电枢公式--电枢绕线的规律

电枢公式

电枢公式.pdf

电枢公式.yuque

问题

12槽电机中，

P1: 为什么3与9是同绕的?为什么4与8是同绕的?是什么性质让他们是同绕的?

P2: 为什么5是全可达的?

P3: 是不是质数都是全可达的？

P4: 哪些绕法能绕到8?

P5: 有几种绕法能绕到8?

P6: 有几种绕法与8是同绕的?

P7: 与8不同绕的绕法能不能绕到8?

P8: 用8最少绕几次能回到起点?

P9: 8能绕到的最小数是多少?

P10: 8绕多少次能绕到这个最小绕数?

P11: 8 能不能绕到1?

P12: 11绕几次能绕到1?

P13: 哪些绕法能绕到1?

P14: 为什么建议齿轮间的齿数尽量互质?

P15: 绕法8第一次回到起点后,共绕了几圈?

电枢公式会从零到1清晰的解释这几个问题,答案放在文章末尾

简介

电枢公式用于处理等步周期问题

电枢公式讨论的是循环等步转圈问题。循环等步就是线性绕法，这种绕法最常用也最简单。电枢公式讨论线性绕法下的同绕关系, 阶, 可达以及一些同绕恒等式，至于非线性绕法会使问题变得复杂与难以处理,分析中非线性问题常常使用线性近似的方式处理，但数论中极少出现近似的词。第t步绕到f(t)处,对于一般的非线性绕法的可达数，不一定会均匀分布在圆盘上,甚至没有稳定的形状,但f(t)=k*t这种线性绕法有着很多好的性质

大多数人都会遇到的类似电枢绕线的场景，但有担心绕不到，担心绕乱的困扰。电枢公式清晰深刻的揭示了等步电枢绕线中的数学规律。

电枢公式可以作为一个数学模型，用来解决等步周期类的问题

核心符号 ( ∣ k n ) \left ( |\frac{k}{n} \right ) (∣nk)与概念

与 n 最大公约数相同的数集 ,对应一类等价的电枢绕法, "相同最大公约数"这个概念非常重要和有用，所以有必要给它一个符号 ( ∣ k n ) \left ( |\frac{k}{n} \right ) (∣nk),和一种等价关系－同绕关系，意思是与n 最大公约数等于 k 与n的最大公约数组成的集合,显然 (n,k) 是这个集合的最小数(最小绕数). 电枢公式与欧拉函数 ψ(x) 有关, 欧拉函数解决与n互质的数有多少个, 电枢公式能解决与n互质的数有哪些定理4

电枢公式是循环群的一个视角

电枢绕线问题是一个有限循环群问题, 这是一个已经被完全解决的问题,但结果都比较零散,缺乏一些顺手的,实用的公式,我围绕电枢绕线来讨论.电枢公式是理解循环群的一种新视角,另一个视角是与旋转,翻转相关的平面反转群

彻底理解电枢公式需要一些基本的初等数论知识这里有个初等数论简明教程,列举了我觉得比较重要的几个定理的证明. 为了让电枢公式更接近实际情况我会对电枢公式稍做扩展, 先了解一下电枢是怎么练成的

图片

图1

图2

图3

图4

公共约定

约定1

N p = { x ∣ x ∈ N ∧ x < p } N_p = \{ x \mid x \in \mathbb{N} \wedge x < p \} Np={x∣x∈N∧x<p}

