概念

红黑树是一棵二叉搜索树，他的每个结点增加一个存储位来表示结点的颜色，可以是红色或者黑色。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点的颜色进行约束，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出2倍，因而是接近平衡的。

二、规则

1.每个结点不是红色就是黑色
2.根结点是黑色的
3.如果一个结点是红色的，则它的两个孩子结点必须是黑色的，也就是说任意一条路径不会有连续的红色结点。
4.对于任意一个结点，从该结点到其所有NULL结点的简单路径上，均包含相同数量的黑色结点，即：最长路径 <= 2 * 最短路径

说明：《算法导论》等书籍上补充了一条每个叶子结点（NIL)都是黑色的规则。他这里所指的叶子结点不是传统的意义上的叶子结点，而是我们说的空结点，有些书籍上也把NIL叫做外部结点。NIL是为了方便准确的标识出所有路径，《算法导论》在后续讲解实现的细节中也忽略了NIL结点，所以我们知道一下这个概念即可。

注意：红黑树如何确保最长路径不超过最短路径的2倍的?

答：

由规则4可知，从根到NULL结点的每条路径都有相同数量的黑色结点，所以极端场景下，最短路径就就是全是黑色结点的路径，假设最短路径长度为bh(black height)。
由规则2和规则3可知，任意一条路径不会有连续的红色结点，所以极端场景下，最长的路径就是一黑一红间隔组成，那么最长路径的长度为2*bh。
综合红黑树的4点规则而言，理论上的全黑最短路径和一黑一红的最长路径并不是在每棵红黑树都存在的。假设任意一条从根到NULL结点路径的长度为h，那么bh<=h<=2*bh。

三、红黑树的效率

假设N是红黑树树中结点数量，h最短路径的长度，那么2^h-1<=N<2^(2*h) - 1,由此推出 h 约等于logN，也就是意味着红黑树增删查改最坏也就是走最长路径2*logN，那么时间复杂度还是O(logN)。
红黑树的表达相对AVL树要抽象一些，AVL树通过高度差直观的控制了平衡。红黑树通过4条规则的颜色约束，间接的实现了近似平衡，他们效率都是同一档次，但是相对而言，插入相同数量的结点，红黑树的旋转次数是更少的，因为他对平衡的控制没那么严格。

四、红黑树的插入

插入一个值按二叉搜索树规则进行插入，插入后我们只需要观察是否符合红黑树的4条规则。
如果是空树插入，新增结点是黑色结点。如果是非空树插入，新增结点必须红色结点，因为非空树插入，新增黑色结点就破坏了规则4，规则4是很难维护的。
非空树插入后，新增结点必须红色结点，如果父亲结点是黑色的，则没有违反任何规则，插入结束。
非空树插入后，新增结点必须红色结点，如果父亲结点是红色的，则违反规则3。进一步分析，c是红色，p为红，g必为黑，这三个颜色都固定了，关键的变化看u的情况，需要根据u分为以下几种情况分别处理。

注意：下图中假设我们把新增结点标识为c(cur)，c的父亲标识为p(parent)，p的父亲标识为g(grandfather)，p的兄弟标识为u(uncle)。

情况一：变色

c为红，p为红，g为黑，u存在且为红，则将p和u变黑，g变红。在把g当做新的c，继续往上更新。

分析：因为p和u都是红色，g是黑色，把p和u变黑，左边子树路径各增加一个黑色结点，g再变红，相当于保持g所在子树的黑色结点的数量不变，同时解决了c和p连续红色结点的问题，需要继续往上更新是因为，g是红色，如果g的父亲还是红色，那么就还需要继续处理；如果g的父亲是黑色，则处理结束了；如果g就是整棵树的根，再把g变回黑色。

情况1只变色，不旋转。所以无论c是p的左还是右，p是g的左还是右，都是上面的变色处理方式。
跟AVL树类似，上图我们展示了一种具体情况，但是实际中需要这样处理的有很多种情况。
图1将以上类似的处理进行了抽象表达，d/e/f代表每条路径拥有hb个黑色结点的子树，a/b代表每条路径拥有hb-1个黑色结点的根为红的子树，hb>=0。

图2/图3/图4，分别展示了hb==0/hb==1/hb==2的具体情况组合分析，当hb等于2时，这里组合情况上百亿种，这些样例是帮助我们理解，不论情况多少种，多么复杂，处理方式一样的，变色再继续往上处理即可，所以我们只需要看抽象图即可。

代码示例：

cpp 复制代码 
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;

	while (cur)
	{
		if (cur->first < kv)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->first > kv)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

	//新插入的红色结点
	cur = new Node(kv);
	cur->_col = RED;
	if (parent->first < kv)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}

	cur->_parent = parent;

	while (parent &&parent->_col == RED)
	{
		Node* grandfather = parent->_parent;
		if (parent == grandfather->_left)
		{
			Node* uncle = grandfather->_right;

			if (uncle && uncle->_col == RED)//u存在且为红
			{
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else
			{
				if (cur == parent->_left)
				{
					//     g
					//  p      u
					//c

