树与哈希：数据结构核心解析

树的基本概念与特性

• 定义：树是由n（n≥0）个结点构成的有限集合。n=0时为空树；非空树中，有且仅有一个根结点，其余结点分为m个互不相交的子树。
• 相关术语 ：
  • 度：结点的子树数量。度为0的结点称为叶结点，否则为分支结点。
  • 树的度：树中所有结点的最大度数。
  • 深度/高度：根结点为第1层，逐层向下递增。

二叉树

• 定义：每个结点最多有两个子树（左子树和右子树），且子树有严格顺序。
• 特殊类型 ：
  • 斜树：所有结点只有左子树（左斜树）或只有右子树（右斜树）。
  • 满二叉树：所有分支结点均有左右子树，且叶结点在同一层。
  • 完全二叉树：结点位置与同深度的满二叉树编号完全一致。

二叉树的性质

1. 第i层最多有 (2^{i-1}) 个结点（i≥1）。
2. 深度为k的二叉树至多有 (2^k - 1) 个结点（k≥1）。
3. 叶子结点数 (n_0) 与度为2的结点数 (n_2) 满足 (n_0 = n_2 + 1)。
4. 完全二叉树的深度为 (\left\lfloor \log_2 n \right\rfloor + 1)。

树的遍历

• 层序遍历：按层级从上到下、从左到右访问。
• 深度优先遍历 ：
  • 前序：根 → 左 → 右。
  • 中序：左 → 根 → 右。
  • 后序：左 → 右 → 根。

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哈希（Hash）技术

• 核心思想：通过哈希函数 (f(key)) 将数据映射到固定大小的数组中，实现高效存储与查询（理想时间复杂度O(1)）。
• 哈希函数设计原则 ：
  • 计算简单。
  • 分布均匀以减少冲突。
• 常见哈希函数 ：
  • 直接定址法、平方取中法、折叠法、求余法。

哈希冲突解决

• 冲突定义：不同数据 (key_1 \neq key_2) 但 (f(key_1) = f(key_2))。
• 解决方法 ：
  • 线性探测：顺序查找下一个空闲位置（+1, +2, ...）。
  • 二次探测：交替探测 (±1^2, ±2^2, ...)。
  • 随机探测：通过随机数偏移量定位。

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代码示例（哈希表实现片段）

class HashTable:
    def __init__(self, size):
        self.size = size
        self.table = [None] * size

    def hash_function(self, key):
        return key % self.size  # 简单求余法

    def insert(self, key, value):
        index = self.hash_function(key)
        while self.table[index] is not None:  # 线性探测解决冲突
            index = (index + 1) % self.size
        self.table[index] = (key, value)