【数值分析】插值法实验

一、实验任务

二、算法原理

[1. 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）](#1. 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）)

数学原理

推导过程

[2. 均差（Divided Differences）](#2. 均差（Divided Differences）)

数学原理

推导过程

[3. 牛顿插值多项式（Newton Interpolation）](#3. 牛顿插值多项式（Newton Interpolation）)

数学原理

推导过程

[4. 埃尔米特插值（Hermite Interpolation）](#4. 埃尔米特插值（Hermite Interpolation）)

数学原理

推导过程

[5. 分段线性插值（Piecewise Linear Interpolation）](#5. 分段线性插值（Piecewise Linear Interpolation）)

数学原理

推导过程

[6. 三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）](#6. 三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）)

一、实验任务

分别用拉格朗日插值、均差、牛顿插值多项式、埃尔米特插值、分段低次插值和三次样条插值测试函数和可视化对比，展示各方法的插值效果。

二、算法原理

1. 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）

数学原理

拉格朗日插值通过构造一组基函数，将插值多项式表示为已知点函数值的线性组合。对于给定的 n+1 个互异点，满足的 n 次插值多项式为：

其中为拉格朗日基函数，定义为：

基函数的性质：（克罗内克符号，即 i=j 时为 1，否则为 0）。

推导过程

假设插值多项式可表示为，需满足。
代入得，因此需。
构造：当时取值为 1，当时取值为 0，故分子为，分母为。

代码如下：

python 复制代码

def lagrange_interpolation(x, y, xi):
    n = len(x)
    yi = 0
    for i in range(n):
        L = 1  # 基函数l_i(xi)
        for j in range(n):
            if j != i:
                L *= (xi - x[j]) / (x[i] - x[j])  # 计算基函数乘积
        yi += y[i] * L  # 累加y_i * l_i(xi)
    return yi

2. 均差（Divided Differences）

数学原理

均差是牛顿插值的基础，用于衡量函数在不同点的平均变化率。定义：

零阶均差：
一阶均差：
k 阶均差：

均差具有对称性：与点的顺序无关，即。

推导过程

均差是递归定义的，高阶均差由低阶均差计算。例如，二阶均差：

其物理意义是 "一阶均差的均差"，反映函数的二阶变化率。

代码如下：

python 复制代码

def divided_diff(x, y):
    n = len(x)
    dd = np.zeros((n, n))  # dd[i][j]表示f[x_i-j, ..., x_i]
    dd[:, 0] = y  # 零阶均差
    
    for j in range(1, n):  # j为阶数
        for i in range(j, n):  # i为终点索引
            dd[i, j] = (dd[i, j-1] - dd[i-1, j-1]) / (x[i] - x[i-j])
    return dd

3. 牛顿插值多项式（Newton Interpolation）

数学原理

牛顿插值多项式利用均差构造，形式为：

与拉格朗日插值相比，牛顿插值的优势是新增数据点时可增量计算，无需重新构造整个多项式。

推导过程

定义（零次多项式）。
一次多项式：，满足且。
递归扩展：，确保对成立。

代码如下：

python 复制代码

def newton_interpolation(x, y, xi):
    n = len(x)
    dd = divided_diff(x, y)  # 获取均差表
    result = dd[0, 0]  # 初始项：f[x0]
    
    for i in range(1, n):
        term = dd[i, i]  # 第i阶均差系数
        for j in range(i):
            term *= (xi - x[j])  # 乘(x-x0)(x-x1)...(x-x(i-1))
        result += term  # 累加项
    return result

