要推导式（12），需结合反向过程的ϵ\epsilonϵ预测参数化 和变分下界的化简步骤 ，核心逻辑是"代入参数化→展开范数→替换xt\mathbf{x}_txt表达式"，具体推导如下：
步骤1：明确μθ\mu_\thetaμθ的ϵ\epsilonϵ预测参数化
根据原文，反向过程均值μθ\mu_\thetaμθ采用**预测噪声ϵ\epsilonϵ**的参数化方式：
μθ(xt,t)=1αt(xt−βt1−αˉtϵθ(xt,t)) \mu_\theta(\mathbf{x}_t, t) = \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \left( \mathbf{x}_t - \frac{\beta_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}t}} \epsilon\theta(\mathbf{x}_t, t) \right) μθ(xt,t)=αt 1(xt−1−αˉt βtϵθ(xt,t))
其中，ϵθ(xt,t)\epsilon_\theta(\mathbf{x}_t, t)ϵθ(xt,t)是函数逼近器，用于从xt\mathbf{x}_txt预测真实噪声ϵ\epsilonϵ。
步骤2：代入式（10）并化简范数项
回顾式（10）中的范数项内部差值（即 μ~t(xt,x0)\tilde{\mu}_t(\mathbf{x}_t, \mathbf{x}0)μ~t(xt,x0) 减去 μθ(xt,t)\mu\theta(\mathbf{x}_t, t)μθ(xt,t)）：
Note: μ~t(xt,x0)\tilde{\mu}_t(\mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0)μ~t(xt,x0) 可表示为 1αt(xt−βt1−αˉtϵ)\frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \left( \mathbf{x}_t - \frac{\beta_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \epsilon \right)αt 1(xt−1−αˉt βtϵ)。
将μθ\mu_\thetaμθ的参数化代入，展开范数内的差：
μ~t(xt,x0)−μθ(xt,t)=1αt(xt−βt1−αˉtϵ)−[1αt(xt−βt1−αˉtϵθ(xt,t))]=1αt(xt−xt−βt1−αˉtϵ+βt1−αˉtϵθ(xt,t))=1αt⋅βt1−αˉt(ϵθ(xt,t)−ϵ) \begin{align*} &\tilde{\mu}_t(\mathbf{x}_t, \mathbf{x}0) - \mu\theta(\mathbf{x}_t, t) \\ &= \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \left( \mathbf{x}_t - \frac{\beta_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \epsilon \right) - \left[ \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \left( \mathbf{x}_t - \frac{\beta_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}t}} \epsilon\theta(\mathbf{x}_t, t) \right) \right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \left( \mathbf{x}_t - \mathbf{x}_t - \frac{\beta_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \epsilon + \frac{\beta_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}t}} \epsilon\theta(\mathbf{x}_t, t) \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \cdot \frac{\beta_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}t}} \left( \epsilon\theta(\mathbf{x}_t, t) - \epsilon \right) \end{align*} μ~t(xt,x0)−μθ(xt,t)=αt 1(xt−1−αˉt βtϵ)−[αt 1(xt−1−αˉt βtϵθ(xt,t))]=αt 1(xt−xt−1−αˉt βtϵ+1−αˉt βtϵθ(xt,t))=αt 1⋅1−αˉt βt(ϵθ(xt,t)−ϵ)
对该向量取L2范数的平方 (∥⋅∥2\|\cdot\|^2∥⋅∥2)：
∥1αt⋅βt1−αˉt(ϵθ(xt,t)−ϵ)∥2=βt2αt(1−αˉt)∥ϵθ(xt,t)−ϵ∥2 \left\| \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \cdot \frac{\beta_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}t}} \left( \epsilon\theta(\mathbf{x}_t, t) - \epsilon \right) \right\|^2 = \frac{\beta_t^2}{\alpha_t (1 - \bar{\alpha}t)} \left\| \epsilon\theta(\mathbf{x}_t, t) - \epsilon \right\|^2 αt 1⋅1−αˉt βt(ϵθ(xt,t)−ϵ) 2=αt(1−αˉt)βt2∥ϵθ(xt,t)−ϵ∥2
步骤3：结合式（10）的系数，初步化简
式（10）中存在系数12σt2\frac{1}{2\sigma_t^2}2σt21，将其与范数平方项结合：
12σt2⋅βt2αt(1−αˉt)∥ϵ−ϵθ(xt,t)∥2 \frac{1}{2\sigma_t^2} \cdot \frac{\beta_t^2}{\alpha_t (1 - \bar{\alpha}t)} \left\| \epsilon - \epsilon\theta(\mathbf{x}_t, t) \right\|^2 2σt21⋅αt(1−αˉt)βt2∥ϵ−ϵθ(xt,t)∥2
步骤4：替换xt\mathbf{x}_txt的表达式（来自前向过程重参数化）
根据前向过程的边际分布（式（4）），xt\mathbf{x}_txt可重参数化为：
xt=αˉtx0+1−αˉtϵ(αˉt=∏s=1tαs) \mathbf{x}_t = \sqrt{\bar{\alpha}_t}\mathbf{x}_0 + \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}\epsilon \quad (\bar{\alpha}t = \prod{s=1}^t \alpha_s) xt=αˉt x0+1−αˉt ϵ(αˉt=s=1∏tαs)
将xt\mathbf{x}txt的表达式代入ϵθ\epsilon\thetaϵθ的输入，最终得到式（12）：
Ex0,ϵ[βt22σt2αt(1−αˉt)∥ϵ−ϵθ(αˉtx0+1−αˉtϵ,t)∥2] \mathbb{E}_{\mathbf{x}_0, \epsilon} \left[ \frac{\beta_t^2}{2\sigma_t^2 \alpha_t (1 - \bar{\alpha}t)} \left\| \epsilon - \epsilon\theta \left( \sqrt{\bar{\alpha}_t}\mathbf{x}_0 + \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}\epsilon, t \right) \right\|^2 \right] Ex0,ϵ[2σt2αt(1−αˉt)βt2 ϵ−ϵθ(αˉt x0+1−αˉt ϵ,t) 2]
总结：推导的核心逻辑
式（12）的推导是**"参数化代入→范数展开→变量替换"**的连续过程：
- 先通过ϵ\epsilonϵ预测的参数化方式，将μθ\mu_\thetaμθ转化为含ϵθ\epsilon_\thetaϵθ的形式；
- 展开范数项，利用代数化简得到仅含ϵ\epsilonϵ和ϵθ\epsilon_\thetaϵθ的差异项；
- 最后用前向过程的重参数化公式替换xt\mathbf{x}_txt，得到最终的去噪分数匹配类目标。
这一推导体现了"扩散模型变分下界"与"去噪分数匹配"的等价性，是原文建立两者联系的关键数学桥梁。