1611. 使整数变为 0 的最少操作次数

先做个垃圾出来………2025-12-29 9:31

格雷码解法的数学原理

1. 格雷码的本质特性

格雷码（Gray Code）是一种二进制编码系统，其中任意两个相邻数的二进制表示仅有一位不同。这个特性与本题要求的"每次只能翻转一个比特位"的操作限制完全匹配，因此n到0的最少位操作次数恰好等于n的格雷码值。

2. 核心数学公式

n的格雷码值计算公式为：

G(n) = n ⊕ (n >> 1)

（⊕表示异或运算，>>表示右移操作）

3. 算法实现逻辑

python 复制代码

def minimumOneBitOperations(n: int) -> int:
    result = 0
    while n > 0:
        result ^= n  # 累积异或结果
        n >>= 1      # 右移消除最低位
    return result

4. 运算过程解析（以n=9为例）

二进制表示：9 = 1001₂
步骤1：result = 0 ⊕ 1001 = 1001（9），n变为100（4）
步骤2：result = 1001 ⊕ 100 = 1101（13），n变为10（2）
步骤3：result = 1101 ⊕ 10 = 1111（15），n变为1（1）
步骤4：result = 1111 ⊕ 1 = 1110（14），n变为0
最终结果：14（与预期一致）

5. 几何意义

可以将二进制数视为n维超立方体的顶点，每次位翻转相当于在立方体的边上移动。格雷码对应着一条遍历所有顶点的哈密顿路径，而算法计算的正是从n点到原点的最短路径长度。