Fourier 级数展开（案例：级数展开 AND 求和）

前言

理论依据如上图所示。

首先我们需要定义了一个名为fseries 的函数，用于计算函数的傅里叶级数展开。

函数功能

计算函数f(x)在区间[a,b]上的傅里叶级数展开式，返回前n项的系数和展开后的表达式。

参数说明

• 输入：
  • f：需要展开的函数表达式
  • x：自变量
  • n：展开的项数
  • a,b：展开区间（默认[-pi, pi]）
• 输出：
  • A：傅里叶级数的余弦项系数（包括常数项）
  • B：傅里叶级数的正弦项系数
  • F：展开后的傅里叶级数表达式

代码逐行解释

函数定义

代码：

function [A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b)

解释： 定义函数fseries，指定输入输出参数

参数处理

代码：

if nargin==3,a=-pi;b=pi;end

解释： 若只输入 3 个参数，默认展开区间为**[-pi, pi]**

计算区间长度

代码：

L=(b-a)/2;

解释： 计算区间半长度，用于傅里叶级数的周期转换

变量替换（区间映射）

代码：

if a+b,f=subs(f,x+L+a);end

解释：

将任意区间****[a,b]映射到标准区间[-L,L] ，便于统一计算

• 映射公式：x' = x + L + a

初始化系数和展开式

代码：

A=int(f,x,-L,L)/L;B=[];F=A/2;

解释：

• 计算常数项系数****A0（傅里叶级数中的a0/2项）
• 初始化正弦系数数组B
• 初始化展开式F，从常数项A/2开始

计算各阶傅里叶系数并构建展开式

代码：

for i=1:n
    an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;  % 计算余弦项系数an
    bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;  % 计算正弦项系数bn
    A=[A,an];                          % 将an添加到系数数组A
    F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);  % 累加傅里叶项
end;

解释：

• 循环计算前****n项的余弦系数an和正弦系数bn
• 系数计算公式符合傅里叶级数的定义：
  • an = (1/L)∫f(x)cos(iπx/L)dx （积分区间[-L,L]）
  • bn = (1/L)∫f(x)sin(iπx/L)dx （积分区间[-L,L]）
• 逐步构建傅里叶级数展开式F

还原变量（逆映射）

代码：

if a+b
    F=subs(F,x,x-L-a);
end

解释：将变量从标准区间[-L,L]映射回原区间[a,b]，得到最终的展开式

具体实现步骤

1. 处理输入参数，设置默认区间
2. 将任意区间映射到标准区间简化计算
3. 按照傅里叶级数定义计算各阶系数
4. 构建级数展开式并映射回原区间

使用时，需要传入符号函数f、自变量x和展开项数n，可指定展开区间[a,b]，函数会返回系数数组和展开后的表达式。

完整代码

注意：这是两个文件，不是一个！！！

&&  test.m
clc,clear;
syms x;
f=x*(x+pi)*(x+2*pi);
[A,B,F]=fseries(f,x,12,0,2*pi);
F

%% fseries.m
function [A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b)
if nargin==3,a=-pi;b=pi;end
L=(b-a)/2;
if a+b,f=subs(f,x+L+a);end
A=int(f,x,-L,L)/L;B=[];F=A/2;
for i=1:n
    an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;
    bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;A=[A,an];
    F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);
end;
if a+b
    F=subs(F,x,x-L-a);
end