代码随想录 115.不同的子序列

思路：本题也是编辑距离类型问题。本题相当于只有删除操作，不考虑替换增加之类的。

动规五部曲：

1.确定dp数组（dp table）及其下标的含义：dpij表示以i - 1为结尾的s子序列中，出现以j - 1为结尾的t的个数为dpij。

2.确定递推公式：分为两种情况。

（1）si - 1与tj - 1相等：dpij可以由两部分组成。

------一部分是用si - 1来匹配，个数为dpi - 1j - 1。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要dpi - 1j - 1。

------另一部分是不用si - 1来匹配，个数为dpi - 1j。

所以此时递推公式为dpij = dpi - 1j - 1 + dpi - 1j。

（2）si - 1与tj - 1不相等：dpij只有一部分组成，那就是不用si - 1来匹配（模拟在s中删除这个元素），即：dpi - 1j。此时递推公式为：dpij = dpi - 1j。

为什么只考虑不用si - 1来匹配的情况，而没有考虑不用tj - 1来匹配的情况？

因为是要求s中有多少个t，而不是求t中有多少个s，所以只考虑s中删除元素的情况。

3.dp数组如何初始化：

（1）从递推公式dpij = dpi - 1j - 1 + dpi - 1j和dpij = dpi - 1j可以看出，dpij是从上方和左上方推导而来，如下图所示。那么dpi0和dp0j一定是要初始化的。

（2）初始化之前，先回顾dpij的定义。

------dpi0表示：以i - 1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。因此dpi0 = 1。

------dp0j表示：空字符串s可以随便删除元素，出现以j - 1为结尾的字符串t的个数。因此dp0j = 0，因为s无法变为t。

------dp00：dp00应该为1，因为空字符串s可以删除0个元素变成空字符串t。

4.确定遍历顺序：从递推公式dpij = dpi - 1j - 1 + dpi - 1j和dpij = dpi - 1j可以看出来，dpij是根据左上方和正上方推导出来的。所以遍历顺序为从上到下，从左到右，以保证dpij可以根据之前计算出的数值进行计算。代码如下所示。

for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
    for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
        if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
        } else {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
}

5.举例推导dp数组：以s:"baegg"，t:"bag"为例，dp数组的状态如下所示。

附代码：

class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        int len1 = s.length();
        int len2 = t.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        for(int i = 0;i < len1 + 1;i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int i = 1;i < len1 + 1;i++){
            for(int j = 1;j < len2 + 1;j++){
                if(s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)){
                    //既可以使用主串s的最后一个字符s[i - 1]去匹配t的最后一个字符t[i - 1]
                    //也可以不使用主串s的最后一个字符s[i - 1]去匹配t的最后一个字符t[j - 1]
                    //这两种选择是互斥的，且覆盖了所有可能
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                }else{
                    //主串s的最后一个字符s[i - 1]不能用来匹配t的最后一个字符t[i - 1]
                    //因此必须用s[0..i - 2]去匹配t[0..j - 1]
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}