背包DP第12课：多重背包DP应用案例实践1

题目描述

设有 1 g 1\mathrm{g} 1g、 2 g 2\mathrm{g} 2g、 3 g 3\mathrm{g} 3g、 5 g 5\mathrm{g} 5g、 10 g 10\mathrm{g} 10g、 20 g 20\mathrm{g} 20g 的砝码各若干枚（其总重 $\\le 1000$ ），可以表示成多少种重量？

输入格式

输入方式： a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 a_1 , a_2 ,a_3 , a_4 , a_5 ,a_6 a1,a2,a3,a4,a5,a6

（表示 1 g 1\mathrm{g} 1g 砝码有 a 1 a_1 a1 个， 2 g 2\mathrm{g} 2g 砝码有 a 2 a_2 a2 个， ... \dots ...， 20 g 20\mathrm{g} 20g 砝码有 a 6 a_6 a6 个）

输出格式

输出方式：Total=N

（ N N N 表示用这些砝码能称出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况）

输入输出样例 1

输入 1

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1 1 0 0 0 0

输出 1

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Total=3

【题目来源】

NOIP 1996 提高组第四题

思路分析

问题本质：

这是一个多重背包问题，需要找出用给定数量的不同重量砝码能组成多少种不同的总重量。

核心思想：

使用动态规划，dp[i]表示重量i是否可以被称出。

算法步骤：

初始化dp[0] = true（0重量总是可达）
三重循环遍历：
- 外层：遍历砝码种类（6种）
- 中层：遍历每种砝码的数量
- 内层：从大到小遍历可能的重量，进行状态转移
最后统计所有可达的重量数量

关键点：

内层循环从大到小遍历是为了避免重复使用同一个砝码

代码实现

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, a[7];  // a数组存储每种砝码的数量
int w[7] = {0, 1, 2, 3, 5, 10, 20};  // 砝码重量数组，索引从1开始对应
bool dp[1010];  // dp数组，dp[i]表示能否称出重量i

int main() {
    // 读取6种砝码的数量
    for(int i = 1; i <= 6; i++) cin >> a[i];
    
    // 初始化动态规划数组，重量0总是可以称出（不使用任何砝码）
    dp[0] = true;
    
    // 动态规划过程
    for(int i = 1; i <= 6; i++) {        // 遍历6种砝码
        for(int k = 1; k <= a[i]; k++) {  // 遍历当前砝码的每个实例
            for(int j = 1000; j >= w[i]; j--) {  // 从大到小遍历重量
                // 如果j-w[i]重量可以称出，那么j重量也可以称出
                if(dp[j - w[i]]) {
                    dp[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    
    // 统计能称出的不同重量个数（不包括0）
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= 1000; i++) {
        if(dp[i]) {
            ans++;
        }
    }
    
    cout << "Total=" << ans;
    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度：O(6 × max(a[i]) × 1000)，在给定约束下是可接受的。

空间复杂度：O(1000)，使用一维数组优化空间。

完整系列资料，请查看专栏：《csp信奥赛C++动态规划》
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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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