笛卡尔坐标机器人控制的虚拟前向动力学模型

在工业环境中，导纳控制是编程机器人与环境交互任务的重要方案。这类机器人通常在关节层面实现高增益干扰抑制，并通过速度或位置控制接口隐藏对执行器的直接访问。利用腕部力矩传感器为系统增加柔顺性时，力分辨控制律必须将控制信号从笛卡尔空间映射至关节运动。尽管正向动力学算法完全契合该任务描述，但其在笛卡尔机器人控制中的应用尚未深入研究。本文提出适用于笛卡尔机器人控制的虚拟正向动力学模型通用概念，并探究其正向映射特性与成熟替代方案的对比表现。通过降低虚拟系统相对于末端执行器的连杆质量，该虚拟系统在操作空间动力学中呈现线性特性。实验重点关注稳定性与可操作性，尤其在奇异配置下。研究结果表明，通过此方法，正向动力学可同时兼顾雅可比逆矩阵与雅可比转置矩阵的优势，在此方面优于阻尼最小二乘法。

一、引言

在机器人学中，任务空间控制对许多应用至关重要，因为它为程序员提供了指定目标和约束的自然方式。相应的控制律可表述为末端执行器的操作空间。由于机器人是铰接机构且关节处设有动力源，这些控制器需要将笛卡尔控制信号映射到机器人的构型空间，即电机执行器。我们将实现此功能的矩阵称为映射矩阵。映射矩阵的两种常用变体是机械臂雅可比矩阵的转置及其逆矩阵。

雅可比矩阵转置在多类扭矩驱动机器人控制方案中扮演关键角色，例如混合力/运动控制Whitney1977 (1)、Raibert1981 (2)、Khatib1987 (3)，并行力/运动控制Chiaverini1993 (4)，以及阻抗控制Hogan1985 (5) Villani2008 (6)。这些方法本质上将雅可比矩阵转置作为末端执行器扭矩与关节扭矩的静态关系，用于控制与环境接触的机器人。虽然并非严格必要，但在将信号映射到关节空间前，通过在操作空间解耦机器人动力学Khatib1987 (3)通常能提升控制性能。此外，还有基于逆动力学原理的算法方案，可从运动控制信号计算出合适的关节扭矩，例如递归牛顿-欧拉算法（RNEA）Featherstone2008 (7)。

然而，存在一类重要的机器人子集并未提供扭矩级别的关节接口。这类系统常见于工业场景，也是本文的核心研究对象。在Villani2008 (6)中，此类系统被称为简化系统，因其通过速度接口隐藏了内部动力学解耦过程。本文将称之为速度驱动系统，以强调机器人供应商所暴露的接口类型。在这些系统中，基于速度的控制变体（如Villani2008（6）中的导纳控制）通常采用与雅可比矩阵逆相关的算法（如Wampler1986（8）提出的阻尼最小二乘法）作为关节空间映射。

与力矩驱动系统的逆动力学不同，现有文献大多忽略了速度驱动机器人控制中的正向动力学算法选项。这种现象令人费解，因为它本可实现笛卡尔扭矩空间到关节加速度的直接映射。虽然我们在先前研究中曾采用此法控制机器人（Scherzinger2017 (9)、Scherzinger2019Inverse (10)），但本文的新贡献在于对该映射特性进行深入分析，并将其与其他成熟方法进行对比评估。其目标与创新点在于为速度驱动机器人的控制器提供雅可比逆矩阵与DLS的直接替代方案。通过采用动态约束的虚拟正向模型，我们在匹配雅可比逆矩阵线性解耦特性的同时，保留了雅可比转置法在奇异点处的固有鲁棒性。

本文结构如下：第2节简要回顾逆运动学映射问题及现有方法，便于读者理解后续实验对比。第3节提出基于正向动力学的笛卡尔控制映射方案。第4节实验部分针对奇异配置下的病态性、稳定性及可操纵性展开研究，并将本方法与雅可比逆矩阵、雅可比转置矩阵及DLS方法的适宜子集进行对比评估。第5节讨论剩余问题与改进建议，第6节提出未来研究方向。

