力扣(LeetCode) 70: 爬楼梯 - 解法思路

yaoh.wang2025-12-21 11:58

问题概述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

解法 1：递归与记忆化

工作原理

使用递归和记忆化来避免重复计算相同的子问题：

python 复制代码

class Solution:
    def climbStairs(self, n):
        memo = {}
        
        def helper(remaining):
            if remaining == 1:
                return 1
            if remaining == 2:
                return 2
            
            if remaining in memo:
                return memo[remaining]
            
            memo[remaining] = helper(remaining - 1) + helper(remaining - 2)
            return memo[remaining]
        
        return helper(n)

复杂度分析

时间复杂度: O(n) - 每个子问题只解决一次
空间复杂度: O(n) - 用于记忆化和递归栈

何时使用

更直观的递归方法
更容易理解递推关系
适合学习递归和记忆化

解法 2：动态规划（迭代）（推荐）

工作原理

这个问题遵循斐波那契数列模式。到达第 n 阶的方法数等于到达第 n-1 阶和第 n-2 阶的方法数之和：

python 复制代码

class Solution:
    def climbStairs(self, n):
        if n < 3:
            return n
        
        prev2 = 1
        prev1 = 2
        
        for i in range(3, n + 1):
            current = prev1 + prev2
            prev2 = prev1
            prev1 = current
        
        return prev1

复杂度分析

时间复杂度: O(n) - 单次遍历台阶
空间复杂度: O(1) - 只使用常数额外空间

何时使用

推荐 - 最优空间复杂度
最快的解法
简单高效

对比

方法	时间	空间	最佳适用
递归（记忆化）	O(n)	O(n)	理解递归，更直观
动态规划（迭代）	O(n)	O(1)	大多数情况，最优空间

总结

要到达第 n 阶，你可以从第 n-1 阶（走 1 步）或从第 n-2 阶（走 2 步）到达。因此，ways[n] = ways[n-1] + ways[n-2]。迭代 DP 解法是最优的，空间复杂度为 O(1)。