动规：回文串问题

[No.1 回文子串](#No.1 回文子串)

[No.2 最长回文子串](#No.2 最长回文子串)

[No.3 分隔回文串IV](#No.3 分隔回文串IV)

[No.4 分割回文串II](#No.4 分割回文串II)

[No.5 最长回文子序列](#No.5 最长回文子序列)

[No.6 让字符串成为回文串的最少插入次数](#No.6 让字符串成为回文串的最少插入次数)

No.1 回文子串

647. 回文子串 - 力扣（LeetCode）

题目描述：

具有不同开始位置或者结束位置的子串，即使是由相同字符组成，也视作不同的回文子串。

子串也要求连续性。

返回回文子串数量。

思路：

ps：可以用更优的中心扩展算法 or 马拉车算法来解决这道题。这里只介绍动规。

我们可以通过dp，以n方级别复杂度将所有的子串是否回文的信息，保存在dp表里面。

创建二维dp表，i表示起始位置，j从i开始往后遍历。

s $i$ ==s $j$ 后的细分判断顺序很好的避免了越界

回文串的填表顺序有点不同，二维表的填表顺序应该是从下往上因为dp $i$ $j$ 需要考虑dp $i+1$ $j-1$

最后返回dp表里true的个数。完美解决。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
        int ret = 0;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = i; j < n; ++j) {
                if (s[i] == s[j])
                    dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;
                if (dp[i][j])
                    ++ret;
            }
        }
        return ret;
    }
};

No.2 最长回文子串

5. 最长回文子串 - 力扣（LeetCode）

思路和上一题一致，填表过程中更新最长回文子串的起始位置和大小

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        int n=s.size(),len=0,begin=0;
        vector<vector<bool>> dp(n,vector<bool>(n));
        for(int i=n-1;i>=0;--i)
        {
            for(int j=i;j<n;++j)
            {
                if(s[i]==s[j])dp[i][j]=i+1<j?dp[i+1][j-1]:true;
                if(dp[i][j]&&len<j-i+1)
                {
                    len=j-i+1;begin=i;
                }
            }
        }
        return s.substr(begin,len);
    }
};

No.3 分隔回文串IV

1745. 分割回文串 IV - 力扣（LeetCode）

思路：

暴力：将字符串分成三个部分的所有情况都枚举，判断有没有全都是回文的。

转成dp也很好想

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    bool checkPartitioning(string s) {
        int n=s.size();
        vector<vector<bool>> dp(n,vector<bool>(n));
        for(int i=n-1;i>=0;--i)
        {
            for(int j=i;j<n;++j)
            {
                if(s[i]==s[j])dp[i][j]=i+1<j?dp[i+1][j-1]:true;
            }
        }
        for(int i=1;i<n-1;++i)
        {
            for(int j=i;j<n-1;++j)
            {
                if(dp[0][i-1]&&dp[i][j]&&dp[j+1][n-1])return true;
            }
        }
        return false;
    }
};

No.4 分割回文串II

132. 分割回文串 II - 力扣（LeetCode）

思路：

既然已经知道我们可以通过dp表将任何区间的回文情况存好，那么这题就相当于在问，将原数组分成区间，让区间都是true的同时数量最少。无非就是判断区间内能不能符合子串，有点类似单词划分那题。

因为要求min，初始化所有值为INT_MAX

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int minCut(string s) {
        int n=s.size();
        vector<vector<bool>> isPal(n,vector<bool>(n));
        for(int i=n-1;i>=0;--i)
        {
            for(int j=i;j<n;++j)
            {
                if(s[i]==s[j])isPal[i][j]=i+1<j?isPal[i+1][j-1]:true;
            }
        }
        vector<int> dp(n,INT_MAX);
        for(int i=0;i<n;++i)
        {
            if(isPal[0][i])dp[i]=0;
            else
            {
                for(int j=1;j<=i;++j)
                {
                    if(isPal[j][i])dp[i]=min(dp[i],dp[j-1]+1);
                }
            }
        }
        return dp[n-1];
    }
};

No.5 最长回文子序列

516. 最长回文子序列 - 力扣（LeetCode）

子序列，和前面的子串不一样了。

回文：二维表存储？i~j存储回文信息？和之前不一样，子序列不要求连续。那么这里我们选择dp $i$ $j$ 表示i~j内部最长子序列长度。回文判断：每次往两边扩展。

子序列：二维表 $i$ $j$ 表示i~j区间内的最长回文子序列长度

填表顺序从下到上，从左到右

初始化将主对角上的值设置为1，因为dp值表示区间内最大子序列长度

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        int n=s.size();
        vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n));
        for(int i=n-1;i>=0;--i)
        {
            //i==j
            dp[i][i]=1;
            //从i+1开始遍历，融合相等的另外两种分支
            for(int j=i+1;j<n;++j)
            {
                if(s[i]==s[j])dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
                else dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
        return dp[0][n-1];
    }
};

No.6 让字符串成为回文串的最少插入次数

1312. 让字符串成为回文串的最少插入次数 - 力扣（LeetCode）

需要二维表分区间讨论

不等时，分别向左右讨论

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int minInsertions(string s) {
        int n=s.size();
        vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n));
        for(int i=n-1;i>=0;--i)
        {
            for(int j=i+1;j<n;++j)
            {
                if(s[i]==s[j])dp[i][j]=dp[i+1][j-1];
                else dp[i][j]=1+min(dp[i][j-1],dp[i+1][j]);
            }
        }
        return dp[0][n-1];
    }
};

回文串的问题可以转换成区间讨论的问题，这有利于我们确定最重要的状态表示。( •̀ ω •́ )✧

此篇完。