二、问题陈述与相关工作

本文旨在评估基于正向动力学的映射方法，并与成熟方法进行对比。我们采用奇异值分解（SVD）作为工具，探究映射矩阵的特征。SVD通过以下方式对矩阵𝑴进行分解：

𝑼与为正交矩阵。对角矩阵𝚺的对角线元素称为奇异值，决定了映射的尺度。在我们的实验中，最小奇异值和最大奇异值对于分析稳定性和可操控性具有特殊意义。

为重温若干基本概念，设正向运动学映射由以下关系给出：

该算法根据关节状态向量𝒒计算末端执行器姿态，此处用𝒙表示。广义坐标的速度向量𝒒˙通过映射关系与之关联。

通过机械臂雅可比矩阵求得末端执行器速度向量𝒙˙。为简化表述，后续符号中通常省略关节向量依赖项。对于非冗余机械臂，逆映射由下式给出：

在临奇异配置附近，𝑱的秩会降低，导致其逆矩阵在数值上变得不稳定。相应的末端执行器力和力矩到关节空间的映射为：

不会出现这些不稳定性。然而，当矩阵𝑱出现秩不足时，意味着𝒇的某些分量将位于雅可比转置矩阵的零空间中，即这些分量将被机构力学特性所抵消，从而无法驱动关节运动。这种效应是控制器实现过程中的严重限制因素。

在运动控制领域，Wolovich1984（11）系统性地探讨了雅可比转置法，并给出了逆运动学问题的数值解法。该解法基于一个简单的二阶动力学系统推导而来。

通过求解目标姿态与当前姿态（由正向运动学g(𝒒)确定）之间的差值，计算关节加速度。他们通过李雅普诺夫稳定性分析表明，对于任意正定矩阵𝑲，该系统具有渐近稳定性。

采用将作为我们贡献中稳定性考量中的下界和基准。

DLS方法是将Levenberg-Marquardt稳定化技术应用于机械臂控制的方案（Nakamura1986 (12), Wampler1986 (8)），旨在消除奇异配置附近𝑱−1的不稳定性。需注意Wampler1986 (8)提出的原始版本采用局部速度矩阵，其优势在于允许每个元素使用不同的参考坐标系。鉴于本文未采用该特性，故将其替换为通用机械手雅可比矩阵𝑱。类似于冗余系统中通过最小化∥𝑱𝒒˙−𝒙˙∥2实现的伪逆方法，本方法的核心思想是在关节速度过大时引入阻尼项α，通过在奇异构型附近以精度换取稳定性，实现

使该量取最小值的解由下列公式给出：

参见Buss2004（13）中的推导过程。矩阵为非奇异矩阵，可通过奇异值分解（Buss2004（13））验证，因此保证其可逆性。该方法在实际控制系统中应用成熟，可直接替代控制回路中的𝑱−1。我们将此方法作为基准，用于比较基于新正向动力学方法的可操纵性。

DLS的一种流行改进方法是选择性阻尼最小二乘法（SDLS）（Buss2005 (14)）。该方法通过引入𝑱奇异值分解的奇异向量特异阻尼项，在牺牲更高运行时间成本的前提下，实现了更快收敛并规避了选择合适α值的难题。

其他方法还包括较新的指数衰减最小二乘法（EDLS）Carmichael2017 (15)，该方案侧重于物理人机交互（pHRI）。尽管能有效避免肘关节锁死、腕关节锁死等常见奇异现象，但需要用户进行显式参数化设置（尽管操作简便）。

雅可比逆矩阵与雅可比转置矩阵各具优劣，分别映射至物理特性迥异的控制空间。在速度驱动系统中，雅可比逆矩阵无需动态解耦即可应用，但存在不稳定性问题------（DLS）虽能有效缓解此问题，却需以精度损失为代价换取增大阻尼。雅可比转置矩阵则需在控制器中实施动力学解耦，但在奇异配置附近具有固有稳定性。普遍目标是兼顾这些极端情况的优势。本文提出并通过实证评估，将正向动力学作为闭环控制方案核心实现这种组合的有效途径。

三、笛卡尔控制与正向动力学

3.1 正向动力学仿真

图1：将示例机器人机械臂拉入奇异点的示意图。

为阐明前向动力学在控制应用中的价值，我们通过一个用例展示其行为：图1描绘了一个由关节和连杆组成的任意机械臂。假设关节均为无电机驱动的纯铰链结构且可逆驱动，即能自由移动。当外部力𝒇将机构拉向奇异点时，机构会在运动学约束下尽可能承受外部力。在完全拉伸状态下，增大𝒇不会产生额外运动。机器人的力学结构会持续补偿外部负载，直至连杆可能断裂。这种行为实际上与𝑱−1算法处理外部误差向量时计算关节运动的方式相反------后者理论上会导致关节速度无限增大。

