均值向量的检验
阅读资料：
[一、"元" vs "因素"](#一、“元” vs “因素”)
[二、"水平" vs "样本"](#二、“水平” vs “样本”)
[三、固定因子 vs 随机因子 vs 协变量](#三、固定因子 vs 随机因子 vs 协变量)
情况三：多个总体的均值向量检验（多元方差分析，MANOVA）
一、"元" vs "因素"
- 元：指因变量 的数量。
（1）一元：1个因变量（如：只看"数学成绩"）。
（2）多元：2个及以上因变量（如：同时看"数学成绩"和"物理成绩"）。
- 因素：指自变量，通常是用来分组的类别变量。
（1）单因素：1个自变量（如：只按"性别"分组）。
（2）多因素：2个及以上自变量（如：同时按"性别"和"班级"分组）。
二、"水平" vs "样本"
- 水平：
一个因素的具体类别。例如，"性别"这个因素有"男"、"女"两个水平。
- 样本：
在T检验和方差分析的语境中，常指由某个因素水平划分出的组别。例如，"男性组"和"女性组"就是两个样本。
三、固定因子 vs 随机因子 vs 协变量
- 固定因子：
自变量的水平是研究者感兴趣的、固定的少数几个类别。例如，比较A、B、C三种特定的教学方法。
- 随机因子：
自变量的水平是从一个更大的总体中随机抽取的，研究目的不在于比较这些特定水平，而在于推断整个总体的变异。例如，从全国众多学校中随机抽取5所学校进行研究。
- 协变量：
在分析中需要控制其影响的连续型自变量。例如，在研究不同教学方法对学生成绩的影响时，学生的"入学前成绩"就是一个协变量。
四、为什么要做多元检验？（学习的动机）
缺陷一：忽略变量间相关性
一元检验将每个变量孤立看待，完全忽略了它们之间可能存在的相关关系。例如，一个人的数学成绩和物理成绩很可能正相关，单独检验会丢失这种重要信息。
缺陷二：增大整体第一类错误
第一类错误：原假设为真时，却错误地拒绝了它（"弃真"）。
如果对 p 个变量分别进行显著性水平为 α（如0.05）的一元检验，总的犯第一类错误的概率会远大于 α。这就像"常在河边走，哪有不湿鞋"，检验次数多了，总有一次会犯错。
优势：可能提高统计功效
统计功效：原假设为假时，正确拒绝它的概率（1-β）。
有时，单个变量在组间的差异都不显著，但它们的联合效应却是显著的。
多元检验能捕捉到这种累积的、微弱但一致的信号，从而比一元检验更有可能发现真实的差异。
五、所有均值检验都遵循相同的逻辑框架。
核心逻辑：基于小概率原理的反证法
步骤1： 先假设原假设 H₀（如：两组均值相等）是正确的。
步骤2： 在此前提下，计算观测到当前样本数据或更极端数据的概率（即p值）。
步骤3： 如果这个概率非常小（p小于预设的显著性水平 α），就发生了"小概率事件"。我们宁愿相信数据，也不愿相信小概率事件会发生，因此拒绝 H₀。
步骤4： 如果这个概率不算是小概率，则不能拒绝 H₀（注意：这不等于接受 H₀）。
两类错误的权衡
α 与 β 的关系：在其他条件不变时，减小 α（要求更强的证据）会使 β 增大（更难发现真实差异），反之亦然。
要同时减小两者，最有效的方法是增加样本量。
六、多元均值检验的具体方法
情况一：单个总体的均值向量检验
检验一个样本的均值向量是否与某个已知的理论均值向量 μ₀ 存在显著差异。
前提假设：样本来自多元正态总体 N_p(μ, Σ)。
待检验假设：H₀: μ = μ₀ vs H₁: μ ≠ μ₀。
检验统计量：Hotelling's T²
当总体协方差矩阵 Σ 未知（更常见）时，使用样本协方差矩阵 S 代替，得到：
T² 服从 Hotelling's T² 分布，记为 T² ~ T²(p, n-p)。
如何决策？
T² 分布不常用，我们通常将其转换为熟悉的 F分布：
计算出F值后，查F分布表或由软件给出p值。若 p ≤ α，则拒绝 H₀。
情况二：两个总体的均值向量检验
比较两个独立样本或成对样本的均值向量是否存在显著差异。
两独立样本
场景：比较男性和女性在多个科目成绩上的平均差异。
前提假设：
两样本独立。
两总体均服从多元正态分布 N_p(μ₁, Σ) 和 N_p(μ₂, Σ)。
两总体具有相同的、未知的协方差矩阵 Σ。
待检验假设：H₀: μ₁ = μ₂ vs H₁: μ₁ ≠ μ₂。
检验统计量：
其中 S_p 是合并的协方差矩阵（综合两组数据的方差信息）。
与F分布的关系：
两成对样本
场景：比较同一批患者治疗前、后在多个健康指标上的变化。
数据转换：计算每对观测值的差值向量
问题转换：将两样本检验问题转换为单样本检验问题，检验差值向量的均值 μ_D 是否为零向量。
检验统计量：
与F分布的关系：
情况三：多个总体的均值向量检验（多元方差分析，MANOVA）
将单因素方差分析的思想推广到多元，用于比较三个或更多总体的均值向量。
基本思想：方差分解
总平方和与交叉积矩阵：T = SSP_total
组间SSP矩阵：B = SSP_between（由组间差异引起）
组内SSP矩阵：W = SSP_within（由组内个体差异引起）
关系：T = B + W
待检验假设：H₀: μ₁ = μ₂ = ... = μ_g vs H₁: 至少有两个均值向量不相等。
检验统计量：Wilk s 'Lambda Λ
定义：Λ = |W| / |T| = |W| / |B + W|
直观理解：Λ 的值域为 [0, 1]。当组间差异相对于组内差异非常大时，B 远大于 W，Λ 趋近于0，我们倾向于拒绝 H₀。
如何决策？
Λ 的精确分布复杂，通常将其转换为近似的 卡方分布 或 F分布。
卡方近似（大样本）：
计算出卡方值后，查卡方分布表或由软件给出p值。
若 p ≤ α，则拒绝 H₀，表明至少有一对组的均值向量存在显著差异。
七、检验后操作
当多元检验拒绝了 H₀，我们只知道"各组不全相等"，但更具体的问题随之而来。
变量差异
方法一：分别进行一元检验。对每个变量分别进行t检验或ANOVA。
校正 α：为控制整体第一类错误，需使用更严格的标准，如 Bonferroni校正，新的显著性水平为 α/p。
区分组别
方法二：Fisher判别函数。
目的：寻找一个原始变量的线性组合，使得不同组在该组合上的差异最大化，从而最好地区分各组。这是下一章"判别分析"的核心内容。