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字符串哈希
定义
hash，其实就是将一个东西映射成另一个东西，类似Map，key对应value。
那么字符串Hash，其实就是：构造一个数字使之唯一代表一个字符串。将映射关系进行一一对应，也就是一个字符串对应一个数字，那么一个数字也对应一个字符串。
用字符串Hash的目的是，我们如果要比较一个字符串，我们不直接比较字符串，而是比较它对应映射的数字，这样子就知道两个"子串"是否相等。从而达到，子串的Hash值的时间为 O(1)，进而可以利用"空间换时间"来节省时间复杂度。
构造字符串哈希
将字符串映射成数字，和我们平时的将一个某Base进制数，变为一个十进制数相类似。
介绍两种方法，每一种方法，主要都是用使用 Base 和 Mod（都要求是素数），在这里我们要尽量把MOD和Base取大。这种情况下，冲突（即不同字符串却有着相同的hash值）的概率是很低的。
常用Base：127,131,13331
常用Mod：1e9+7,1e9+9,19260817,998244353
下文的约定
cpp
#define int long long
const int N=1e5+10,base=13331,mod=1e9+7;
int h[N], p[N];
h[0] = 0;
p[0] = 1;这里的 h a s h hash hash 数组表示子串 [ 0 , i ] [0, i] [0,i] 的哈希值， p [ i ] p[i] p[i] 表示 B a s e i Base^i Basei，所以把 h a s h [ 0 ] hash[0] hash[0] 初始化为 0， p [ 0 ] p[0] p[0] 初始化为 1。
假如给你一个数字1166，形式上你只知道它只是1和6的组合，但你知道它代表的实际大小为 1 ∗ 10 3 + 1 ∗ 10 2 + 6 ∗ 10 1 + 6 ∗ 10 0 1*10^3+1*10^2+6*10^1+6*10^0 1∗103+1∗102+6∗101+6∗100
同理，给你一个字符串，要把它转换为数字，就可以先把每一个字符都先对应一个数字，然后把它们按照顺序乘以进制（Base）的幂进行相加，然后这个数可能很大，所以一般会取余数（MOD）。
单哈希
单哈希只对字符串做一次哈希，其递推公式为：
h [ i ] = ( h [ i − 1 ] × B a s e + s [ i ] ) ( m o d M O D ) h[i] = (h[i - 1] \times Base + s[i]) \pmod{MOD} h[i]=(h[i−1]×Base+s[i])(modMOD)
我们通过迭代的方式就可以算出每一个子串的哈希值了。
获取子串
我们得到的 Hash值都是前 i 个字符的字串，利用前缀Hash值，我们可以O(1) 时间来获取某个 [ l , r ] [l,r] [l,r] 字串。
h [ l , r ] = h [ r ] − h [ l − 1 ] × p r − l + 1 h[l,r]=h[r]-h[l-1] \times p^{r-l+1} h[l,r]=h[r]−h[l−1]×pr−l+1
模板题：字符串哈希
cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e5+10,base=13331,mod=1e9+7;
int h[N],p[N],n,m;
string s;
int ask(int l,int r){
return (h[r]-(h[l-1]*p[r-l+1]%mod)+mod)%mod;
}
void solve() {
cin>>n>>m>>s;
s='#'+s;
p[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
h[i]=(h[i-1]*base+s[i])%mod;
p[i]=(p[i-1]*base)%mod;
}
while(m--){
int l1,r1,l2,r2;
cin>>l1>>r1>>l2>>r2;
if(ask(l1,r1)==ask(l2,r2)){
cout<<"Yes"<<'\n';
}else{
cout<<"No"<<'\n';
}
}
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int T=1;
// cin>>T;
while(T--) solve();
return 0;
}Hash重要应用：最长回文子串
枚举每个字符为回文中心，判断正反向哈希是否相等来判断是否是回文，由于有了哈希可以快速判断子串是否相等，对半径使用二分法搜索，时间复杂度 O(nlogn)
cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e5+10,base=13331,mod=1e9+7;
int h[N],p[N],n,h1[N];
string s,t;
int ask(int l,int r){
return (h[r]-(h[l-1]*p[r-l+1]%mod)+mod)%mod;
}
int ask1(int l,int r){
return (h1[r]-(h1[l-1]*p[r-l+1]%mod)+mod)%mod;
}
void solve() {
getline(cin,s);
n=s.size();
t=s;
reverse(t.begin(),t.end());
t='#'+t;
s='#'+s;
p[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
h[i]=(h[i-1]*base+s[i])%mod;
h1[i]=(h1[i-1]*base+t[i])%mod;
p[i]=(p[i-1]*base)%mod;
}
int ans=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
int l=0,r=min(i-1,n-i);
while(l<=r){
int mid=l+r>>1;
if(ask(i-mid,i-1)==ask1(n-(i+mid)+1,n-(i+1)+1)){
l=mid+1;
ans=max(ans,2*mid+1);
}else{
r=mid-1;
}
}
l=0,r=min(i,n-i);
while(l<=r){
int mid=l+r>>1;
if(ask(i-mid+1,i)==ask1(n-(i+mid)+1,n-(i+1)+1)){
l=mid+1;
ans=max(ans,2*mid);
}else{
r=mid-1;
}
}
}
cout<<ans<<'\n';
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int T=1;
// cin>>T;
while(T--) solve();
return 0;
}双哈希
双哈希就是用两个模数和两个素数对一个字符串算两次哈希，得到一个pair，用pair做比较，避免哈希碰撞。