线性代数 - 齐次线性方程组的样子
flyfish
齐次线性方程组是"等号右边全为0"，两种表达，矩阵形式+代数形式
1. 代数形式
{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=0 \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=0
每个方程左边是未知数 x1,x2,...,xnx_1, x_2, ..., x_nx1,x2,...,xn 的线性组合（无平方、乘积项）；
每个方程右边固定为0（这是"齐次"的关键，非齐次方程组右边是非零常数）。
齐次线性方程组的关键是所有方程等号右边必须为0 。若左边减去一个非零常数（比如把 a11x1+a12x2=0a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = 0a11x1+a12x2=0 改成 a11x1+a12x2−5=0a_{11}x_1 + a_{12}x_2 - 5 = 0a11x1+a12x2−5=0），等价于等号右边变成该常数（即 a11x1+a12x2=5a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = 5a11x1+a12x2=5），不再是0，就失去了"齐次性"，属于非齐次线性方程组。
只有减去的常数是0时，才仍是齐次线性方程组（相当于没变化）。
必然存在解：零向量（所有未知数都取 0）一定是它的解（即 "零解"）。
简单说满足 "线性 + 右边全为 0" 的方程组，就是齐次线性方程组。
2. 矩阵形式
Ax=0 A\mathbf{x} = \mathbf{0} Ax=0
AAA：m×nm \times nm×n 矩阵（mmm 个方程，nnn 个未知数），即系数矩阵：
A=[a11a12...a1na21a22...a2n⋮⋮⋱⋮am1am2...amn] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2......⋱...a1na2n⋮amn
x\mathbf{x}x：nnn 维列向量（未知数向量）：x=[x1x2⋮xn]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}x= x1x2⋮xn
0\mathbf{0}0：mmm 维零向量（等号右边全为0）：0=[00⋮0]\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}0= 00⋮0
齐次线性方程组的解只有 两种可能 ：要么仅1个解（零解），要么 无穷多个解 （含零解+无数非零解），不存在"只有2个、3个或有限多个解"的情况。
只有1个解（零解）：{x+y=0x−y=0\begin{cases} x + y = 0 \\ x - y = 0 \end{cases}{x+y=0x−y=0，唯一解 (0,0)(0,0)(0,0)；
无穷多解：{x+y=02x+2y=0\begin{cases} x + y = 0 \\ 2x + 2y = 0 \end{cases}{x+y=02x+2y=0，解为 (t,−t)(t, -t)(t,−t)（ttt 是任意常数），t取1、2、3、0.1、-5等无数值，对应无数个解。
类型1：唯一解（仅零解）
方程组只有 零向量这一个解 （所有未知数都取0），无任何非零解。
系数矩阵的秩 = 未知数个数（n阶矩阵需满足 det(A)≠0\det(A) \neq 0det(A)=0，即满秩）。
例子（二元）：
{x+3y=02x+5y=0 \begin{cases} x + 3y = 0 \\ 2x + 5y = 0 \end{cases} {x+3y=02x+5y=0
求解：由第一个方程得 x=−3yx = -3yx=−3y，代入第二个方程得 −6y+5y=−y=0 ⟹ y=0-6y + 5y = -y = 0 \implies y = 0−6y+5y=−y=0⟹y=0，故 x=0x = 0x=0，唯一解为 [00]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}[00]。
类型2：无穷多解（含零解+非零解）
除零解外，还存在 无数个非零解 （非零解可通过线性组合生成），解的总数无穷。
系数矩阵的秩 < 未知数个数（n阶矩阵需满足 det(A)=0\det(A) = 0det(A)=0，即降秩）。
例子（三元）：
{x+y−z=02x+2y−2z=03x+3y−3z=0 \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x + 2y - 2z = 0 \\ 3x + 3y - 3z = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x+y−z=02x+2y−2z=03x+3y−3z=0
求解：三个方程等价于 x+y=zx + y = zx+y=z，无穷多解。