约定2

n槽电枢,用0,1,2,...n-1, n个数字标记槽,共n个槽,起始位置定为0,

绕法k按照槽号增加的方向绕

约定3

汇总一下本文的符号与对应的名称（n槽电枢中）

P1: ( ∣ k n ) (\left|\frac{k}{n}\right) ( nk) ------ k的同绕类
P2: ( ∣ n ) (|n) (∣n) ------ n的绕法集
P3: k k k ------ 绕法 k
P4: k 0 k_0 k0 ------ 绕法 k 的最小绕数
P5: k 1 k_1 k1 ------ 绕法 k 的最小盖数
P6: ∣ k ∣ |k| ∣k∣ ------ 绕法 k 的阶
P7: k − 1 k^{-1} k−1 ------ 绕法 k 的逆
P8: ∣ k ∣ s |k|_s ∣k∣s ------ 绕法 k 对槽 s 的阶
P9: k q k_q kq ------ 绕法 k 的商
P10: k r k_r kr ------ 绕法 k 的余数
P11: ++k+m++ ------ 绕 k 空 m 的绕法

定义1

( ∣ k n ) = { x ∣ ( n , x ) = ( n , k ) ∧ x < n } \left(|\frac{k}{n}\right) = \{ x \mid (n, x) = (n, k) \wedge x < n \} (∣nk)={x∣(n,x)=(n,k)∧x<n}

定义2

绕法：绕法用希腊字母 τ 表示。第 t 步落入 f(t) 槽，那么 f(t) 就确定了一种电枢绕法。不过本文仅讨论 τ = f(t) = k t 的情景，绕法 τ 由总槽数 n 与步长 k 两个数字确定。

等价绕法：经过相同槽的绕法称为等价绕法。

同绕关系：等价绕法互为同绕关系。

注意，绕法 τ₁ 与 τ₂ 为等价绕法，只说明两种绕法能经过的槽是一样的，与经过槽的频率、概率、顺序无关，只是两种绕法的可达图看上去是一样的。同绕关系是两种绕法间的二元关系。但绕法 τ = k t 与数字 k 是一一对应的，所以绕法 τ = k t 可以简单说成绕法 k，同绕关系也可说成两个数字间的关系（定义4）。

举例：12 槽电机中，1 和 11 为等价绕法，因为两种绕法都能把槽绕满。

定义2.1

槽：电枢凹下去的沟道称为槽。

线圈：两个槽之间的一个有向箭头叫做一个线圈。这里不考虑物理线圈的环状性质，只考虑线圈的两个边。

入槽：线圈射入的槽称为线圈的入槽。

出槽：线圈射出的槽称为线圈的出槽。

盖槽：线圈盖住的槽叫线圈的盖槽。注意，出槽不是盖槽，入槽是盖槽，出槽与入槽之间的全是盖槽。

阶：第二次以 0 为出槽时所用的线圈数叫做绕法的阶。

定义3

( ∣ n ) = { ( ∣ x n ) ∣ x < n } (|n)=\{{\left ( |\frac{x}{n} \right ) | x < n }\} (∣n)={(∣nx)∣x<n}

