25、数据结构：树与二叉树的概念、特性及递归实现

数据结构：树与二叉树的概念、特性及递归实现

一、树的基础概念

树是由 n(n≥0)n(n\geq0)n(n≥0) 个结点组成的有限集合，核心定义与术语如下：

空树：n=0n=0n=0 时的特殊树；
非空树 ：有且仅有一个根结点 ，其余结点可分为 mmm 个互不相交的子树（子树本身也是树）；
结点的度：结点拥有的子树数量；
叶结点/分支结点：度为0的结点称为叶结点（终端结点），度不为0的称为分支结点（非终端结点）；
树的度数：树中所有结点的最大度数；
树的深度/高度：从根开始计数，根为第1层，其孩子为第2层，以此类推，最深结点的层数即为树的深度。

树的存储方式分为两种：

顺序结构：用数组存储（适合完全二叉树）；
链式结构：用指针存储结点间的父子关系（通用方式）。

二、二叉树：特殊的树结构

二叉树是树的特殊形式，定义为：由 nnn 个结点组成的有限集合，要么是空树，要么由一个根结点和两棵互不相交的左子树、右子树组成（左、右子树也为二叉树）。

2.1 二叉树的核心特点

每个结点最多有2棵子树（左、右子树）；
左、右子树是有顺序的，次序不能颠倒（即使只有一棵子树，也要区分左/右）。

2.2 特殊类型的二叉树

斜树：所有结点只有左子树（左斜树）或只有右子树（右斜树），本质是退化的线性结构；
满二叉树 ：所有分支结点都有左、右子树，且所有叶结点在同一层（深度为 kkk 的满二叉树有 2k−12^k-12k−1 个结点）；
完全二叉树：按层序编号后，每个结点的编号与同深度的满二叉树对应位置编号一致（叶结点只出现在最后两层，且最后一层的结点靠左排列）。

2.3 二叉树的核心特性

第 iii 层最多有 2i−12^{i-1}2i−1 个结点（i≥1i\geq1i≥1）；
深度为 kkk 的二叉树，最多有 2k−12^k-12k−1 个结点（k≥1k\geq1k≥1）；
任意二叉树中，叶结点数 n0n_0n0 与度为2的结点数 n2n_2n2 满足：n0=n2+1n_0 = n_2 + 1n0=n2+1；
有 nnn 个结点的完全二叉树，深度为 ⌊log⁡2n⌋+1\lfloor \log_2 n \rfloor + 1⌊log2n⌋+1。

三、二叉树的递归实现：从创建到遍历

以下代码基于链式结构 实现二叉树，通过前序字符串递归创建树，并实现前序、中序、后序遍历，最后递归销毁树避免内存泄露。

3.1 代码结构说明

二叉树结点结构体

c 复制代码

typedef char DATATYPE;

// 二叉树结点：存储数据+左/右子树指针
typedef struct _treenode_
{
    DATATYPE data;
    struct _treenode_ *left;  // 左子树指针
    struct _treenode_ *right; // 右子树指针
} TREENODE;

3.2 递归创建二叉树（前序字符串法）

通过前序遍历序列 （用 # 表示空结点）递归构建二叉树，示例序列："abd##e##c#fh###"（对应树结构见下文）。

c 复制代码

char data[] = "abd##e##c#fh###"; // 前序序列（#表示空结点）
int inx = 0; // 全局变量：记录当前处理到序列的第几个字符

// 递归创建二叉树（传入根结点的指针的指针）
void CreateRoot(TREENODE **root)
{
    char c = data[inx++]; // 取当前字符并移动下标
    if ('#' == c)
    {
        *root = NULL; // #表示空结点
        return;
    }
    // 分配结点内存并初始化
    *root = (TREENODE *)malloc(sizeof(TREENODE));
    if (NULL == *root)
    {
        printf("CreateRoot malloc failed\n");
        return;
    }
    (*root)->data = c;
    CreateRoot(&(*root)->left);  // 递归创建左子树
    CreateRoot(&(*root)->right); // 递归创建右子树
}

序列对应树结构 ：

根结点为 a，左子树是 b（b 的左是 d、右是 e），右子树是 c（c 的右是 f，f 的左是 h），空结点用 # 填充。

3.3 深度优先遍历（前序、中序、后序）

深度优先遍历通过递归实现，核心是根结点的访问时机：

前序遍历：根 → 左 → 右
中序遍历：左 → 根 → 右
后序遍历：左 → 右 → 根

前序遍历

c 复制代码

void PreOrderTraverse(TREENODE *T)
{
    if (NULL == T) return;
    printf("%c", T->data); // 先访问根
    PreOrderTraverse(T->left);  // 遍历左子树
    PreOrderTraverse(T->right); // 遍历右子树
}

中序遍历

c 复制代码

void InOrderTraverse(TREENODE *T)
{
    if (NULL == T) return;
    InOrderTraverse(T->left);  // 先遍历左子树
    printf("%c", T->data);     // 再访问根
    InOrderTraverse(T->right); // 最后遍历右子树
}

后序遍历

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void PostOrderTraverse(TREENODE *T)
{
    if (NULL == T) return;
    PostOrderTraverse(T->left);  // 先遍历左子树
    PostOrderTraverse(T->right); // 再遍历右子树
    printf("%c", T->data);       // 最后访问根
}

3.4 二叉树的销毁（递归释放内存）

递归遍历所有结点，先释放左、右子树，再释放当前结点（避免野指针与内存泄露）：

c 复制代码

void DestroyTree(TREENODE *root)
{
    if (NULL == root) return;
    DestroyTree(root->left);  // 销毁左子树
    DestroyTree(root->right); // 销毁右子树
    free(root);               // 释放当前结点
}

3.5 主函数与运行结果

c 复制代码

int main(int argc, char **argv)
{
    TREENODE *root = NULL;
    CreateRoot(&root); // 创建二叉树

    printf("前序遍历：");
    PreOrderTraverse(root);
    printf("\n中序遍历：");
    InOrderTraverse(root);
    printf("\n后序遍历：");
    PostOrderTraverse(root);
    printf("\n");

    DestroyTree(root); // 销毁树
    return 0;
}

运行输出

复制代码

前序遍历：abdecfh
中序遍历：dbeahfc
后序遍历：debhfca

四、总结

二叉树的核心是左/右子树的有序性，基于递归的创建与遍历是最直观的实现方式；
前序字符串法创建二叉树时，# 是关键的空结点标识，确保递归能正确终止；
遍历的本质是根结点的访问时机，前/中/后序的区别仅在于根结点的打印顺序；
递归销毁树时，需遵循"先子树后结点"的顺序，避免内存泄露。