LeetCode 162：寻找峰值的二分搜索思想与区间不变式分析

题目简介

"Find Peak Element"（LeetCode 162）要求：给定一个 0 下标的整数数组 nums，找出任意一个峰值元素的下标并返回。leetcode

峰值元素定义为：严格大于左右邻居的元素，并且可以把数组两端外面看成 −∞，所以边界元素也可能是峰。leetcode

朴素思路与复杂度要求

最直观的做法是线性扫描：从左到右找第一个满足 nums $i$ > nums $i-1$ && nums $i$ > nums $i+1$ 的位置即可，边界单独处理。takeuforward

但题目要求时间复杂度为 O(log n)，因此需要用二分搜索思想在"无序数组"上做出类似二分的缩减。algo

关键数学直觉：坡的一侧必有峰

把数组想象成一条从左到右的折线，题目给出两个关键条件：geeksforgeeks

两端之外为 −∞：nums $-1$ = nums $n$ = -∞。
相邻元素不相等：nums $i$ != nums $i+1$ ，所以相邻之间要么上坡，要么下坡，没有平坡。geeksforgeeks

于是有两个重要结论（也是二分的核心依据）：

如果在某个 mid 位置，nums $mid$ < nums $mid+1$ ：

当前是"上坡"趋势，继续往右走，总会从某个高度掉到右端的 −∞。
在"从高到低"的过程中必然出现某个局部最高点，也就是右侧 $mid+1, right$ 中至少存在一个峰值。

如果 nums $mid$ > nums $mid+1$ ：

当前从 mid 到 mid+1 是"下坡"，说明在 mid 的左侧（包括 mid）一定从 −∞ 某处上坡再下坡。
这条"先上后下"的路上也必然存在一个局部峰值，因此左侧 $left, mid$ 至少有一个峰。

重要的是：这里从来没有说"最高峰在右边/左边"，只是说"右边/左边至少存在一个峰"，而题目只要求任意一个峰即可。geeksforgeeks

二分算法设计与不变式

利用上述直觉，可以设计如下二分算法（伪代码）：

python 复制代码

left, right = 0, len(nums) - 1
while left < right:
    mid = (left + right) // 2
    if nums[mid] > nums[mid + 1]:
        right = mid       # 峰一定在 [left, mid]，保留 mid
    else:
        left = mid + 1    # 峰一定在 [mid+1, right]，排除 mid
return left               # 或 return right

这里维护的"不变式"是：当前区间 $left, right$ 中至少存在一个峰。algo

当 nums $mid$ < nums $mid+1$ ：根据上面的结论，右侧 $mid+1, right$ 必有峰，于是把区间更新为 $mid+1, right$ ，丢弃左半边但不破坏"不变式"。algo
当 nums $mid$ > nums $mid+1$ ：左侧 $left, mid$ 必有峰，更新为 $left, mid$ ，丢弃右半边，同样保持"不变式"。

每次循环，区间长度 right - left + 1 都至少减 1，且始终保证区间内有峰值存在。

为什么是 right = mid，而不是 mid - 1

在 nums $mid$ > nums $mid+1$ 的分支里，mid 可能本身就是峰，例如数组 $1, 3, 2$ 中 mid 指向 3 时就已经满足"比左右邻居都大"。geeksforgeeks

如果写成 right = mid - 1，就把这个潜在解排除掉了，因此正确写法是 right = mid，保留 mid 在新的搜索区间中。

由于循环条件是 left < right，且 mid 总满足 left <= mid < right，更新后依然有 left <= right，区间非空，算法不会越界或死循环。

为什么是 left = mid + 1，而不是 mid

在 nums $mid$ < nums $mid+1$ 分支中，mid 明显不可能是峰：右边比它大，已经违反"比左右都大"的定义。algo

同时，右侧 $mid+1, right$ 至少有一个峰，因此可以放心排除 mid 本身，将 left 移到 mid+1，从而缩小区间而不丢失解。

如果写成 left = mid，而循环条件仍是 left < right，可能在只剩两个元素时陷入死循环（一直选到同一个 mid），因此这里必须是 mid+1。

为什么循环结束时的位置必然是峰

循环条件是 while (left < right)，因此退出时必有 left == right，区间收缩到一个单点 i。algo

结合"不变式"------"当前区间 $left, right$ 内至少有一个峰"------可知当 $left, right$ 只剩一个元素时，这个元素必须就是那一个峰，否则"不变式"就被破坏了。

因此不需要在循环内部显式地验证 nums $mid-1$ < nums $mid$ && nums $mid$ > nums $mid+1$ ，只要维持好区间不变式并不断缩小区间，最终收敛到的那个单点天然就是峰值位置，可以直接 return left（或 right）。

小结：这一题真正在练什么

理解"区间不变式"：在二分过程中，是否能给出一个"当前区间一定含有解"的数学保证。cp-algorithms
区分两种模板：
- 查存在性：while (left <= right)，最终可能 left > right，表示区间被"用尽"。
- 收缩到单点：while (left < right)，最终 left == right，区间收缩到一个确定答案。本题属于后一种。
学会用"单调性 + 解存在性"在无序数组上做二分：这里单调性来自于 nums $i$ != nums $i+1$ 和两端 −∞ 造出的"上坡/下坡结构"。