完全背包
1. 确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
2. 确定递推公式
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
对于递推公式，首先我们要明确有哪些方向可以推导出 dp[i][j]。
拿dp[1][4]的状态来举例，求取 dp[1][4] 有两种情况：
- 放物品1
- 还是不放物品1
如果不放物品1， 那么背包的价值应该是 dp[0][4] 即 容量为4的背包，只放物品0的情况。
推导方向如图：
如果放物品1 ， 那么背包要先留出物品1的容量，目前容量是4，物品1 的容量（就是物品1的重量）为3，此时背包剩下容量为1。
容量为1，只考虑放物品0 和物品1 的最大价值是 dp[1][1]， 注意 这里和01背包有所不同！
在01背包中，背包先空留出物品1的容量，此时容量为1，只考虑放物品0的最大价值是 dp[0][1]，因为01背包每个物品只有一个，既然空出物品1，那背包中也不会再有物品1！
而在完全背包中，物品是可以放无限个，所以 即使空出物品1空间重量，那背包中也可能还有物品1，所以此时我们依然考虑放 物品0 和 物品1 的最大价值即： dp[1][1]， 而不是 dp[0][1]
所以 放物品1 的情况 = dp[1][1] + 物品1 的价值，推导方向如图：
两种情况，分别是放物品1 和 不放物品1，我们要取最大值（毕竟求的是最大价值）
dp[1][4] = max(dp[0][4], dp[1][1] + 物品1 的价值)
以上过程，抽象化如下：
-
不放物品i：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。
-
放物品i：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
递推公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
（注意，完全背包二维dp数组 和 01背包二维dp数组 递推公式的区别，01背包中是 dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])）
关于完全背包的一维dp：
二维数组解法01背包是继承上层左侧状态，完全背包是继承本层左侧状态。所以压缩成一维数组后是正向遍历。
java
// 遍历每种物品
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 完全背包：正序遍历容量（从小到大）
for (int j = weight[i]; j <= capacity; j++) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}思维导图：
518.零钱兑换 II
题目链接 ：https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/description/
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
示例 1:
- 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
- 输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
- 5=5
- 5=2+2+1
- 5=2+1+1+1
- 5=1+1+1+1+1
示例 2:
- 输入: amount = 3, coins = [2]
- 输出: 0
- 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3:
- 输入: amount = 10, coins = [10]
- 输出: 1
注意，你可以假设：
- 0 <= amount (总金额) <= 5000
- 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
- 硬币种类不超过 500 种
- 结果符合 32 位符号整数
总结
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
本题 二维dp 递推公式： dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]]
压缩成一维：dp[j] += dp[j - coins[i]]
这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇494. 目标和 (opens new window)中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]]
java
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
int[] dp = new int[amount + 1];
//初始化dp数组，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装
dp[0] = 1;
for (int coin : coins) {
for (int j = coin; j <= amount; j++) {
dp[j] += dp[j - coin];
}
}
return dp[amount];
}
}377.组合总和 Ⅳ
题目链接 ：https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/description/
给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。
示例:
- nums = [1, 2, 3]
- target = 4
所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
因此输出为 7。
总结
本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！
组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。
排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
java
class Solution {
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
int[] dp = new int[target + 1];
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i <= target; i++) {
for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
if (i >= nums[j]) {
dp[i] += dp[i - nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
}
}70.爬楼梯 （进阶）
题目链接 ：https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1067
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
输入描述：输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m
输出描述：输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。
输入示例：3 2
输出示例：3
提示：
当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。
此时你有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
总结
java
import java.util.Scanner;
class climbStairs{
public static void main(String [] args){
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int m, n;
while (sc.hasNextInt()) {
// 从键盘输入参数，中间用空格隔开
n = sc.nextInt(); // 楼梯共n阶
m = sc.nextInt(); // 1-m种走法
// 求排列问题，先遍历背包再遍历物品
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0] = 1;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
for (int i = 1; i <= m; i++) {
if (j - i >= 0) dp[j] += dp[j - i];
}
}
System.out.println(dp[n]);
}
}
}