环形数组的最大子数组和：Kadane 算法的巧妙扩展

题目： 给定一个「环形」整数数组 nums，要求返回一个非空连续子数组的最大和。leetcode

如果数组不是环而是直线，这就是经典的「最大子数组和 」问题，可以直接用 Kadane 算法解决：

这一套可以得到「不回环」情况下的最大子数组和。

环形的麻烦 在于子数组可以「跨尾到头」，例如 [5, -3, 5] 的最优子数组是 [5, 5]，中间的 -3 被跳过。

关键观察： 环形最大子数组只有两种形态：

所以：

最终答案应该是两者的较大值：

ans = max ⁡ ( maxSub , total − minSub ) \text{ans} = \max(\text{maxSub},\, \text{total} - \text{minSub}) ans=max(maxSub,total−minSub)

用示例 nums = [5, -3, 5] 直观理解：

数组总和 ：
t o t a l = 5 + ( − 3 ) + 5 = 7 total = 5 + (-3) + 5 = 7 total=5+(−3)+5=7
所有连续子数组中，和最小的是 [-3]，所以 minSub = -3。
把 [-3] 这段挖掉，其余部分是 [5]（尾部）加上 [5]（头部），组成回环子数组 [5, 5]。
用公式：
t o t a l − m i n S u b = 7 − ( − 3 ) = 10 total - minSub = 7 - (-3) = 10 total−minSub=7−(−3)=10

正好就是 [5, 5] 的和。

这个思路的本质：

最小子数组和同样可以用一个"反向 Kadane"求出来，只是把 max 换成 min：

看 nums = [-3, -2, -3] 这个例子：

Kadane 最大子数组和：
- 最佳选择是 [-2]，所以 maxSub = -2。
数组总和 ：
t o t a l = − 3 + ( − 2 ) + ( − 3 ) = − 8 total = -3 + (-2) + (-3) = -8 total=−3+(−2)+(−3)=−8
最小子数组和：
- 在全负数组上，求"最小子数组和"的 Kadane 会把整段都选上，得到 minSub = -8，而且此时 minSub == total。
代入回环公式 ：
t o t a l − m i n S u b = − 8 − ( − 8 ) = 0 total - minSub = -8 - (-8) = 0 total−minSub=−8−(−8)=0

问题来了：

这个 0 表面上看比 maxSub = -2 大，但它代表的含义是：
- 「把整段都当成中间被挖掉的最小子数组，剩下的部分为空」------即根本没选任何元素。
- 但题目要求子数组必须非空 ，所以 total - minSub 在这种情况下其实是非法结果。

因此，对于「最小子数组就是整个数组」的情况（minSub == total），只能认为"没有合法的回环方案"，只能依赖不回环的 maxSub。

这就是常见代码里的特判：

text 复制代码

if (minSub == total)   // 最小子数组等于整段 => 全负或等价情况
    return maxSub;
else
    return max(maxSub, total - minSub);

这样就避免了选「空子数组」的假结果。

整体算法可以在一次循环中完成：同时维护最大子数组、最小子数组和总和。

时间复杂度 O(n)、空间 O(1)，同时处理了：

不必在环上「拼成 2n 数组 + 枚举起点」，那样要么 O(n²)，要么需要复杂的长度约束，不适合这题。
环形最大子数组拆成两种模式 ：不回环用 Kadane 求 maxSub，回环用 total - minSub。
用「全负数时 minSub == total」这个条件 判断是否存在合法的回环方案；如果不存在，就只能选最大单个元素，也就是 maxSub。
整题的本质就是：
- 在环上做 Kadane 的最佳方式，是同时维护「最大子数组 」和「最小子数组 」，并用「总和减最小」来间接表示回环情况。