4. 埃尔米特插值（Hermite Interpolation）

数学原理

埃尔米特插值不仅要求插值多项式与原函数在节点处函数值相等，还要求导数值相等。对于 n+1 个点（已知函数值和导数值），构造 2n+1 次多项式 H(x) 满足：

推导过程

引入扩展节点（每个节点重复两次），函数值。
利用均差公式处理导数条件：当节点重合时，一阶均差定义为导数，高阶均差通过递归计算。
牛顿形式的埃尔米特多项式：

代码如下：

python 复制代码

def hermite_interpolation(x, y, y_prime, xi):
    n = len(x)
    m = 2 * n  # 扩展节点数：每个点含函数值和导数值
    z = np.zeros(m)  # 扩展节点z = [x0, x0, x1, x1, ..., xn, xn]
    H = np.zeros(m)  # 扩展函数值H = [y0, y0, y1, y1, ..., yn, yn]
    
    for i in range(n):
        z[2*i] = z[2*i + 1] = x[i]
        H[2*i] = H[2*i + 1] = y[i]
    
    # 计算均差表，处理导数条件
    dd = np.zeros((m, m))
    dd[:, 0] = H
    for j in range(1, m):
        for i in range(j, m):
            if z[i] == z[i-j]:  # 节点重合（处理导数）
                if j == 1:
                    dd[i, j] = y_prime[i//2]  # 一阶均差=导数
                else:
                    dd[i, j] = dd[i, j-1] / (z[i] - z[i-j+1])
            else:
                dd[i, j] = (dd[i, j-1] - dd[i-1, j-1]) / (z[i] - z[i-j])
    
    # 计算插值结果（牛顿形式）
    result = dd[0, 0]
    for i in range(1, m):
        term = dd[i, i]
        for j in range(i):
            term *= (xi - z[j])
        result += term
    return result

5. 分段线性插值（Piecewise Linear Interpolation）

数学原理

分段线性插值将插值区间 [a,b] 按节点分为子区间，在每个子区间内用线性函数逼近原函数：

特点：避免高次插值的震荡现象，函数连续但导数不连续。

推导过程

在子区间内构造线性函数。
代入边界条件和，解得：
整理得线性插值公式。

代码如下：

python 复制代码

def piecewise_linear_interpolation(x, y, xi):
    n = len(x)
    for i in range(n-1):
        if x[i] <= xi <= x[i+1]:  # 找到xi所在区间
            # 线性插值公式
            return y[i] + (y[i+1] - y[i]) * (xi - x[i]) / (x[i+1] - x[i])
    # 边界外处理：最近邻插值
    return y[0] if xi < x[0] else y[-1]

6. 三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）

数学原理

三次样条插值是分段三次多项式，满足：

在每个子区间内为三次多项式。
函数值连续：。
一阶导数连续：。
二阶导数连续：。

边界条件：。

推导过程

设（二阶导数在节点的值），则三次多项式可表示为：其中。
利用一阶导数连续条件推导得关于 Mi 的三对角方程组：，其中。
求解方程组得，代入多项式表达式即得插值函数。

代码如下：

代码中使用 scipy.interpolate.CubicSpline 实现，采用自然边界条件（bctype=′natural′）：

python 复制代码

cs = CubicSpline(x, y, bc_type='natural')  # 构造三次样条
y_spline = cs(x_interp)  # 计算插值结果

总结

六种插值方法各有特点：

拉格朗日 / 牛顿插值：全局多项式，高次时可能震荡。
埃尔米特插值：利用导数信息，精度更高。
分段线性插值：简单稳定，但光滑性差。
三次样条插值：兼顾精度与光滑性，应用最广泛。

三、Python代码完整展示

python 复制代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import CubicSpline
import matplotlib.gridspec as gridspec

# 设置中文显示
plt.rcParams["font.family"] = ["SimHei"]
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 解决负号显示问题


# 1. 拉格朗日插值
def lagrange_interpolation(x, y, xi):
    """
    拉格朗日插值
    x: 已知点的x坐标
    y: 已知点的y坐标
    xi: 插值点的x坐标
    """
    n = len(x)
    yi = 0
    for i in range(n):
        # 计算拉格朗日基函数
        L = 1
        for j in range(n):
            if j != i:
                L *= (xi - x[j]) / (x[i] - x[j])
        yi += y[i] * L
    return yi


