判断链表有环？
我们在学习链表的时候，讲过如何判断链表是否有环的办法，讲解的时候是用的双指针的办法，如果有环，就会在这个环里相遇
算法步骤：
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初始化两个指针，slow（每次走一步）和fast（每次走两步），都指向链表头部。
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开始循环，直到fast为空或者fast的下一个节点为空（表示链表无环）或者slow和fast相遇（表示有环）。
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如果fast或fast.next为null，说明链表无环，返回null。
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如果slow和fast相遇，说明链表有环，进入步骤3。
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当slow和fast相遇后，将其中一个指针（比如ptr1）重新指向链表头，另一个指针（ptr2）保持在相遇点。
然后两个指针每次同时移动一步，直到它们再次相遇。相遇的节点就是环的入口节点。
数学原理：
设链表头到环入口的距离为a，环入口到相遇点的距离为b，相遇点到环入口的距离为c。
则环的长度为b+c。
当slow和fast相遇时，slow走过的距离为a+b，fast走过的距离为a+b+n*(b+c)，其中n是fast在环中绕的圈数。
因为fast的速度是slow的两倍，所以有：2(a+b) = a+b + n*(b+c) => a = (n-1)*(b+c) + c
这个公式说明，从链表头到环入口的距离a等于从相遇点到环入口的距离c加上n-1圈环的长度。
因此，当两个指针分别从链表头和相遇点以相同速度前进时，它们会在环入口处相遇。
变量定义：
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a：链表头到环入口的距离 -
b：环入口到相遇点的距离 -
c：相遇点到环入口的距离（顺时针方向） -
n：快指针在相遇前在环中走的圈数 -
L：环的长度 = b + c
头 → 入口 → 相遇点 → 入口（完成环） 慢指针路程：a + b 快指针路程：a + b + n × L （因为快指针可能已经在环里转了n圈） 由于快指针速度是慢指针的2倍： 2 × (a + b) = a + b + n × L 化简得： a + b = n × L a = n × L - b a = (n - 1) × L + (L - b) a = (n - 1) × L + c
第一种方法：
两种情况的区别：
情况1：是快乐数（最终到达1）
text
序列：n → ... → 1 → 1 → 1 → ...
特点：1的平方和还是1，所以1是一个自循环
快慢指针轨迹：
慢指针：会慢慢走向1
快指针：会更快到达1
最终，它们会在1相遇情况2：不是快乐数（进入其他循环）
text
序列：n → ... → 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → ...
特点：进入一个不包含1的循环
快慢指针轨迹：
慢指针：在循环中前进
快指针：在循环中更快前进
最终，它们会在循环中的某个点相遇（比如4或16等），但绝对不是1
java
class Solution {
public int sumOfSquares(int n) {
int sum = 0;
while (n > 0) {
int digit = n % 10;
sum += digit * digit;
n /= 10;
}
return sum;
}
public boolean isHappy(int n) {
int slow = n;
int fast = sumOfSquares(n);
while(slow != fast){
slow = sumOfSquares(slow);
fast = sumOfSquares(sumOfSquares(fast));
}
return slow == 1;
}
}鸽巢原理(抽屉原理)：
这个题有一个n 得取值范围：
我们直接换算成最大得
我们就简单得先计算多少位，是十位数，也就是2^10得九次方 ，那不如我们直接写成最大值以9来计算，十个9
10个9 进行每一位的平方和是810，也就是我们最大的值都小于十个9，所以我们进行的每一位平方和相加肯定也小于810
【1，810】就是我们的巢穴，我们接下来找鸽子，我们的巢穴是1-810
我们肯定超过这个810就会出现重复的的，也就是我们所说的进入环了
方法三：
核心逻辑：
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巢穴数量：1,8101,810 共 810 个可能的平方和结果
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鸽子数量：计算过程中产生的数字序列
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鸽巢原理 ：如果有 811 次计算（产生 811 个数字），而只有 810 个可能的结果，那么必然出现重复
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关键判断：
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如果在循环中出现 1 → 是快乐数
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如果循环中不包含 1 → 不是快乐数
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text
定理：对于函数 f，从任意 n 出发的序列要么： 1. 收敛到不动点 1 2. 进入一个不包含 1 的循环 证明： 假设存在一个包含 1 的循环，但不是 {1}。 那么循环中必有一个数 a ≠ 1，但 f(a) = 1。 但 f(a) = 1 意味着 a 的各位平方和为 1。 满足这个条件的 a 只能是：1, 10, 100, 1000, ... 计算这些数的平方和： 1 → 1 10 → 1 100 → 1 1000 → 1 ... 这些数最终都会进入 1→1 的自循环。 因此，任何包含 1 的循环只能是 {1}。
想象这样的序列：
... → x → 1 → y → ... → x → ...
从 1 开始：1 → f(1) = 1，不可能得到 y ≠ 1
所以一旦到达 1，就永远卡在 1 了
java
class Solution {
public int sumOfSquares(int n) {
int sum = 0;
while (n > 0) {
int digit = n % 10;
sum += digit * digit;
n /= 10;
}
return sum;
}
public boolean isHappy(int n) {
Set<Integer> seen = new HashSet<>();
while (n != 1) {
n = sumOfSquares(n);
if (seen.contains(n)) {
return false;
}
seen.add(n);
}
return true;
}
}