C语言学习笔记

一、 一维数组前缀

一维数组前缀和：构造一个与原数组长度相同的新数组 pre，prei 表示原数组 arr 中 从第0个元素到第i个元素的所有元素累加和，核心价值是把「区间和查询」的时间复杂度从O(n)降到O(1)。

二、 核心公式（2个必记）

1. 前缀和数组构建公式

◦ 边界：pre0 = arr0（第一个元素的前缀和就是自身）

◦ 递推：prei = prei-1 + arri（i ≥ 1，当前前缀和 = 前一个前缀和 + 原数组当前元素）

2. 区间和查询公式（求原数组 l, r 闭区间的和）

◦ sum(l,r) = prer - (l == 0 ? 0 : prel-1)

◦ 简化技巧：若让前缀和数组从下标1开始，公式直接简化为 sum(l,r) = prer - prel-1，无需判断边界，开发中更常用。

三、 2种常用实现（C语言代码）

实现1：下标从0开始（基础版，适配数组默认下标）

#include <stdio.h>int main() {
int arr\[\] = {2, 5, 1, 3, 4}; // 原数组
int n = sizeof(arr)/sizeof(arr0); // 原数组长度
int pren; // 前缀和数组

// 1. 构建前缀和数组

pre0 = arr0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
prei = prei-1 + arri;
}

// 2. 查询区间和：比如查 1,3（下标从0开始，对应元素5,1,3）

int l = 1, r = 3;
int sum = prer - prel-1; // l≠0，直接减prel-1

printf("前缀和数组：");
for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", prei); // 输出：2 7 8 11 15
printf("\n区间%d,%d和：%d", l, r, sum); // 输出：9
return 0;
}

实现2：下标从1开始（实用版，无边界判断）

#include <stdio.h>

int main() {
    int arr[] = {2, 5, 1, 3, 4};
    int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
    int pre[n+1];  // 前缀和数组长度+1，下标从1开始
    pre[0] = 0;  // 前缀和第0位设为0，作为基准
    
    // 1. 构建前缀和数组
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        pre[i] = pre[i-1] + arr[i-1];  // 原数组下标仍从0开始
    }
    
    // 2. 查询区间和：查原数组[1,3]，直接用公式 pre[r]-pre[l-1]
    int l = 2, r = 4;  // 对应原数组下标1-3，前缀和下标同步+1
    int sum = pre[r] - pre[l-1];
    
    printf("前缀和数组：");
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", pre[i]);  // 输出：2 7 8 11 15
    printf("\n区间和：%d", sum);  // 输出：9
    return 0;
}

四、 核心优势 & 适用场景

1. 优势：一次构建，多次查询，构建仅需O(n)，每次查询仅需O(1)，适合频繁查区间和的场景。

2. 适用场景：数组元素固定（不频繁修改）、频繁求任意区间和（如算法题、统计类需求）。

五、 易错点

1. 下标混淆：务必区分原数组和前缀和数组的下标对应关系，推荐用下标从1开始的写法，减少错误。

2. 数组越界：构建前缀和时，循环边界要对应数组长度，避免prei超出数组范围。

3. 元素修改：若原数组元素频繁修改，前缀和需要重新构建，此时不如直接遍历求和高效。

我可以帮你针对一道具体的区间和算法题，用前缀和写完整解题代码，需要吗？