# 2. 均差计算
def divided_diff(x, y):
    """计算均差表"""
    n = len(x)
    dd = np.zeros((n, n))  # 均差表
    dd[:, 0] = y  # 零阶均差

    for j in range(1, n):
        for i in range(j, n):
            dd[i, j] = (dd[i, j - 1] - dd[i - 1, j - 1]) / (x[i] - x[i - j])

    return dd


# 3. 牛顿插值多项式
def newton_interpolation(x, y, xi):
    """牛顿插值"""
    n = len(x)
    dd = divided_diff(x, y)  # 获取均差表
    result = dd[0, 0]

    for i in range(1, n):
        term = dd[i, i]
        for j in range(i):
            term *= (xi - x[j])
        result += term

    return result


# 4. 埃尔米特插值
def hermite_interpolation(x, y, y_prime, xi):
    """
    埃尔米特插值（同时插值函数值和导数值）
    x: 已知点的x坐标
    y: 已知点的y坐标
    y_prime: 已知点的导数值
    xi: 插值点的x坐标
    """
    n = len(x)
    m = 2 * n  # 总点数（每个点包含函数值和导数值）
    H = np.zeros(m)  # 埃尔米特插值多项式的系数
    z = np.zeros(m)  # 扩展的x坐标

    # 初始化扩展的x坐标和函数值
    for i in range(n):
        z[2 * i] = x[i]
        z[2 * i + 1] = x[i]
        H[2 * i] = y[i]
        H[2 * i + 1] = y[i]

    # 计算均差表
    dd = np.zeros((m, m))
    dd[:, 0] = H

    for j in range(1, m):
        for i in range(j, m):
            if z[i] == z[i - j]:
                # 处理导数情况
                if j == 1:
                    dd[i, j] = y_prime[i // 2]
                else:
                    dd[i, j] = dd[i, j - 1] / (z[i] - z[i - j + 1])
            else:
                dd[i, j] = (dd[i, j - 1] - dd[i - 1, j - 1]) / (z[i] - z[i - j])

    # 计算插值结果
    result = dd[0, 0]
    for i in range(1, m):
        term = dd[i, i]
        for j in range(i):
            term *= (xi - z[j])
        result += term

    return result


# 5. 分段线性插值
def piecewise_linear_interpolation(x, y, xi):
    """分段线性插值"""
    n = len(x)
    # 找到xi所在的区间
    for i in range(n - 1):
        if x[i] <= xi <= x[i + 1]:
            # 线性插值
            return y[i] + (y[i + 1] - y[i]) * (xi - x[i]) / (x[i + 1] - x[i])
    # 如果超出范围，使用最近邻插值
    return y[0] if xi < x[0] else y[-1]


# 生成测试数据
def generate_test_data(func, start, end, n_points, noise=0):
    """生成测试数据点"""
    x = np.linspace(start, end, n_points)
    y = func(x) + noise * np.random.randn(n_points)
    # 计算导数值（用于埃尔米特插值）
    h = 1e-6
    y_prime = (func(x + h) - func(x - h)) / (2 * h)
    return x, y, y_prime


# 可视化所有插值方法
def visualize_interpolations():
    # 定义原函数
    def original_function(x):
        return np.sin(x) + 0.5 * x  # 示例函数：sin(x) + 0.5x

    # 生成稀疏数据点
    x, y, y_prime = generate_test_data(original_function, 0, 2 * np.pi, 6)

    # 生成密集的插值点
    x_interp = np.linspace(0, 2 * np.pi, 200)
    y_true = original_function(x_interp)

    # 计算各种插值结果
    y_lagrange = [lagrange_interpolation(x, y, xi) for xi in x_interp]
    y_newton = [newton_interpolation(x, y, xi) for xi in x_interp]
    y_hermite = [hermite_interpolation(x, y, y_prime, xi) for xi in x_interp]
    y_piecewise = [piecewise_linear_interpolation(x, y, xi) for xi in x_interp]

