题目简介
"Find Peak Element"（LeetCode 162）要求：给定一个 0 下标的整数数组 nums，找出任意一个峰值元素的下标并返回。leetcode
峰值元素定义为：严格大于左右邻居的元素，并且可以把数组两端外面看成 −∞，所以边界元素也可能是峰。leetcode
朴素思路与复杂度要求
最直观的做法是线性扫描：从左到右找第一个满足 nums[i] > nums[i-1] && nums[i] > nums[i+1] 的位置即可，边界单独处理。takeuforward
但题目要求时间复杂度为 O(log n)，因此需要用二分搜索思想在"无序数组"上做出类似二分的缩减。algo
关键数学直觉：坡的一侧必有峰
把数组想象成一条从左到右的折线，题目给出两个关键条件：geeksforgeeks
- 两端之外为 −∞：nums[-1] = nums[n] = -∞。
- 相邻元素不相等：nums[i] != nums[i+1]，所以相邻之间要么上坡，要么下坡，没有平坡。geeksforgeeks
于是有两个重要结论（也是二分的核心依据）：
如果在某个 mid 位置，nums[mid] < nums[mid+1]：
- 当前是"上坡"趋势，继续往右走，总会从某个高度掉到右端的 −∞。
- 在"从高到低"的过程中必然出现某个局部最高点，也就是右侧 [mid+1, right] 中至少存在一个峰值。
如果 nums[mid] > nums[mid+1]：
- 当前从 mid 到 mid+1 是"下坡"，说明在 mid 的左侧（包括 mid）一定从 −∞ 某处上坡再下坡。
- 这条"先上后下"的路上也必然存在一个局部峰值，因此左侧 [left, mid] 至少有一个峰。
重要的是：这里从来没有说"最高峰在右边/左边"，只是说"右边/左边至少存在一个峰"，而题目只要求任意一个峰即可。geeksforgeeks
二分算法设计与不变式
利用上述直觉，可以设计如下二分算法（伪代码）：
python
left, right = 0, len(nums) - 1
while left < right:
mid = (left + right) // 2
if nums[mid] > nums[mid + 1]:
right = mid # 峰一定在 [left, mid]，保留 mid
else:
left = mid + 1 # 峰一定在 [mid+1, right]，排除 mid
return left # 或 return right这里维护的"不变式"是：当前区间 [left, right] 中至少存在一个峰。algo
- 当 nums[mid] < nums[mid+1]：根据上面的结论，右侧 [mid+1, right] 必有峰，于是把区间更新为 [mid+1, right]，丢弃左半边但不破坏"不变式"。algo
- 当 nums[mid] > nums[mid+1]：左侧 [left, mid] 必有峰，更新为 [left, mid]，丢弃右半边，同样保持"不变式"。
每次循环，区间长度 right - left + 1 都至少减 1，且始终保证区间内有峰值存在。
为什么是 right = mid，而不是 mid - 1
在 nums[mid] > nums[mid+1] 的分支里，mid 可能本身就是峰，例如数组 [1, 3, 2] 中 mid 指向 3 时就已经满足"比左右邻居都大"。geeksforgeeks
如果写成 right = mid - 1，就把这个潜在解排除掉了，因此正确写法是 right = mid，保留 mid 在新的搜索区间中。
由于循环条件是 left < right，且 mid 总满足 left <= mid < right，更新后依然有 left <= right，区间非空，算法不会越界或死循环。
为什么是 left = mid + 1，而不是 mid
在 nums[mid] < nums[mid+1] 分支中，mid 明显不可能是峰：右边比它大，已经违反"比左右都大"的定义。algo
同时，右侧 [mid+1, right] 至少有一个峰，因此可以放心排除 mid 本身，将 left 移到 mid+1，从而缩小区间而不丢失解。
如果写成 left = mid，而循环条件仍是 left < right，可能在只剩两个元素时陷入死循环（一直选到同一个 mid），因此这里必须是 mid+1。
为什么循环结束时的位置必然是峰
循环条件是 while (left < right)，因此退出时必有 left == right，区间收缩到一个单点 i。algo
结合"不变式"------"当前区间 [left, right] 内至少有一个峰"------可知当 [left, right] 只剩一个元素时，这个元素必须就是那一个峰，否则"不变式"就被破坏了。
因此不需要在循环内部显式地验证 nums[mid-1] < nums[mid] && nums[mid] > nums[mid+1]，只要维持好区间不变式并不断缩小区间，最终收敛到的那个单点天然就是峰值位置，可以直接 return left（或 right）。
小结：这一题真正在练什么
- 理解"区间不变式"：在二分过程中，是否能给出一个"当前区间一定含有解"的数学保证。cp-algorithms
- 区分两种模板：
- 查存在性：while (left <= right)，最终可能 left > right，表示区间被"用尽"。
- 收缩到单点：while (left < right)，最终 left == right，区间收缩到一个确定答案。本题属于后一种。
- 学会用"单调性 + 解存在性"在无序数组上做二分：这里单调性来自于 nums[i] != nums[i+1] 和两端 −∞ 造出的"上坡/下坡结构"。