题目描述
卢克想要将他的家庭计算机网络从 10mbs\texttt{10mbs}10mbs 升级到 100mbs\texttt{100mbs}100mbs。他现有的网络使用 10base2\texttt{10base2}10base2（同轴）电缆，可以将任意数量的计算机以线性方式连接在一起。不幸的是，卢克无法使用现有的布线。100mbs\texttt{100mbs}100mbs 系统使用 100baseT\texttt{100baseT}100baseT（双绞线）电缆，每条电缆只能连接两个设备。
卢克选择了第二种方案：购买 NNN 张网卡和一个集线器（hub\texttt{hub}hub），并将他的 NNN 台计算机分别连接到集线器上。卢克可以随意布置电缆和放置集线器的位置，但计算机的位置是固定的。他想要最小化需要购买的电缆总长度。
输入格式
第一行包含测试用例的数量，后面跟着一个空行。
每个测试用例以一个正整数 N≤100N \leq 100N≤100（计算机的数量）开始，后面跟着 NNN 行，每行给出计算机在房间内的 (x,y)(x, y)(x,y) 坐标（单位为 mm\texttt{mm}mm）。所有坐标都是 000 到 100001000010000 之间的整数。
连续测试用例之间有一个空行。
输出格式
对于每个测试用例，输出一个数字，表示电缆段的总长度（四舍五入到最近的 mm\texttt{mm}mm），单独占一行。
连续两个测试用例之间输出一个空行。
题目分析
问题本质
这个问题可以抽象为：在平面上给定 NNN 个点（计算机的位置），需要找到一个点（集线器的位置），使得该点到所有给定点的欧几里得距离之和最小。
这实际上是一个经典的费马-韦伯问题 （Fermat-Weber problem\texttt{Fermat-Weber problem}Fermat-Weber problem），也称为几何中位数 （geometric median\texttt{geometric median}geometric median）问题。
数学模型
给定 NNN 个点 Pi=(xi,yi)P_i = (x_i, y_i)Pi=(xi,yi)，我们需要找到一个点 H=(hx,hy)H = (h_x, h_y)H=(hx,hy)，使得目标函数最小化：
f(hx,hy)=∑i=1N(hx−xi)2+(hy−yi)2 f(h_x, h_y) = \sum_{i=1}^N \sqrt{(h_x - x_i)^2 + (h_y - y_i)^2} f(hx,hy)=i=1∑N(hx−xi)2+(hy−yi)2
与质心（所有点的平均值）不同，几何中位数没有封闭形式的解析解，需要使用数值方法求解。
算法选择
我们使用 韦茨菲尔德算法 （Weiszfeld's algorithm\texttt{Weiszfeld's algorithm}Weiszfeld's algorithm）来求解几何中位数。该算法是一个迭代算法，基本思想如下：
- 初始化：将几何中位数的初始估计值设为所有点的质心
- 迭代更新：根据当前估计值，使用加权平均来更新几何中位数的位置
- 收敛判断：当位置变化很小时停止迭代
迭代公式为：
H(k+1)=∑i=1NPi∥H(k)−Pi∥∑i=1N1∥H(k)−Pi∥ H^{(k+1)} = \frac{\sum_{i=1}^N \frac{P_i}{\|H^{(k)} - P_i\|}}{\sum_{i=1}^N \frac{1}{\|H^{(k)} - P_i\|}} H(k+1)=∑i=1N∥H(k)−Pi∥1∑i=1N∥H(k)−Pi∥Pi
其中 ∥H(k)−Pi∥\|H^{(k)} - P_i\|∥H(k)−Pi∥ 表示当前估计点 H(k)H^{(k)}H(k) 到点 PiP_iPi 的欧几里得距离。
算法细节
- 初始值选择：将初始几何中位数设为所有点的质心，这样可以加速收敛
- 数值稳定性：当几何中位数与某个数据点重合时，分母可能为零，需要特殊处理
- 收敛条件：当连续两次迭代的位置变化小于某个阈值，或者达到最大迭代次数时停止
- 精度处理：最终结果需要四舍五入到最接近的毫米
复杂度分析
- 每次迭代需要 O(N)O(N)O(N) 时间计算距离和权重
- 通常需要 O(1)O(1)O(1) 到 O(log1ϵ)O(\log \frac{1}{\epsilon})O(logϵ1) 次迭代即可收敛
- 对于 N≤100N \leq 100N≤100 的规模，算法非常高效
参考代码
cpp
// A Star not a Tree?
// UVa ID: 10228
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-16
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;
// 点结构体，表示二维坐标
struct Point {
double x, y;
Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
};
// 计算两点间的欧几里得距离
double distance(const Point& a, const Point& b) {
return hypot(a.x - b.x, a.y - b.y);
}
// 使用Weiszfeld算法计算几何中位数
Point geometricMedian(const vector<Point>& points, int maxIterations = 200) {
int n = points.size();
// 初始点设为所有点的质心（平均值）
Point median;
for (const auto& p : points) {
median.x += p.x;
median.y += p.y;
}
median.x /= n;
median.y /= n;
// Weiszfeld算法迭代
for (int iter = 0; iter < maxIterations; iter++) {
Point numerator(0, 0); // 分子部分
double denominator = 0; // 分母部分
// 计算加权平均的分子和分母
for (const auto& p : points) {
double dist = distance(median, p);
if (dist < 1e-12) {
// 如果距离太小（接近某个数据点），跳过避免除零
continue;
}
numerator.x += p.x / dist;
numerator.y += p.y / dist;
denominator += 1.0 / dist;
}
// 如果分母为零，说明几何中位数与某个数据点重合
if (denominator == 0) {
break;
}
// 计算新的几何中位数估计
Point newMedian(numerator.x / denominator, numerator.y / denominator);
// 检查是否收敛（位置变化很小）
if (distance(newMedian, median) < 1e-12) {
break;
}
// 更新几何中位数
median = newMedian;
}
return median;
}
int main() {
int cases;
cin >> cases;
bool firstCase = true;
while (cases--) {
int n;
cin >> n;
vector<Point> computers(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> computers[i].x >> computers[i].y;
}
// 计算几何中位数（最优集线器位置）
Point hub = geometricMedian(computers);
// 计算总电缆长度
double totalLength = 0;
for (const auto& computer : computers) {
totalLength += distance(hub, computer);
}
// 输出结果（四舍五入到最近的整数）
if (!firstCase) {
cout << endl;
}
firstCase = false;
cout << static_cast<int>(round(totalLength)) << endl;
}
return 0;
}总结
本题通过几何中位数的概念和韦茨菲尔德算法，有效地解决了最优集线器放置问题。关键点在于：
- 理解问题本质是寻找使总距离最小的点
- 掌握韦茨菲尔德算法的原理和实现
- 注意数值稳定性和收敛条件处理
- 正确处理输入输出格式要求
该算法对于 N≤100N \leq 100N≤100 的规模非常高效，能够在合理时间内找到高质量的近似解。