    # 三次样条插值（使用scipy）
    cs = CubicSpline(x, y, bc_type='natural')  # 自然边界条件
    y_spline = cs(x_interp)

    # 计算均差表（用于展示）
    dd_table = divided_diff(x, y)
    n = len(x)
    max_order = n - 1  # 最大阶数

    # 创建图形
    plt.figure(figsize=(15, 12))
    gs = gridspec.GridSpec(3, 2, hspace=0.3, wspace=0.2)

    # 1. 拉格朗日插值
    ax1 = plt.subplot(gs[0, 0])
    ax1.plot(x_interp, y_true, 'b-', label='原函数')
    ax1.plot(x_interp, y_lagrange, 'r--', label='拉格朗日插值')
    ax1.scatter(x, y, color='black', label='数据点')
    ax1.set_title('拉格朗日插值')
    ax1.legend()
    ax1.grid(True, alpha=0.3)

    # 2. 牛顿插值
    ax2 = plt.subplot(gs[0, 1])
    ax2.plot(x_interp, y_true, 'b-', label='原函数')
    ax2.plot(x_interp, y_newton, 'g--', label='牛顿插值')
    ax2.scatter(x, y, color='black', label='数据点')
    ax2.set_title('牛顿插值')
    ax2.legend()
    ax2.grid(True, alpha=0.3)

    # 3. 埃尔米特插值
    ax3 = plt.subplot(gs[1, 0])
    ax3.plot(x_interp, y_true, 'b-', label='原函数')
    ax3.plot(x_interp, y_hermite, 'm--', label='埃尔米特插值')
    ax3.scatter(x, y, color='black', label='数据点')
    ax3.set_title('埃尔米特插值')
    ax3.legend()
    ax3.grid(True, alpha=0.3)

    # 4. 分段线性插值
    ax4 = plt.subplot(gs[1, 1])
    ax4.plot(x_interp, y_true, 'b-', label='原函数')
    ax4.plot(x_interp, y_piecewise, 'c--', label='分段线性插值')
    ax4.scatter(x, y, color='black', label='数据点')
    ax4.set_title('分段线性插值')
    ax4.legend()
    ax4.grid(True, alpha=0.3)

    # 5. 三次样条插值
    ax5 = plt.subplot(gs[2, 0])
    ax5.plot(x_interp, y_true, 'b-', label='原函数')
    ax5.plot(x_interp, y_spline, 'y--', label='三次样条插值')
    ax5.scatter(x, y, color='black', label='数据点')
    ax5.set_title('三次样条插值')
    ax5.legend()
    ax5.grid(True, alpha=0.3)

    # 6. 均差表示（修复了列数不一致的问题）
    ax6 = plt.subplot(gs[2, 1])
    ax6.axis('off')

    # 表头
    header = ['x_i', 'f(x_i)'] + [f'{i}阶均差' for i in range(1, max_order + 1)]
    table_data = [header]

    # 数据行
    for i in range(n):
        row = [f'{x[i]:.4f}', f'{y[i]:.4f}']
        # 添加各阶均差，确保每行有相同数量的列
        for j in range(1, max_order + 1):
            if j <= i:  # 只有当阶数小于等于当前行索引时才有值
                row.append(f'{dd_table[i, j]:.4f}')
            else:  # 否则填充空字符串
                row.append('')
        table_data.append(row)

    table = ax6.table(cellText=table_data, cellLoc='center', loc='center')
    table.auto_set_font_size(False)
    table.set_fontsize(8)
    table.scale(1.2, 1.2)
    ax6.set_title('均差表')

    plt.tight_layout()
    plt.savefig('插值法.png')
    plt.show()


if __name__ == "__main__":
    visualize_interpolations()

四、程序运行结果展示

五、总结

本文对比了六种插值方法在测试函数f(x)=sin(x)+0.5x上的应用效果。通过Python实现拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值、分段线性插值和三次样条插值，并可视化展示了各方法的拟合结果。实验结果表明：全局多项式方法（拉格朗日/牛顿）在高次时易出现震荡；埃尔米特插值利用导数信息精度更高；分段线性插值简单稳定但光滑性差；三次样条插值在精度和光滑性方面表现最优。文中详细阐述了每种方法的数学原理和实现代码，为不同应用场景下的插值方法选择提供了参考依据。