为应用正向动力学仿真，可将机械臂建模为由铰接刚体组成的系统。运动方程通过符号矩阵表示的常微分方程，描述关节处广义载荷𝝉、作用于末端执行器的外部载荷𝒇与广义坐标𝒒运动之间的关系：

𝑯表示机构的正定惯性矩阵，𝑪包含科里奥利力和离心力项，𝑮是重力分量向量。正向动力学计算的目标是求解式(9)中的𝒒(t)，即在给定外部载荷条件下，模拟机构随时间变化的反应运动。

文献中提出了多种用于正向动力学计算的方法，这些方法可归类为惯性矩阵方法，主要通过复合刚体算法实现，例如McMillan1998（16）和Featherstone2005（17）所采用的方法，或采用关节体算法的传播方法Featherstone1983（18）作为重要代表。感兴趣的读者可参阅Featherstone2008（17）获取更多信息。Featherstone2005 (17)；另一类则是传播方法，其中Featherstone1983 (18)提出的铰接体算法具有重要代表性。欲深入了解该领域及各类算法的最新实现方案，建议读者参阅Featherstone2008 (7)的综述性文献。

正向动力学是多体仿真中的重要组成部分。然而，在速度驱动系统的闭环控制中，该方法往往被忽视，这可能源于计算机器人𝑯和𝑪的精确近似值极其困难。关键数据（如连杆质量和惯性张量）在数据手册中几乎无法获取。另一方面，未采用该方法的另一原因在于：即便获取了上述数据，在速度驱动系统上执行高度逼真的运动前向仿真也难以体现其价值。这类系统内部的高增益干扰抑制关节伺服机构，无法有效利用生成运动轨迹时所采用的高精度动力学模型。此时参考轨迹对系统而言，将如同任意轨迹般毫无意义。

这一想法揭示了一个有趣的机会：我们可以将式(9)简化为一个粗略的近似，并探究是否能在闭环控制中将其作为前向模型使用时，通过条件化𝑯来有益地调整该映射的行为。

3.2 一种通用闭环控制

图2：基于前向动力学的闭环控制。我们采用虚拟系统对关节运动进行前向仿真，作为真实机器人的参考依据。

为推动式(9)的简化，我们探究控制器在闭环控制中如何感知系统。图2展示了通用方案：适宜的控制律利用用户指定的参考输入与来自机器人的受控变量作为反馈，计算出笛卡尔控制信号。需注意虚拟系统在控制器中作为正向模型的作用：我们模拟代理系统的行为，并将结果作为参考信号发送至真实系统。由于正向模型返回的是关节加速度响应，我们需对这些信号进行积分处理后再作为参考信号发送至真实机器人。其优势在于，该虚拟模型能对外部负载作出符合运动学和力学规律的响应，如图1所示。

从控制律的角度来看，线性虚拟系统有利于在机器人关节配置空间的广阔区域内使用恒定控制增益。通过从式(9)中省略重力项（𝑮(𝒒)=𝟎），我们确保控制律无需持续补偿该虚拟负载。若进一步考虑每个控制周期的瞬态运动（即从静止状态以𝒒˙=𝟎加速），则可忽略非线性项𝑪(𝒒,𝒒˙)，从而得到

作为无偏正向映射。我们还设定 𝝉≡𝟎 以强调 𝒇c 应是引导虚拟系统的唯一虚拟负载。

虽然省略这些参数可降低控制器的计算复杂度，但包含它们能提供额外的配置选项。第5节对此进行了简要讨论。

请注意，由于依赖于当前关节状态，因此需要在每个控制周期中进行计算。在实验部分，我们将评估其计算成本并与其他映射矩阵进行比较。由于式(10)本质上是一种基于雅可比转置的方法，下一步是解耦我们的虚拟。

3.3 解耦虚拟动力学

我们从式(4)的时间导数开始

在每个周期内考虑瞬时加速度，此时虚拟系统仍处于静止状态，使得𝑱˙𝒒˙=𝟎。利用式(10)可得

该式描述了虚拟系统因笛卡尔控制输入所产生的笛卡尔瞬时加速度。量𝚲被称为操作空间中的质量矩阵，参见例如Khatib1987（3）、Villani2008（6）中的。
图3：扭矩空间到笛卡尔加速度映射的图形化示意图。𝚲是适用于冗余与非冗余系统的6×6矩阵。我们的目标是获得适用于任意关节配置的解耦对角映射。

