信奥崔老师：实数型: float、double

实数型: `float`、`double`

1、概念介绍

实数型（Floating-Point Types），也叫浮点型，用于存储带有小数部分的数字。

float: 单精度浮点数。通常占用4个字节（32位），精度较低（约7位有效数字），表示范围也较小。
double : 双精度浮点数。通常占用8个字节（64位），是C++中默认的浮点类型。它的精度更高（约15-17位有效数字），表示范围更大。在信息学竞赛中，几乎总是使用 double ，因为 float 的精度通常不够。

2、使用步骤

声明 : double pi;
初始化 : double pi = 3.1415926535;
使用 : double area = pi * r * r;

3、算法可视化SVG图示

浮点数在内存中的存储比整数复杂，遵循IEEE 754标准，分为三个部分：符号位（Sign）、指数位（Exponent）和尾数位（Mantissa/Fraction）。

double (8 字节 / 64位) 内存结构

S (Sign) : 1位，表示正负。
Exponent: 11位，用于存储科学计数法中的指数。
Mantissa: 52位，用于存储小数的有效数字。

4、核心特性

非精确性 : 浮点数是近似表示。大多数小数（如0.1）无法用二进制精确表示，会导致微小的精度误差。
范围广: 可以表示非常大或非常接近于0的数。
比较陷阱 : 由于精度误差，绝对不能用 == 直接比较两个浮点数 。应该比较它们的差的绝对值是否小于一个极小的数（称为epsilon，如 1e-7）。

5、C++代码基础实现

c 复制代码

#include <iostream>
#include <iomanip> // 用于控制输出格式，如 setprecision
#include <cmath>   // 用于数学函数，如 fabs (取绝对值)

int main() {
    // 1. 声明和初始化
    float f_pi = 3.1415926f; // 'f'后缀表示 float
    double d_pi = 3.141592653589793;

    std::cout << std::fixed << std::setprecision(10); // 设置固定小数点格式，并显示10位小数
    std::cout << "Float PI: " << f_pi << std::endl;
    std::cout << "Double PI: " << d_pi << std::endl;

    // 2. 演示精度问题
    double a = 0.1;
    double b = 0.2;
    double c = 0.3;
    if (a + b == c) {
        std::cout << "0.1 + 0.2 == 0.3" << std::endl;
    } else {
        std::cout << "0.1 + 0.2 != 0.3" << std::endl; // 这行会被输出
        std::cout << "a + b = " << a + b << std::endl;
    }

    // 3. 正确的比较方式
    const double EPSILON = 1e-9; // 定义一个极小数
    if (std::fabs((a + b) - c) < EPSILON) {
        std::cout << "abs((a+b)-c) is small enough, they are considered equal." << std::endl;
    }
    
    return 0;
}

6、优化策略

优先使用double : 在竞赛中，除非内存限制极其严格，否则始终使用 double 来避免不必要的精度问题。
避免不必要的浮点运算: 浮点运算比整数运算慢。如果一个问题可以用整数解决（例如，通过扩大倍数将小数转为整数），应优先使用整数。

7、优缺点

优点:
- 能表示小数和极大/极小的数。
缺点:
- 存在精度误差，不完全精确。
- 运算速度慢于整数。
- 比较复杂，容易出错。

8、应用场景

几何问题: 计算距离、面积、角度等。
科学计算: 物理模拟、数据分析。
需要除法的场景: 计算平均值、比例等，结果可能为小数。

9、扩展

long double: 精度更高的浮点类型（通常10或16字节），在极少数需要超高精度的题目中使用。
科学计数法 : C++中可以用 e 或 E 表示科学计数法，例如 double light_speed = 2.99792458e8; // 表示 2.99... × 10⁸

10、5个课后配套练习及C++代码实现答案

练习1: 计算圆的面积

题目 : 输入一个双精度浮点数 r 代表圆的半径，计算并输出圆的面积。π 取 3.1415926535。

答案:

c 复制代码

#include <iostream>
#include <iomanip>
int main() {
    double r;
    const double PI = 3.1415926535;
    std::cin >> r;
    double area = PI * r * r;
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(7) << area << std::endl;
    return 0;
}

练习2: 华氏度转摄氏度

题目 : 输入一个华氏温度 F，根据公式 C = 5/9 * (F-32) 计算并输出摄氏温度 C。

答案:

c 复制代码

#include <iostream>
#include <iomanip>
int main() {
    double fahrenheit;
    std::cin >> fahrenheit;
    // 注意：5.0/9.0 确保是浮点数除法
    double celsius = 5.0 / 9.0 * (fahrenheit - 32);
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(4) << celsius << std::endl;
    return 0;
}

练习3: 计算平均分

题目: 输入三个浮点数，代表三门课的成绩，计算并输出平均分。

答案:

c 复制代码

#include <iostream>
#include <iomanip>
int main() {
    double score1, score2, score3;
    std::cin >> score1 >> score2 >> score3;
    double average = (score1 + score2 + score3) / 3.0;
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(2) << average << std::endl;
    return 0;
}

练习4: 两点间距离

题目 : 输入四个浮点数 x1, y1, x2, y2，代表平面上两个点的坐标，计算并输出这两点间的欧几里得距离。

答案:

c 复制代码

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath> // for sqrt
int main() {
    double x1, y1, x2, y2;
    std::cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
    double dx = x1 - x2;
    double dy = y1 - y2;
    double distance = std::sqrt(dx * dx + dy * dy);
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(5) << distance << std::endl;
    return 0;
}

练习5: 判断三角形

题目: 输入三个浮点数 a, b, c，判断它们是否能构成一个三角形。

答案: (提示：两边之和大于第三边，注意浮点数比较)

c 复制代码

#include <iostream>
#include <cmath>
int main() {
    double a, b, c;
    std::cin >> a >> b >> c;
    const double EPSILON = 1e-9;
    if ((a + b > c + EPSILON) && (a + c > b + EPSILON) && (b + c > a + EPSILON)) {
        std::cout << "Yes" << std::endl;
    } else {
        std::cout << "No" << std::endl;
    }
    return 0;
}

11、相关网络资源推荐

cppreference.com - Floating-point types - 浮点类型的权威参考。
What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic - 深入理解浮点数误差的经典文章。
OI Wiki - 浮点数 - 竞赛角度的浮点数讲解。