逆元，除法同余原理

🎬 博主名称 ：个人主页

🔥 个人专栏 : 《算法通关》

⛺️心简单，世界就简单

引言

这篇其实是寒假时候的一个博弈论问题，里面设计到了逆元，除法同余原理，我的补题内容，但是一种拖，现在当存稿补充一下发了

在组合数学或算法题中，我们常会遇到需要对含有除法的表达式取模的情况。然而，与加、减、乘法不同，除法在模运算下并不遵循简单的规则。如果不加处理，直接对除法的中间结果取模，将得到错误的答案。

加减乘的同余原理

在处理涉及模运算（取余运算）的算法问题时，加、减、乘法遵循直观且一致的运算规则，这使得我们可以在运算过程中安全地进行取模操作，从而有效防止大数溢出，并简化计算。

核心规则

设模数为 mod（一个正整数），对于整数 a 和 b，以下规则成立：

加法同余规则
(a % mod + b % mod) % mod = (a + b) % mod

这意味着：两个数相加再取模的结果，等于它们各自取模后相加，再对和取模的结果。
减法同余规则
(a % mod - b % mod) % mod = (a - b) % mod

这意味着：两个数相减再取模的结果，等于它们各自取模后相减，再对差取模的结果。

注意：由于编程语言中 % 运算对负数的处理方式，为确保结果落在 [0, mod-1] 的非负范围内，当 (a % mod - b % mod) 为负数时，通常需要加上一个 mod 进行调整。
乘法同余规则
(a % mod) * (b % mod) % mod = (a * b) % mod

这意味着：两个数相乘再取模的结果，等于它们各自取模后相乘，再对积取模的结果。

除法同余原理

一、问题引入：为什么不能直接对除法取模？

考虑计算 (10 / 5) % 3。实际结果为：

10 / 5 = 2
2 % 3 = 2

但如果直接对分子和分母分别取模：

10 % 3 = 1
5 % 3 = 2
(1 / 2) % 3 = 0

显然 0 ≠ 2，结果错误。这是因为除法不满足同余定理的直接推广。

二、解决方案：引入乘法逆元

要解决这个问题，我们需要引入乘法逆元的概念。其核心思想是：在模运算中，将除法转换为乘法。

关键转换

在模 MOD 意义下，计算 (a / b) % MOD 等价于计算：
(a * inv(b)) % MOD

其中 inv(b) 是 b 在模 MOD 意义下的乘法逆元，满足：
(b * inv(b)) % MOD = 1

换句话说，inv(b) 在模 MOD 意义下起到了 1/b 的作用。

三、使用乘法逆元的前提条件

要使上述转换成立，必须满足以下三个条件：

整除性 ：a / b 必须为整数（即 a 能被 b 整除）。
模数为质数 ：MOD 必须是质数（例如常见的 1000000007）。
互质条件 ：b 与 MOD 必须互质（即最大公约数为1）。

在实际问题中，条件2和3通常由题目保证，条件1则需要我们在设计算法时自行确保。

四、如何计算乘法逆元？

当 MOD 为质数时，根据费马小定理 ，b 的乘法逆元可以通过快速幂计算：
inv(b) = b^(MOD-2) % MOD

计算示例

求 5 在模 3 意义下的逆元：
inv(5) = 5^(3-2) % 3 = 5^1 % 3 = 2

验证：(5 * 2) % 3 = 10 % 3 = 1，满足逆元定义。

五、实战应用：对除法进行模运算

现在我们可以正确计算 (10 / 5) % 3：

计算 5 的逆元：inv(5) = 2
计算 (10 * inv(5)) % 3 = (10 * 2) % 3 = 20 % 3 = 2

这与直接计算 (10 / 5) % 3 = 2 的结果一致。

关键优势：可对中间结果取模

当处理大数时，例如计算组合数 C(100, 50)，其分子分母的阶乘（如 100!）会远远超过 long long 的范围。通过逆元将除法转换为乘法，我们可以在每一步都进行取模运算，避免数值溢出。

转换后的计算方式：
(a / b) % MOD = ((a % MOD) * (b^(MOD-2) % MOD)) % MOD

这样，即使 a 和 b 很大，我们也可以安全地计算。

六、关于指数运算的说明

你可能会担心 b^(MOD-2) 的指数很大（例如 MOD=1000000007）。实际上，我们可以通过快速幂算法 在 O(log MOD) 时间内高效计算，并在计算过程中不断取模，确保不会溢出。

七、总结与记忆要点

当题目满足以下条件时：

需要计算 (a / b) % MOD
MOD 是质数（如 1000000007）
b 与 MOD 互质
a 能被 b 整除

我们可以按以下步骤计算：

计算 b 的逆元：inv(b) = b^(MOD-2) % MOD
计算最终结果：(a % MOD) * inv(b) % MOD

核心公式 ：
(a / b) % MOD = (a % MOD) * (b^(MOD-2) % MOD) % MOD

记住这个公式，你就可以在算法竞赛中安全地处理除法取模问题了。

补充说明：在实际编程中，通常会将逆元计算封装为函数，并利用快速幂算法高效求解。这样既能保证正确性，又能应对大规模数据。

cpp 复制代码

long power(long b,int n,int mod){
	long ans=1;
	while(n>0){
		if((n&1)==1){
			ans=(ans*b)%mod;
		}
		b=(b*b)%mod;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}

下面是除法同余原理

cpp 复制代码

long power(long b,int n,int mod){
	long ans=1;
	while(n>0){
		if((n&1)==1){
			ans=(ans*b)%mod;
		}
		b=(b*b)%mod;
		n>>=1;
	}
	return ans;
} 
int f(long a,long b,int mod){
	long inv =power(b,mod-2,mod);
	return (int)(((a%mod)*inv)%mod);
}