我们动态解耦的目的是使𝚲−1在所有关节构型𝒒下成为不变的对角矩阵。图3展示了这种理想映射关系。为保持虚拟系统与真实机器人的一致性，我们为两者采用相同的运动学模型。这确保了真实机器人需遵循的参考信号符合其可能的运动极限。然而，我们可自由调整虚拟机械𝑯的动力学特性以实现预期效果，特别是其质量分布。笛卡尔控制信号𝒇c直接作用于虚拟机构的末端执行器。若该末端执行器连杆在由其他连杆决定的整体动力学中占据主导地位，则可获得接近理想化单位质量的行为。图4展示了这一现象。
图4：以典型机器人为例的动态条件虚拟模型。其目标是使该机构表现为单一质量单元，图中通过超大球体进行示意。

因此，整个系统的质心大致保持在末端执行器处。同样地，操作空间惯量𝚲对关节配置的依赖性较小，且𝒇c在两种配置下承受相同的旋转惯量。若采用真实的连杆质量分布，则距离旋转轴越远的部件惯量越大。为衡量末端执行器质量主导效应，我们定义：

即末端执行器质量me与连杆质量ml之比。量ipe和ipl分别表示末端执行器与其他连杆的极惯性矩。在实验部分，我们通过实证表明增大γ值确实能实现预期行为，并为笛卡尔闭环控制提供解耦的虚拟系统。

3.4 闭环稳定性

比较式(6)与式(10)可发现，若，则基于正向动力学的本方法与Wolovich1984(11)提出的动力系统具有高度相似性。在Wolovich1984（11）中，作者通过李雅普诺夫稳定性分析证明：基于该映射构造的闭环系统，对于任意正定矩阵𝑲均具有渐近稳定性。该形式化证明同样适用于本文提出的映射------由于其根植于机械臂动能，故同样具有正定性。

四、实验与结果

我们在多项实验中将基于正向动力学的方案与动态光散射法（DLS）及两种极端情况𝑱−1和𝑱T进行了对比评估。实验选取了优傲机器人UR10的运动学参数，因其在工业与学术界均广为人知且应用广泛，故认为是合适的实验平台。

根据研究现象的不同，我们采用了不同映射矩阵的子集。图5展示了这些矩阵及其构成，同时标注了图表中使用的缩写。我们严格按字面意义实现每种映射矩阵，即通过C++代码将对应符号进行乘法运算。其中机器人运动学数据源自广受欢迎的ROS Quigley2009 (19)软件包¹，而𝑱与𝑯的计算算法则采用成熟的机器人学库²。
图5：实验映射矩阵。缩写分别代表雅可比逆矩阵（JI）、雅可比转置矩阵（JT）、阻尼最小二乘法（DLS）和正向动力学（FD）。研究了两种类型：（a）从笛卡尔空间到关节空间的映射，以及（b）从笛卡尔空间到笛卡尔空间的映射。

对于所有实验，正向动力学映射均采用以下参数值：

随后根据每次实验的调查结果调整了比率γ。

4.1 解耦

在本实验中，我们评估了虚拟模型动力学解耦的有效性，并将映射结果与雅可比逆矩阵和雅可比转置矩阵作为参考标准进行对比。映射矩阵采用图5中类型(b)的矩阵形式。
图6：对图5中类型(b)的6×6映射矩阵进行分析。该图以二维热图形式展示了各矩阵元素。为获得这些图，我们对𝒒取100,000个均匀分布的随机配置（qi∈[−π,π]），并计算每种类型的对应映射矩阵。图中显示了所有样本的平均值与标准差。

图6展示了分析结果。所有均值矩阵均为对角矩阵，这符合对大量任意关节配置进行采样的预期。然而，雅可比转置矩阵的标准差显示出强烈的配置依赖性。若将其用于闭环控制方案，该映射将表现次优。相反，雅可比逆矩阵表现理想，并收敛至单位矩阵。需注意：采用质量均匀分布（γ=1）的正向动力学映射已优于雅可比转置。实验进一步表明，当末端执行器质量显著占优（γ=10³）时，正向动力学映射将收敛至雅可比逆矩阵，其线性特性使该映射特别适用于闭环控制。

