从零开始写算法——二分-寻找旋转排序数组中的最小值

一、题目背景

给定一个升序数组，它被某个未知的下标旋转了，例如：

原始数组：[0,1,2,4,5,6,7]
旋转后：[4,5,6,7,0,1,2]

要求：找到旋转后的数组的最小值。

二、二分为什么可行？

很多同学第一眼看到这题会想："这不是无序的吗？还能二分？"

其实，虽然整体无序，但它由两个递增子数组拼接而成：

[4,5,6,7] + [0,1,2]

这意味着------

我们依然可以通过一次比较排除掉一半的答案空间。

只要能做到这一点，二分搜索就可以用。

我们先来看下面这张图，这是把题目抽象后的图像：

这里注意两个数一个是1，这是答案，一个是5，这个其实可以看作是x轴分界点（注意这里并不是x = 0，我们只是做一个抽象区分），其实就是大于5我们就放到左边（染红色），小于等于5就放右边（染蓝色），最后蓝色第一个数字就是答案。（注意：我们这个过程中并不关心每个序列真的值的增减性，我们只需要判断染色范围）

三、红蓝染色思路

我们可以把整个数组分成两种区域：

• 红色区域 ：所有 nums[i] > nums.back() 的元素

• 蓝色区域 ：所有 nums[i] <= nums.back() 的元素

而我们要找的最小值，就是蓝色区域的第一个数。

举个例子：

nums = [4,5,6,7,0,1,2]
nums.back() = 2

红蓝分布：
红色：[4,5,6,7]
蓝色：[0,1,2]

目标就是找到第一个蓝色元素的位置。

四、代码实现（查找型二分写法）

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        // 思路： 我们说的二分要求有序，其实也可以从整体把控它的"部分有序性"。
        // 只要一次判断可以排除掉一半可能，就能用二分。
        // mid 与 back 比较：
        //   如果 nums[mid] > nums.back()，说明 mid 在红色区域，最小值在右侧；
        //   否则 mid 在蓝色区域，最小值可能在左侧（包括 mid 本身）。
        
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1;
        
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] > nums.back()) {
                left = mid + 1;  // mid 在红色区域，答案在右边
            } else {
                right = mid - 1; // mid 在蓝色区域，答案可能在左边
            }
        }
        return nums[left]; // 退出时 left 正好指向蓝色区域第一个
    }
};

五、循环逻辑详解

1️⃣ 判断条件

nums[mid] > nums.back()

→ 说明 mid 在红色区域，最小值一定在右侧，所以 left = mid + 1。

否则

→ mid 在蓝色区域，最小值可能是 mid 或更左边，所以 right = mid - 1。

---

2️⃣ 为什么可以返回 nums[left]？

当循环结束时（left > right），有两个事实成立：

• right 一定停在最后一个红色元素的位置

• left 一定指向第一个蓝色元素（也就是最小值）

因此直接返回 nums[left] 就行。

如果你此时画一下红蓝区间，会发现：

红红红红蓝蓝蓝
      ↑ ↑
  right left

循环结束后 left 恰好越过红区，落在蓝区第一个上。

六、调试理解

以 nums = [4,5,6,7,0,1,2] 为例，追踪过程：

left	right	mid	nums[mid]	比较结果	下一步
0	6	3	7	7 > 2	left = 4
4	6	5	1	1 <= 2	right = 4
4	4	4	0	0 <= 2	right = 3

退出循环时：left = 4, right = 3，返回 nums[4] = 0 ✅

七、总结

关键点	含义
能否二分的核心	一次比较能排除一半可能性
红蓝划分标准	nums[mid] > nums.back()
答案所在区域	蓝色第一个元素
循环类型	查找型（<=）
返回位置	nums[left]

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八、延伸：红蓝染色法的通用套路

这种思路其实是通用的。

比如：

• 找第一个 ≥ target 的元素：蓝色 = "符合条件"

• 找最后一个 < target 的元素：红色 = "不符合条件"

只要能把区间"染色"，就能写出稳健的二分。

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九、写在最后

这道题虽然只有几行代码，却几乎涵盖了二分的所有核心概念：

• 红蓝染色法

• 边界控制与不变量

• <= 与 < 循环的区别

• 二分的本质：一次判断排除一半空间

当你真正理解这些逻辑后，

二分搜索就不再是"模板题"，而是一种思维方式。