【计算几何 二分查找】P12261 [蓝桥杯 2024 国 Java B] 激光炮|普及+

闻缺陷则喜何志丹2025-12-12 14:43

本文涉及知识点

数学
C++二分查找

P12261 [蓝桥杯 2024 国 Java B] 激光炮

题目描述

小明在二维平面上放置了 n n n 门激光炮，第 i i i 门激光炮位于坐标 ( − 1 0 5 , a i ) (-10^5, a_i) (−105,ai)，射向靶点 ( 1 0 5 , b i ) (10^5, b_i) (105,bi)，形成 n n n 条线段。他想使用一条垂直于 x x x 轴且其中一个端点在 x x x 轴上的线段挡住所有激光炮的发射路线，这条线段的长度最短为多少？

输入格式

输入共 n + 1 n+1 n+1 行。

第一行为一个正整数 n n n。

后面 n n n 行，每行 2 个由空格分开的非负整数表示 a i , b i a_i, b_i ai,bi。

输出格式

输出共 1 1 1 行，一个浮点数表示答案（输出四舍五入到 2 2 2 位小数）。

输入输出样例 #1

输入 #1

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3
0 100000
100000 200000
200000 0

输出 #1

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133333.33

说明/提示

样例说明

第 2 , 3 2,3 2,3 门激光炮发射路线的交点为 ( − 100000 3 , 400000 3 ) (-\frac{100000}{3}, \frac{400000}{3}) (−3100000,3400000)，因此，只需要在 ( − 100000 3 , 0 ) (-\frac{100000}{3}, 0) (−3100000,0) 处放置一条长度为 400000 3 = 133333.33 \frac{400000}{3} = 133333.33 3400000=133333.33 的线段即可挡住所有 3 门激光炮。

评测用例规模与约定

  • 对于 20 % 20\% 20% 的评测用例，保证 n ≤ 1 0 2 n \leq 10^2 n≤102。
  • 对于 100 % 100\% 100% 的评测用例，保证 n ≤ 1 0 5 n \leq 10^5 n≤105， 0 ≤ a i , b i ≤ 1 0 6 0 \leq a_i, b_i \leq 10^6 0≤ai,bi≤106。

计算几何

没有激光线平行与y轴，故可以用一元一次方程表示激光线 f i ( x ) = y = c i x + d i f_i(x)=y=c_ix+d_i fi(x)=y=cix+di
c i = b i − a i 2 e 5 c_i=\Large\frac{b_i-a_i}{2e5} ci=2e5bi−ai
b i = b i − a i 2 e 5 × 1 e 5 + d i 即 d i = b i − b i − a i 2 = a i + b i 2 b_i=\Large\frac{b_i-a_i}{2e5}\times 1e5+d_i即d_i=b_i-\frac{b_i-a_i}{2}=\frac{a_i+b_i}{2} bi=2e5bi−ai×1e5+di即di=bi−2bi−ai=2ai+bi

令 f m ( x ) = max ⁡ f i ( x ) fm(x)=\max f_i(x) fm(x)=maxfi(x)

如果隔板是x = x0，则本题的答案是fm(x0)。
{ g ( x ) = max ⁡ f i ( x ) c i > = 0 单调不减 h ( x ) = max ⁡ f i ( x ) o t h e r 单调减少 \begin{cases} g(x)=\max f_i(x) & ci >=0 &单调不减 \\ h(x)=\max f_i(x) & other& 单调减少 \\ \end{cases} {g(x)=maxfi(x)h(x)=maxfi(x)ci>=0other单调不减单调减少

如果g(-1e5) >=h(-1e5)，则答案是g(-1e5)

如果h(1e5) >= g(1e5)，则答案是h(1e5)

排除以上两种情况后：存在x0。 g(x0) >= h(x0) 且
{ g ( x ) > = h ( x ) x > = x 0 g ( x ) < h ( x ) o t h e r \begin{cases} g(x)>=h(x) & x>=x0 \\ g(x)<h(x) & other \\ \end{cases} {g(x)>=h(x)g(x)<h(x)x>=x0other

二分查找出x0,fm(x0)便是答案。

代码

核心代码

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

template<class INDEX_TYPE>
class CBinarySearch
{
public:
	CBinarySearch(INDEX_TYPE iMinIndex, INDEX_TYPE iMaxIndex, INDEX_TYPE tol = 1) :m_iMin(iMinIndex), m_iMax(iMaxIndex), m_iTol(tol) {}
	template<class _Pr>
	INDEX_TYPE FindFrist(_Pr pr)
	{
		auto left = m_iMin - m_iTol;
		auto rightInclue = m_iMax;
		while (rightInclue - left > m_iTol)
		{
			const auto mid = left + (rightInclue - left) / 2;
			if (pr(mid))
			{
				rightInclue = mid;
			}
			else
			{
				left = mid;
			}
		}
		return rightInclue;
	}
	template<class _Pr>
	INDEX_TYPE FindEnd(_Pr pr)
	{
		INDEX_TYPE leftInclude = m_iMin;
		INDEX_TYPE right = m_iMax + m_iTol;
		while (right - leftInclude > m_iTol)
		{
			const auto mid = leftInclude + (right - leftInclude) / 2;
			if (pr(mid))
			{
				leftInclude = mid;
			}
			else
			{
				right = mid;
			}
		}
		return leftInclude;
	}
protected:
	const INDEX_TYPE m_iMin, m_iMax, m_iTol;
};
class Solution {
public:
	double Ans(vector<pair<int, int>>& ab) {
		vector<pair<double, double>> vg, vh;
		for (const auto& [a, b] : ab) {
			double c = (a - b) / 2e5;
			double d = (a + b) / 2.0;
			if (c >= 0) {
				vg.emplace_back(c, d);
			}
			else {
				vh.emplace_back(c, d);
			}
		}
		auto GH = [&](vector<pair<double, double>>& v, double x) {
			double ret = -1;
			for (const auto& [c, d] : v) {
				ret = max(ret, c * x + d);
			}
			return ret;
		};
		auto G = [&](double x) {return GH(vg, x); };
		auto H = [&](double x) {return GH(vh, x); };
		auto F = [&](double x) {return max(G(x), H(x)); };
		if (G(-1e5) >= H(-1e5)) { return F(-1e5); }
		if (H(1e5) >= G(1e5)) { return F(1e5); }
		auto Check = [&](double mid) {return G(mid) >= H(mid); };
		auto x0 = CBinarySearch<double>(-1e5, 1e5, 0.0001).FindFrist(Check);
		return F(x0);
	}
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;	
	auto ab = Read<pair<int, int>>();
#ifdef _DEBUG	
		//printf("s=\"%s\"", N,K);
		Out(ab, ",ab=");
		//Out(edge, ",edge=");
		//Out(xyzw, ",xyzw=");
		//Out(a, ",a=");
		//Out(que, ",que=");
	 //  //Out(ab, ",ab=");
	 //  //Out(par, "par=");
	 //  //Out(que, "que=");
	 //  //Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	
		auto res = Solution().Ans(ab);
		printf("%.2lf", res);
	return 0;
};

单元测试

cpp 复制代码 
vector<pair<int, int>> ab;
		TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			ab = { {0,100000},{100000,200000},{200000,0} };
			auto res = Solution().Ans(ab);
			AssertEx(133333.33, res, 0.01);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod2)
		{
			ab = { {5,6},{4,3} };
			auto res = Solution().Ans(ab);
			AssertEx(5.0, res, 0.01);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod3)
		{
			ab = { {1,2},{4,3} };
			auto res = Solution().Ans(ab);
			AssertEx(3, res, 0.01);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功 成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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