4.2 病态配置

本实验延续了解耦合评估工作，针对图5(b)中映射矩阵的病态性，对比了FD与DLS算法的表现。病态性数值越高，控制性能越差（Featherstone2004 (20)），但该数值高度依赖于机械臂配置。本实验通过分别改变γ和α参数，探究FD与DLS对病态性的影响。基于Featherstone2004 (20)的研究，我们采用κ=σmax/σmin作为条件不良的度量指标。图7展示了实验结果。对于图表中的每个离散点，我们均在图6限定范围内评估了1000个随机关节状态。通过四分位数处理数据有效排除异常值（σmin→0），使图表呈现条件不良的中位数分布。
图7：DLS与FD方法的病态条件数κ。每个数据点均为1000个随机评估关节配置的中位数。

可以看出，FD在自身参数空间内收敛到有利条件数的速率远快于DLS。事实上，实验图6所示的大部分解耦效应在γ取较低值时已然显现。

4.3 奇点处的行为

在报告本实验之前，我们简要回顾奇点处期望的行为特征。在奇异构型中，机械臂的雅可比矩阵𝑱会出现秩不足现象。这对所有考虑的方法而言都是不利的关节构型。其结果是机械臂无法实现所有方向的瞬时运动 Murray1994 (21)。由此衍生出两大问题：首先，基于雅可比转置矩阵的方法往往丧失可操作性。我们通过映射矩阵的σmin值衡量该效应------这是诸多公认指标之一（Murray1994 (21)）。其次，基于雅可比逆矩阵的方法会出现无限关节速度。我们通过σmax指标衡量该效应，该值反映映射矩阵在敏感维度上向关节空间的缩放程度𝒇c。实验旨在探究两种方法在奇异配置下的表现，同时考量上述两项指标。图8作为参考，展示了通过四个奇异配置（前两个配置相邻）时，雅可比逆矩阵与雅可比转置矩阵的表现。
图8：两条基线𝑱T和𝑱−1在穿过四个奇异配置时的轨迹，以虚线和垂直线示意。

曲线呈现了预期且众所周知的效应：雅可比矩阵逆矩阵在σmax值暴增的代价下保持了高可操纵性，而雅可比矩阵转置在整个迭代过程中保持稳定，却无法避免奇异点处σmin值降至零的情况。

图9和图10最终展示了采用不同γ值时正向动力学（FD）的行为特征。曲线表明FD在保持σmax处于稳定区间的同时，如何趋近于雅可比逆矩阵。为便于比较，我们添加了仅采用单一α值的DLS方法。FD与DLS呈现高度相似的特性，并在两个极端情况（JI与JT）之间实现了良好的平衡。请注意：随着γ值增大，FD曲线向雅可比逆矩阵收敛的趋势愈发显著。
图9：通过四种奇异配置研究不同映射矩阵的σmin值。

图10：通过四种奇异配置研究不同映射矩阵的σmax值。

4.4 稳定性与可操作性的实证分析

本实验旨在更广泛地比较FD与DLS的性能。目标是对α（DLS）和γ（FD）在更大范围内的变化进行实证分析，并评估它们在边界情况下的表现，同时对比雅可比矩阵逆矩阵与转置矩阵的表现。我们未局限于少数轨迹，而是采样了大量奇异构型。需注意：与实验4.1中偶然包含奇异构型的工件空间采样不同，本研究仅采用纯粹的奇异构型。通过在整个工件空间内专注于低性能区域（奇异点），所得结果可作为评估每种方法全局性能的有效指标。

为寻找大量奇异构型，我们首先以均匀分布的随机关节状态作为初始构型进行采样。随后采用粒子群优化算法（PSO）Miranda2018PySwarms (22)------该算法基于Kennedy1995 (23)的原始工作进行改进------作为黑盒优化策略，从初始状态收敛至奇异构型。我们采用Yoshikawa的可操纵性度量det(𝑱𝑱^T)，该度量在非冗余机构中可简化为|det(𝑱)| Yoshikawa1985Manipulability (24)作为最小化函数，其运算效率优于直接使用σmin的奇异值分解(SVD)。另可参考Zlatanov1998（25）及Bohigas2012Numerical（26）提出的基于类型特征的奇异点检索方法。

