最小高度树 - 技术栈

这个题需要复杂的证明，这里不再用数学证明。

最小高度树的高度公式

设树中距离最远的两个节点为 x, y它们之间的距离为 maxdist = dist[x][y]。

则任意最小高度树的高度为

minheight=⌈maxdist/2⌉

换句话说，最小高度树的高度是最长路径长度的一半向上取整。

最小高度树的根节点位置

根节点一定在这条最长路径上。

如果根不在最长路径上，则无论怎么选，高度都不可能小于 minheight，会和最长路径长度矛盾。

只是说一说直觉就可以理解的。

想象最长路径是一条线，根放在中间，两边叶子到根的距离最均衡，形成最小高度。

如果根偏离这条路径，则最长的一边会更长，高度反而变大。

树的高度取决于最远的叶子对。

把根放在最远叶子对的中间，让两边尽量平衡。

就像把跷跷板的支点放在中间，重量（距离）最均衡，高度最小。

因此我们只需要求出路径最长的两个叶子节点即可，并求出其路径的最中间的节点即为最小高度树的根节点。可以利用以下算法找到图中距离最远的两个节点与它们之间的路径：

以任意节点 p 出现，利用广度优先搜索或者深度优先搜索找到以 p 为起点的最长路径的终点 x(树没有环，所以从任意节点出发，沿着最长的分支走，最远的点一定落在最长路径的某个端点上。)；以节点 x 出发，找到以 x 为起点的最长路径的终点 y；x 到 y 之间的路径即为图中的最长路径，找到路径的中间节点即为根节点。
有了以上前置知识，我们使用拓扑排序的方法进行求解，不再使用深度搜素和广度搜索的方法：
cpp 复制代码
class Solution {
public:
    vector<int> findMinHeightTrees(int n, vector<vector<int>>& edges) {
        if(n==1) return {0};

        //创建邻接矩阵
        vector<unordered_set<int>> graphs(n);
        for(auto& e:edges){
            graphs[e[0]].insert(e[1]);
            graphs[e[1]].insert(e[0]);
        }


        vector<int> leves;
        //找叶子节点
        for(int i =0;i<n;i++){
            if(graphs[i].size()==1) leves.push_back(i); 
        }

        // 删结点
        int remaining=n;
        while(remaining>2){
            remaining-=leves.size();
            vector<int> newleves;
            //删边
            for(auto e:leves){
                int ajx=*(graphs[e].begin());
                graphs[ajx].erase(e);
                if(graphs[ajx].size()==1) newleves.push_back(ajx);
            }
            leves=newleves;
        }

        return leves;
    }
};
思路总结

树的最小高度树的根一定在最长路径的中间 → 对应最终剩下 1 或 2 个节点。

用 剥叶子法：

反复删除所有叶子节点（度 = 1）

剩下的节点就是最小高度树的根

时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)。