高阶数据结构——并查集

1.并查集原理

在一些应用问题中，需要将n个不同的元素划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个
单元素集合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一
个元素归属于那个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-find
set)。
比如：某公司今年校招全国总共招生 10 人，西安招 4 人，成都招 3 人，武汉招 3 人， 10 个人来自不
同的学校，起先互不相识，每个学生都是一个独立的小团体，现给这些学生进行编号： {0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9}; 给以下数组用来存储该小集体，数组中的数字代表：该小集体中具有成员的个
数。 ( 负号下文解释 )

毕业后，学生们要去公司上班，每个地方的学生自发组织成小分队一起上路，于是：西安学生小分队s1={0,6,7,8} ，成都学生小分队 s2={1,4,9} ，武汉学生小分队 s3={2,3,5} 就相互认识了，10 个人形成了三个小团体。假设右三个群主 0,1,2 担任队长，负责大家的出行。

一趟火车之旅后，每个小分队成员就互相熟悉，称为了一个朋友圈。

从上图可以看出：编号 6,7,8 同学属于 0 号小分队，该小分队中有 4 人 ( 包含队长 0) ；编号为 4 和 9 的同
学属于 1 号小分队，该小分队有 3 人 ( 包含队长 1) ，编号为 3 和 5 的同学属于 2 号小分队，该小分队有 3
个人 ( 包含队长 1) 。

仔细观察数组中内融化，可以得出以下结论：

数组的下标对应集合中元素的编号
数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数
数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标

在公司工作一段时间后，西安小分队中 8 号同学与成都小分队 1 号同学奇迹般的走到了一起，两个
小圈子的学生相互介绍，最后成为了一个小圈子：现在 0 集合有 7 个人， 2 集合有 3 个人，总共两个朋友圈。

通过以上例子可知，并查集一般可以解决一下问题：

查找元素属于哪个集合
沿着数组表示树形关系以上一直找到根 ( 即：树中中元素为负数的位置 )

查看两个元素是否属于同一个集合
沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在

将两个集合归并成一个集合
将两个集合中的元素合并
将一个集合名称改成另一个集合的名称

集合的个数
遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。

2.并查集实现

cpp 复制代码

class UnionFindSet
{
public:
	// 初始时，将数组中元素全部设置为1
	UnionFindSet(size_t size)
		: _ufs(size, -1)
	{}
	// 给一个元素的编号，找到该元素所在集合的名称
	int FindRoot(int index)
	{
		// 如果数组中存储的是负数，找到，否则一直继续
		while (_ufs[index] >= 0)
		{
			index = _ufs[index];
		}

		return index;
	}
	bool Union(int x1, int x2)
	{
		int root1 = FindRoot(x1);
		int root2 = FindRoot(x2);

		// x1已经与x2在同一个集合
		if (root1 == root2)
			return false;

		// 将两个集合中元素合并
		_ufs[root1] += _ufs[root2];

		// 将其中一个集合名称改变成另外一个
		_ufs[root2] = root1;
		return true;
	}
	// 数组中负数的个数，即为集合的个数
	size_t Count()const
	{
		size_t count = 0;
		for (auto e : _ufs)
		{
			if (e < 0)
				++count;
		}

		return count;
	}
private:
	vector<int> _ufs;
};

3.并查集应用

省份数量

cpp 复制代码

class Solution {
public:
	int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
		// 手动控制并查集
		vector<int> ufs(isConnected.size(), -1);
		// 查找根
		auto findRoot = [&ufs](int x)
			{
				while (ufs[x] >= 0)
					x = ufs[x];
				return x;
			};
		for (size_t i = 0; i < isConnected.size(); ++i)
		{
			for (size_t j = 0; j < isConnected[i].size(); ++j)
			{
				if (isConnected[i][j] == 1)
				{
					// 合并集合
					int root1 = findRoot(i);
					int root2 = findRoot(j);
					if (root1 != root2)
					{
						ufs[root1] += ufs[root2];
						ufs[root2] = root1;
					}
				}
			}
		}
		int n = 0;
		for (auto e : ufs)
		{
			if (e < 0)
				++n;
		}
		return n;
	}
};

等式方程的可满足性

cpp 复制代码

/*
解题思路：

1. 将所有"=="两端的字符合并到一个集合中

2. 检测"!=" 两端的字符是否在同一个结合中，如果在不满足，如果不在满足
*/
class Solution {
public:
	bool equationsPossible(vector<string>& equations) {
		vector<int> ufs(26, -1);
		auto findRoot = [&ufs](int x)
			{
				while (ufs[x] >= 0)
					x = ufs[x];

				return x;
			};
		// 第一遍，先把相等的值加到一个集合中
		for (auto& str : equations)
		{
			if (str[1] == '=')
			{
				int root1 = findRoot(str[0] - 'a');
				int root2 = findRoot(str[3] - 'a');
				if (root1 != root2)
				{
					ufs[root1] += ufs[root2];
					ufs[root2] = root1;
				}
			}
		}
		// 第一遍，先把不相等在不在一个集合，在就相悖了
		// 返回false
		for (auto& str : equations)
		{
			if (str[1] == '!')
			{
				int root1 = findRoot(str[0] - 'a');
				int root2 = findRoot(str[3] - 'a');
				if (root1 == root2)
				{
					return false;
				}
			}
		}
		return true;
	}
};

高阶数据结构——并查集

**1.**并查集原理

2.并查集实现

**3.**并查集应用

1.并查集原理

3.并查集应用