在1000个奇异配置的基础上，我们根据图5(a)所示，针对每个奇异配置的离散α和γ值，分别从FD和DLS的映射矩阵中计算出σmin和σmax的平均值。图11展示了可操纵性结果：当α减小而γ增大时，DLS趋近于雅可比矩阵逆矩阵的行为；当γ减小而α增大时，FD则呈现类似趋势。值得注意的是，FD方法在其参数空间中呈现出更快的定性收敛速度。
图11：DLS法与FD法相对于𝑱−1的相对可操作性。需注意，DLS法的实际应用可能需要更高阻尼值，最高可达α=1.1，如Buss2005（14）所报道。

图12显示了稳定性测试结果。
图12：与𝑱T相比，DLS和FD方法的相对不稳定性。

在大多数观测参数空间中，DLS比FD更接近雅可比转置稳定性。然而，当接近雅可比逆矩阵的高可控性时，DLS会丧失稳定性并渐近趋于无穷大，而FD则保持有界性。对于需要极低α值才能实现控制性能的应用场景，FD可作为安全替代方案，同时兼顾并保持𝑱−1与𝑱T的优势特性。

4.5 计算效率

最后，我们测量了各种映射方法的平均执行时间。我们根据Buss2005（14）实现了SDLS方法，并将测量结果作为补充参考纳入其中。

为进行比较，我们以图5(a)所示方式计算𝒒¨，采用虚构的常数𝒇c=𝟏进行10⁵次迭代。联合状态𝒒通过随机采样生成，且在每种方法的单次评估中保持一致。图13展示了各方法执行时间的箱线图及其四分位数分布。中位数以垂直橙色线标注，而最小/最大执行时间的须线显示出高度不规则性。在硬实时操作系统环境下进行的实验，其执行时间范围预计将更为集中。
图13：在英特尔®酷睿™ i7-4900MQ处理器上计算图5中类型(a)的不同映射的执行时间。

结果表明，正向动力学方法的计算强度略高于DLS方法，但执行时间约为SDLS的一半。由于仍处于低微秒级范围，本文版本的正向动力学方法适用于实时闭环控制。

五、讨论

5.1 虚拟正向模型

在推导式(10)中的正向动力学主映射时，我们舍弃了重力项与非线性项，以支持虚拟系统的动力学解耦。对于冗余机械臂而言，保留这些项可在雅可比转置矩阵的零空间中提供额外的行为调节接口。此类情况下，将正向动力学求解方法从复合刚体算法切换为传播方法可能更具优势。例如，Featherstone1983（18）提出的铰接体算法可直观地将外部载荷分别施加于机器人的每个连杆，该方法可用于实现避障功能或优化机器人姿态。

5.2 控制应用

正向动力学从笛卡尔扭矩空间到关节加速度的自然映射，使其特别适用于在速度驱动系统上实现与导纳相关的控制器。对于这些应用场景，采用力分辨控制律进行干扰抑制可替代基于DLS的速度分辨控制律。正向动力学方法的优势在于其能在不显著牺牲稳定性的前提下，实现极接近理想𝑱−1行为的运行。工业机器人领域基于正向动力学的控制成功案例包括：Scherzinger2019Contact（27）中的纯力控制，以及Scherzinger2017（9）、Heppner2020（28）中的顺应性控制。Scherzinger2019Inverse（10）则重点展示了该方法在稀疏采样目标运动控制中的应用。

六、结论

本文为笛卡尔机器人控制提出了虚拟正向动力学模型。控制环路的核心是一个简化的虚拟模型，该模型将笛卡尔控制信号映射到关节加速度。通过增加末端执行器的质量（相对于其他连杆），虚拟系统在操作空间动力学中呈现线性特性，并实现了雅可比逆矩阵精度的匹配。后续实验表明，相较于基于关节空间经验研究的DLS方法，该正向模型的解耦特性显著降低了条件数问题。穿越奇异点时，正向动力学在可操作性和稳定性方面总体表现与DLS方法相似。然而在奇异配置下，正向动力学模型与DLS存在显著差异：即使在可操作性方面被迫趋近雅可比逆矩阵，其仍能产生有界控制信号。此类虚拟正向模型特别适用于工业环境中速度驱动机器人的导纳控制器实现。其计算时间仅需低微秒级，完全满足实时控制需求。

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