【每日算法C#】爬楼梯问题 LeetCode

public int ClimbStairs(int n) 
{
    int[] dp = new int[n + 1];  // 创建DP数组
    dp[0] = 1;  // 基础情况：0阶有1种方法（不动）
    dp[1] = 1;  // 基础情况：1阶有1种方法（爬1步）
    
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];  // 状态转移方程
    }
    
    return dp[n];  // 返回n阶的解
}

关键点解析

1. 动态规划思想：

   • 将大问题分解为小问题（到达第 i 阶的方法数）
   • 存储子问题解避免重复计算

2. 状态定义：

   • dp[i] 表示爬到第 i 阶楼梯的方法总数

3. 状态转移方程：

   • dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
   • 解释 ：到达第 i 阶只能从：
     • 第 i-1 阶爬 1 步
     • 第 i-2 阶爬 2 步

4. 基础情况：

   • dp[0] = 1 ：起点，不需要移动
   • dp[1] = 1 ：只有 1→1 这一种方式

复杂度分析

维度	值	说明
时间复杂度	O(n)	单次遍历完成计算
空间复杂度	O(n)	需要长度为 n+1 的数组

示例计算（n=4）

dp[0] = 1
dp[1] = 1
dp[2] = dp[1] + dp[0] = 1 + 1 = 2
dp[3] = dp[2] + dp[1] = 2 + 1 = 3
dp[4] = dp[3] + dp[2] = 3 + 2 = 5

空间优化（O(1)空间）：

public int ClimbStairs(int n) 
{
    if (n <= 1) return 1;
    
    int a = 1, b = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) 
    {
        int temp = a + b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    return b;
}

动态规划（Dynamic Programming）

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种解决复杂问题的算法思想，其核心理念可概括为以下五个关键点：

1. 分治思想（Divide and Conquer）

• 本质：将大问题分解为相互关联的子问题
• 特点：子问题不是独立的，而是相互重叠的
• 类比：像拼图游戏，先解决局部小块，再组合成完整画面
• 示例 ：斐波那契数列中 fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)

2. 最优子结构（Optimal Substructure）

• 核心原则：问题的最优解包含其子问题的最优解
• 关键特征：局部最优解能推导出全局最优解
• 反例：求最长路径问题（不满足最优子结构）
• 示例：背包问题中，包含当前物品的最优解 = 当前物品价值 + 剩余容量最优解

3. 重叠子问题（Overlapping Subproblems）

• 核心特征：不同子问题会重复计算相同内容

• 解决方法：存储子问题解避免重复计算

• 对比 ：

  方法	计算次数	时间复杂度
  递归	指数级	O(2ⁿ)
  DP	线性	O(n)

• 示例：计算斐波那契数列时，fib(3)会被多次计算

4. 状态存储（Memoization）

• 核心机制：用表格（通常数组）存储子问题解
• 两种实现 ：
  1. 自顶向下：递归+记忆化（Top-down）
  2. 自底向上：迭代填表（Bottom-up）

5. 状态转移方程（State Transition Equation）

• 核心引擎：定义子问题之间的关系
• 通用形式 ： dp[i] = F(dp[i-1], dp[i-2], ..., 输入参数)
• 设计步骤 ：
  1. 定义状态： dp[i] 表示什么
  2. 初始化：边界条件设置
  3. 递推关系：如何从已知状态推导新状态
  4. 求解目标： dp[n] 或 max/min(dp)