数字图像处理——颜色空间习题

在 RGB 颜色立方体上：

（1）标出灰度值为 0.5 的所有点的位置；

（2）标出饱和度值为 1 的所有点的位置。

解答

RGB 颜色空间可以用一个单位立方体表示：

灰度值（亮度）在 RGB 色彩模型中，如果按简单的 亮度公式 （例如：L=0.299R+0.587G+0.114BL = 0.299R + 0.587G + 0.114BL=0.299R+0.587G+0.114B）计算，那么当L=0.5L=0.5L=0.5时，这些点构成一个平面。

用 平均值 (R+G+B)/3=0.5(R+G+B)/3 = 0.5(R+G+B)/3=0.5作为"灰度值"的定义，这里假设是这种简化定义：

R+G+B3=0.5 \frac{R+G+B}{3} = 0.5 3R+G+B=0.5
R+G+B=1.5 R+G+B = 1.5 R+G+B=1.5

这是一个平面，在立方体内截出一个正三角形截面（因为与立方体各轴截距均为 1.5，但最大为 3，这里 1.5 介于 0 和 3 之间，所以截面是六边形？验证一下）。

截距：

当G=0,B=0G=0, B=0G=0,B=0时，R=1.5R=1.5R=1.5不可能（因为 R ≤ 1），所以平面与立方体的交线需要分情况求。

实际上，平面R+G+B=1.5R+G+B=1.5R+G+B=1.5与立方体0≤R,G,B≤10\le R,G,B\le 10≤R,G,B≤1相交的部分：

三个截点：
(1, 0.5, 0), (1, 0, 0.5), (0.5, 1, 0), (0, 1, 0.5), (0.5, 0, 1), (0, 0.5, 1) 都在边界上。
还有 (1,1,-0.5) 之类的不合法，所以平面切立方体得到的是一个 六边形，顶点就是上面六个点。

所以 (1) 的答案 ：

灰度值为 0.5 的点是立方体内平面R+G+B=1.5R+G+B=1.5R+G+B=1.5上的一个正六边形区域。

在 RGB 立方体中，饱和度 可以定义为：

S=max⁡(R,G,B)−min⁡(R,G,B)max⁡(R,G,B) S = \frac{\max(R,G,B) - \min(R,G,B)}{\max(R,G,B)} S=max(R,G,B)max(R,G,B)−min(R,G,B)

（当使用 HSV 模型时，V=max⁡(R,G,B)\max(R,G,B)max(R,G,B)，S 的公式是S=max⁡−min⁡max⁡S = \frac{\max - \min}{\max}S=maxmax−min，若 V=0 则 S=0。）

饱和度S=1S=1S=1意味着：
min⁡(R,G,B)=0 \min(R,G,B) = 0 min(R,G,B)=0

并且max⁡(R,G,B)>0\max(R,G,B) > 0max(R,G,B)>0（否则是黑色，S=0）。

所以 饱和度=1 表示：至少一个通道为 0，并且至少一个通道不为 0（即不是全黑），并且最大值 ≠ 最小值（其实 min=0 且 max>0 自动保证它们不等，除非只有一个通道非零，那也是饱和度=1）。

几何解释 ：

在 RGB 立方体中，min⁡(R,G,B)=0\min(R,G,B) = 0min(R,G,B)=0表示点位于立方体的三个表面之一：R=0R=0R=0或G=0G=0G=0或B=0B=0B=0的平面上。

但还要去掉黑色点 (0,0,0)。

所以饱和度=1 的点集 = 立方体的三个"外表面"（R=0 的面，G=0 的面，B=0 的面）上的所有点，除了 (0,0,0)。

但是注意：如果两个通道为 0，一个通道为 k（0<k≤1），也是饱和度=1（例如纯红 (k,0,0)）。

如果两个通道不为 0，但 min=0，例如 (1, 0.5, 0)，饱和度=1 吗？

计算：max=1, min=0, S=(1-0)/1=1，是的。

所以更准确地说：饱和度=1 的点是立方体的表面中至少一个坐标为 0 且不是全零的点。

即立方体的外壳的某些面：具体是三个面R=0,G=0,B=0R=0, G=0, B=0R=0,G=0,B=0上的所有点（包括它们的交线，但不能是全黑）。

检查内部点 ：如果三个坐标都 > 0，那么 min>0，饱和度 < 1。

所以饱和度=1 的点正好是立方体在三个坐标平面上的那三个外表面（一共 3 个面，每个面是单位正方形，但重叠的边和顶点是共享的）。

最终答案：

(1) 平面R+G+B=1.5R+G+B=1.5R+G+B=1.5与立方体的交面（正六边形）;

(2) 三个面R=0,G=0,B=0R=0,G=0,B=0R=0,G=0,B=0（除去原点）