LCL滤波器传递函数及波特图绘制

一、LCL 滤波器电路模型

推导前需明确 LCL 的电路结构和变量定义，本文以并网逆变器场景为背景，考虑实际电网的感性阻抗（忽略电阻，因高频下感抗主导）。

1.1 电路模型与变量定义

LCL 滤波器核心由 "逆变器侧电感$L_1$、滤波电容C、网侧电感$L_2$" 组成，电网等效为 "理想电压源$v_g$串联电网电感$L_g$"（$L_g$反映电网强度，强电网$L_g≈0$）。

关键变量定义：

输入：逆变器桥臂输出电压$v_{inv}(t)$（控制侧输出，决定滤波前的电压特性）；
输出：并网电流$i_2(t)$（流入电网的电流，核心控制目标，需满足谐波标准）；
中间变量：$L_1$电流$i_1(t)$、滤波电容电压$v_c(t)$；
电网参数：电网电压$v_g(t)$、电网电感$L_g$（弱电网$L_g$增大，强电网$L_g≈0$）。

假设条件：

所有元件为理想器件（无寄生电阻、电容）；
零初始条件（拉普拉斯变换时，初始电流 / 电压为 0）；
电网电阻$<1Ω$，高频下影响可忽略，暂不纳入模型。

二、工程常用简化场景的传递函数

实际应用中，常遇到 "理想电网""带无源阻尼" 等场景。

场景 1：理想电网（忽略电网电感$L_g=0$）

强电网（如靠近变电站、线路短）的电网电感$L_g≈0$，此时为最常用的基础传递函数：

$\boxed{G_{v-i}(s) = \frac{1}{s^3 L_1 L_2 C + s (L_1 + L_2)} }$

此式是 LCL 参数设计、谐振频率计算的核心依据，需重点记忆。

场景 2：含无源阻尼（电容串联电阻$R_d$）

LCL 滤波器存在谐振尖峰，工程中常用 "电容串联电阻$R_d$" 抑制谐振（损耗小、易实现）。此时电容支路阻抗变为$\frac{1}{sC} + R_d$，修正为：

$v_c(t) = (L_2 + L_g) \frac{di_2(t)}{dt} + R_d \cdot C \frac{dv_c(t)}{dt} + v_g(t)$

重新推导后，传递函数分母增加阻尼项，最终为：

$\boxed{G_{v-i}(s) = \frac{1}{s^3 L_1 C (L_2 + L_g) + s^2 L_1 C R_d + s (L_1 + L_2 + L_g) + R_d} }$

（阻尼电阻$R_d$越大，谐振抑制越强，但高频损耗也越大，通常取$1~10Ω$，需结合开关频率优化）

三、传递函数的核心特性分析（从公式看本质）

通过LCL基础传递函数，可分析 LCL 滤波器的频率特性（令$s=jω$，$ω=2πf$，f为频率）。

1. 谐振频率$f_r$

谐振频率是 LCL 的 "危险点"------ 幅频特性在此处出现尖峰，易导致系统不稳定。令分母为零（幅频特性无穷大的理论点），解得：

$\boxed{\omega_r = \sqrt{\frac{L_1 + L_2}{L_1 L_2 C}}}$

$\boxed{f_r = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{L_1 + L_2}{L_1 L_2 C}}}$

设计原则：

\$f_r$需避开电网谐波（如 50Hz 的 3/5/7 次）和开关频率（如 40kHz），通常取$2f_0 < f_r < f_s/2$（$f_0=50Hz$，$f_s$为开关频率）。

2. 幅频特性斜率（滤波能力体现）

对LCL基础传递函数取幅值

$|G_{v-i}(jω)| = \frac{1}{\sqrt{ $ω\^3 L_1 L_2 C$ ^2 + $ω (L_1 + L_2)$ ^2}}$，分析不同频段的斜率：

频段	频率关系	特性分析（近似）	幅频斜率	物理意义
低频段	$f \ll f_r$	电容开路，LCL≈$L_1+L_2$的 L 滤波器	-20dB/dec	抑制低频谐波能力弱
谐振段	$f ≈ f_r$	分母两项抵消，幅值骤增	尖峰	需阻尼抑制，否则系统不稳定
高频段	$f \gg f_r$	电容短路，LCL≈$s^3 L_1 L_2 C$	-60dB/dec	抑制高频谐波能力强（优于 L 滤波器）

四、LCL滤波器波特图MATLAB绘制

Matlab 复制代码

% 理想电网下LCL滤波器传递函数波特图绘制
% 传递函数：G(s) = 1 / [s^3*L1*L2*C + s*(L1+L2)]
% 参数单位：H（亨利）、F（法拉）

%% 1. 定义LCL滤波器参数（基于125kW储能变流器设计）
L1 = 62.5e-6;   % 逆变器侧总电感（两模块并联，125μH×2 → 等效62.5μH）
L2 = 19e-6;     % 网侧总电感（两模块并联，38μH×2 → 等效19μH）
C  = 25e-6;     % 滤波电容（每相25μF，三相星接）

%% 2. 构建传递函数分子和分母多项式（s域）
% 分子：num = 1
num = 1;

% 分母：den = s^3*L1*L2*C + s*(L1+L2)
den = [L1*L2*C, 0, (L1 + L2), 0];  % 多项式系数：[s³项, s²项, s项, 常数项]

% 创建传递函数模型
sys = tf(num, den);

%% 3. 计算谐振频率（理论值）
f_r = 1/(2*pi) * sqrt( (L1 + L2)/(L1*L2*C) );  % 谐振频率公式
f_r_kHz = f_r / 1000;  % 转换为kHz

%% 4. 绘制波特图
figure('Name','LCL滤波器波特图（理想电网）','Position',[100,100,800,600]);
bode(sys);
grid on;  % 显示网格
title(['LCL滤波器波特图（理想电网），谐振频率：', num2str(f_r_kHz, '%.2f'), 'kHz']);
xlabel('频率（Hz）');
ylabel('增益（dB）/相位（deg）');

% 在谐振频率处添加标记
hold on;
plot(f_r, -100, 'ro', 'MarkerSize', 8);  % 谐振点标记（y轴取-100避免遮挡）
%text(f_r, -135, ['  谐振频率：', num2str(f_r_kHz, '%.2f'), 'kHz'], 'Color', 'r');

运行上述代码后绘制出的波特图如下，可以根据自己设计的参数进行调整后绘制。