线性DP第12课：线性DP应用案例实践：数字三角形

题目描述

观察下面的数字金字塔。

写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中，从 7 → 3 → 8 → 7 → 5 7 \to 3 \to 8 \to 7 \to 5 7→3→8→7→5 的路径产生了最大权值。

输入格式

第一个行一个正整数 r r r，表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

输出格式

单独的一行,包含那个可能得到的最大的和。

输入输出样例 1

输入 1

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输出 1

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说明/提示

对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ r ≤ 1000 1\le r \le 1000 1≤r≤1000，所有输入在 [ 0 , 100 ] [0,100] [0,100] 范围内。

思路分析

问题类型
数字三角形最大路径和问题，即在给定的三角形数字阵列中，找到从顶部到底部路径的最大累加值，路径每一步只能从当前点移动到下一行相邻点。
算法思路
采用动态规划 方法：
- 状态定义 ：dp[i][j]表示从顶点(1,1)到点(i,j)的最大路径和。
- 状态转移：每个点(i,j)只能由上方点(i-1,j)或左上方点(i-1,j-1)到达，取两者最大值加上当前点的值。
- 初始化 ：起点dp[1][1]初始化为三角形顶点的值。
- 结果获取 ：遍历最后一行的所有dp[r][i]值，取最大值作为答案。
时间复杂度
- 数据读取：O(r²)
- 动态规划过程：O(r²)
- 最终结果扫描：O®
- 总时间复杂度：O(r²)，适用于r≤1000的规模。
空间复杂度
- 使用二维数组存储数字三角形和DP状态：O(2*r²) = O(r²)

代码实现

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1010;        // 数组最大容量
int r,a[N][N];           // r:数字三角形行数，a:存储数字三角形
int dp[N][N];            // dp[i][j]表示从顶点(1,1)到点(i,j)的最大路径和

int main(){
    cin>>r;  // 输入行数
    // 读取数字三角形数据
    for(int i=1;i<=r;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    
    // 初始化动态规划起点
    dp[1][1] = a[1][1];  // 顶点路径和为自身值
    
    // 动态规划状态转移
    for(int i=2;i<=r;i++){               // 从第二层开始计算
        for(int j=1;j<=i;j++){           // 每层有i个元素
            // 状态转移方程：当前位置可由左上方或正上方转移而来
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + a[i][j];
        }
    }
    
    // 在最后一行寻找最大路径和
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=r;i++){
        ans = max(ans, dp[r][i]);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

注释说明

核心状态转移 ：dp[i][j] = max(上方节点, 左上方节点) + 当前节点值，这确保了每一步都选择局部最优解。
边界处理 ：当j=1时，dp[i-1][j-1]会访问dp[i-1][0]，但由于数组未初始化该区域，实际代码中通过循环设计避免了越界问题（因为j从1开始）。

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"##########  一站式掌握信奥赛知识!  ##########";
	cout<<"#############  冲刺信奥赛拿奖!  #############";
	cout<<"######  课程购买后永久学习，不受限制!   ######";
	return 0;
}

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int main(){
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	return 0;
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