《算法通关指南：算法基础篇 ---- 一维前缀和--- 1. 【模板】前缀和，2.最大子段和》
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文章目录
- [《算法通关指南：算法基础篇 ---- 一维前缀和--- 1. 【模板】前缀和，2.最大子段和》](#《算法通关指南：算法基础篇 ---- 一维前缀和— 1. 【模板】前缀和，2.最大子段和》)
- 前言
- 一、前缀和
- 二、一维前缀和
-
- [2.1 核心问题](#2.1 核心问题)
-
- [2.1.1 构建一维前缀和](#2.1.1 构建一维前缀和)
- [2.2.2 利用前缀和数组求解区间【l，r】内元素的和](#2.2.2 利用前缀和数组求解区间【l，r】内元素的和)
- 三、一维前缀和经典算法题
- 3.1【模板】前缀和
- [3.2 最大子段和](#3.2 最大子段和)
-
- [3.2.1 题目](#3.2.1 题目)
- [3.2.2 算法原理](#3.2.2 算法原理)
- [3.2.3 代码](#3.2.3 代码)
- 总结与每日励志
前言
本系列讲解算法竞赛的数据结构在算法竞赛中，我们主要关心的其实是时间开销，空间上是基本够用的，因此我们是使用庞大的数组实现的话不多说冲！
一、前缀和
前缀和与差分的核心思想是预处理 ，可以在暴力枚举的过程中，快速给出查询的结果，从而优化时间复杂度。是经典的用空间替换时间的做法
二、一维前缀和
2.1 核心问题
2.1.1 构建一维前缀和
核心公式： f[i] = f[i − 1] + a[i]
2.2.2 利用前缀和数组求解区间【l，r】内元素的和
核心公式： f[r] − f[l − 1]
三、一维前缀和经典算法题
3.1【模板】前缀和
3.1.1题目
链接：【模板】前缀和
3.1.2 算法原理
依照刚才讲解前缀和原理模拟即可
3.1.3代码
c
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
typedef long long LL; //数组大小最大1e9相加会超过int，故用long long
LL a[N];
LL f[N]; //前缀和数组
int main()
{
int n,m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> a[i];
//从1开始，f[i - 1] = f[0] = 0，可以有效避免i - 1 = -1 使得数组越界
for (int i = 1; i <= n; i++)
f[i] = f[i - 1] + a[i];
while (m--)
{
int l, r;
cin >> l >> r;
//[l,r]区间
cout << f[r] - f[l - 1] << endl;
}
return 0;
}3.2 最大子段和
3.2.1 题目
链接：最大子段和
3.2.2 算法原理
考虑以i 位置的元素a[i] 「为结尾」的最大子段和：
• 如果想要最大子段和，也就是最大区间和 ，那么用f[i] 减掉⼀个前驱最小值即可。
因此，我们可以创建前缀和数组，然后在遍历前缀和数组的过程中，⼀边更新前驱最小值，⼀边更新当前位置为结尾的最大子段和。
3.2.3 代码
c
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
typedef long long LL;
LL f[N]; //构建前缀和数组
int main()
{
int n;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int x;
cin >> x;
f[i] = f[i - 1] + x;
}
LL ret = -1e20; //前缀和可能为负数
LL pre = 0; //以1为结尾的前缀和前驱最小为0
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
ret = max(ret, f[i] - pre);
pre = min(pre, f[i]); //寻找【1，i】区间的最小值
}
cout << ret << endl;
return 0;
}总结与每日励志
✨本文讲解了算法竞赛中的一维前缀和算法，通过预处理数组实现快速区间查询，有效优化时间复杂度。文章详细介绍了前缀和的核心公式（f[i] = f[i-1] + a[i]）和区间求和公式（f[r]-f[l-1]），并通过两个典型例题《前缀和模板》和《最大子段和》进行实战演示，展示了如何用前缀和思想解决实际问题。最后以"永远相信美好的事情即将发生"作为励志结语，鼓励读者坚持算法学习。全文简洁清晰，兼顾理论讲解与代码实现，适合算法初学者参考学习。