					RotatR(grandfather);
					parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

				}
				else
				{
					//     g
					//  p      u
					//     c
					//左右双旋
					RotateL(parent);
					RotateR(grandfather);

					cur->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}

				break;
			}

		}
		else
		{
			Node* uncle = grandfather->_left;

			if (uncle && uncle->_col == RED)//u存在且为红
			{
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else
			{
				if (cur == parent->_right)
				{
					//     g
					//  u      p
					//           c

					RotatL(grandfather);
					parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

				}
				else
				{
					//     g
					//  u      p
					//     c
					//右左双旋
					RotateR(parent);
					RotateL(grandfather);

					cur->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}

				break;
			}
		}
	}

	return true;
}

五、红黑树的查找

跟二叉搜索树一样，时间复杂度为：O（logn）

代码示例：

cpp 复制代码 
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

六、验证红黑树

这里获取最长路径和最短路径，检查最长路径不超过最短路径的2倍是不可行的，因为就算满足这个条件，红黑树也可能颜色不满足规则，当前暂时没出问题，后续继续插入还是会出问题的。所以我们还是去检查4点规则，满足这4点规则，一定能保证最长路径不超过最短路径的2倍。
1、规则1枚举颜色类型，天然实现保证了颜色不是黑色就是红色。
2、规则2直接检查根即可。
3、规则3前序遍历检查，遇到红色结点查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲的颜色就方便多了。
4、规则4前序遍历，遍历过程中用形参记录跟到当前结点的blackNum(黑色结点数量)，前序遍历遇到黑色结点就++blackNum,走到空就计算出了一条路径的黑色结点数量。再任意一条路径黑色结点数量作为参考值，依次比较即可。

代码示例：

cpp 复制代码 
bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
{
	if (root == nullptr)
	{
		// 前序遍历⾛到空时，意味着⼀条路径⾛完了
		//cout << blackNum << endl;
		if (refNum != blackNum)
		{
			cout << "存在⿊⾊结点的数量不相等的路径" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}
	// 检查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检查⽗亲就⽅便多了
	if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
	{
		cout << root->_kv.first << "存在连续的红⾊结点" << endl;
		return false;
	}
	if (root->_col == BLACK)
	{
		blackNum++;
	}
	return Check(root->_left, blackNum, refNum)
		&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
}

bool IsBalance()
{
	if (_root == nullptr)
		return true;
	if (_root->_col == RED)
		return false;
	// 参考值
	int refNum = 0;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_col == BLACK)
		{
			++refNum;
		}
		cur = cur->_left;
	}
	return Check(_root, 0, refNum);
}

七、完整代码

cpp 复制代码 
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1


// 枚举值表⽰颜⾊
enum Colour
{
	RED,
	BLACK,
};

// 这⾥我们默认按key/value结构实现
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	// 这⾥更新控制平衡也要加⼊parent指针
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		,_col(RED)
	{}
};

template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->first < kv)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->first > kv)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		//新插入的红色结点
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;
		if (parent->first < kv)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

		while (parent &&parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;

				if (uncle && uncle->_col == RED)//u存在且为红
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_left)
					{
						//     g
						//  p      u
						//c

						RotatR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;

					}
					else
					{
						//     g
						//  p      u
						//     c
						//左右双旋
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);

						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}

			}
			else
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;

				if (uncle && uncle->_col == RED)//u存在且为红
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_right)
					{
						//     g
						//  u      p
						//           c

						RotatL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;

					}
					else
					{
						//     g
						//  u      p
						//     c
						//右左双旋
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);

						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}
			}
		}

		return true;
	}
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

	bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			// 前序遍历⾛到空时，意味着⼀条路径⾛完了
			//cout << blackNum << endl;
			if (refNum != blackNum)
			{
				cout << "存在⿊⾊结点的数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
		// 检查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检查⽗亲就⽅便多了
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << root->_kv.first << "存在连续的红⾊结点" << endl;
			return false;
		}
		if (root->_col == BLACK)
		{
			blackNum++;
		}
		return Check(root->_left, blackNum, refNum)
			&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
	}

	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
			return true;
		if (_root->_col == RED)
			return false;
		// 参考值
		int refNum = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				++refNum;
			}
			cur = cur->_left;
		}
		return Check(_root, 0, refNum);
	}

private:
	void RotateR(Node* parent)//右单旋
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* ppnode = parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
		}
		else//parent不是根节点
		{
			if (ppnode->_left == parent)//更新父亲的父亲结点的指向
			{
				ppnode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subL;
			}
		}
	}

	void RotateL(Node* parent)//左单旋
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppnode;
		}
	}

	Node* _root = nullptr;
};

八、红黑树的删除

参考书籍：《算法导论》或者《STL源码剖析》。

完！！

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