定义4

同绕关系: (n,k) = (n,x) 称 x 与 k 关于 n 互为同绕关系，记作 x ~ k

注意：这个不像是定义，更像是定理（见定理7）。

同余关系是同绕关系的子关系，即可以从 a,b 同余推出 a,b 同绕，同绕比同余条件宽松。

电枢绕转问题并不需要同余那么强的条件。

同绕关系与同余关系类似，都是等价关系，只是同绕关系条件宽松，没有同余关系那么好的运算性质。

定义5

最小绕数 ：(k,n) 称为 k 对 n 的最小绕数 ，即 k 能绕到的最小数，记作 k₀，而 n / k₀ 称为 k 对 n 的阶，记作 |k|。

可以发现 n = 最小绕数 × 阶

即 n = k₀ × |k|
阶由最小绕数唯一确定，阶相等或最小绕数相等的两个数是同绕的，反之不同绕。
绕法 k 最小绕数的倍数叫做绕法 k 的绕数或 可达点。

定义5.0.1

阶：n 槽电枢，绕法 k 第一次回到 0 后，绕的次数叫做 k 对 n 的阶 ，记作 |k| = n / (n,k) = n / k₀

注意：这个是特殊的阶，即对 0 的阶 |k|₀，也是绕法的默认阶，后面还有对其他槽的阶。

阶的符号与绝对值一符多意，数学上一符多意很常见，一定要做到 脑纸分配，否则理解与推理容易混乱。

定义5.0.2

最小盖数 ：n 槽电枢，绕法 k 第一次回到 0 后，每个槽被盖住的次数叫做绕法 k 对 n 的最小盖数 ，记作 k₁。

k₁ = k / (n,k) = k / k₀
绕法 k 回到 0 时绕的圈数统称为盖数。
绕法 k 的盖数越大说明绕的效率越低，n 的因子盖数为 1，只需转一圈就回到 0。
P1: n 槽电枢，绕法 k 第一次回到 0 后，经历的槽数为 k × |k| = k × n / (n,k) = n × k₁，所以绕法 k 第一次回到 0 后共走了 k₁ 圈。

定义5.0.3

商与余数 ：n 槽电枢，绕法 k 对 n 的带余除法 n = k*q + r (r ∈ [0,k-1]) 中 q 与 r 分别叫做绕法 k 的商与余数，记作 k_q 与 k_r。

即 n = k*k_q + k_r
注意出槽不是盖槽，计数时在前面补充一个 0 槽，每个被计对象都会被盖一次。

示例（7 = 3*2 + 1）：

0 1 2 3 4 5 6 7

(用不同颜色标记被盖槽)

定义5.1.1

电枢的阶 ：n 槽电枢的阶为 n，即电枢的总槽数称为 电枢的阶 （有时称为模，但通常称作 总槽数）。

定义5.1.2

绕法对槽阶 ：n 槽电枢，绕法 k 第一次绕到槽 s，绕的次数叫做 k 对 s 的阶，记作 |k|_s。

只有绕法 k 对 s 可达才会存在 |k|_s，否则 |k|_s = ∞。
绕法 k₀ 对 k 的阶正是前面的盖数，记作 k₁ = |k₀|_k = k / (n,k) = k / k₀。

注意：|k|₀ 一定存在，任意绕法对 0 可达。

定义5.2

逆：n 槽电枢，绕法 k 第一次绕到 1，绕的次数叫做 k 对 n 的逆，记作 k^-1。

绕法 k 的逆就是绕法对 1 的阶，即 k^-1 = |k|₁。

定义6

最小绕数集：n 的全体最小绕数组成的集合。除非特殊声明，在大多数场合与定义3不加区分，也记作 (|n)。

n 的最小绕数集就是定义8的 标准同绕系。

定义7

同绕类 ：去掉 k < n 的限制，并定义 ( ∣ 0 n ) \left ( |\frac{0}{n} \right ) (∣n0) = {0}，同绕关系对 N_n 划分构成一个个同绕类。

（n,k）是集合 ( ∣ k n ) \left ( |\frac{k}{n} \right ) (∣nk) 的最小元素，即 k 的最小绕数 k₀。
由定义1可知， ( ∣ k n ) \left ( |\frac{k}{n} \right ) (∣nk) 就是 k 对 n 的一个同绕类，该同绕类的元素全都是 k 的最小绕数的倍数。
一个同绕类与绕法一一对应，因此定义3 (|n) 有时指 n 的所有绕法集，有时指 n 的一个同绕系。
同绕系与绕法集等价，(|n) 的意义需在具体场合具体分析，做到科学的 脑纸分配。

定义8

在自然数中筛选出一组 n 的所有绕法集，这样一组完备且不相交的绕法集称为 n 的一组 同绕系。

或者说：

在 n 的一组完备的同绕类族里，每个同绕类随便抽取一个元素组成的集合称为 n 的一组 同绕系。

类比剩余系，由于 k 与 t*n + k 同绕，因此可以在小于 n 的范围内找到一组 n 的同绕系，并且如果选择同绕类的最小绕数作为同绕系的元素，则称这个同绕系为 标准同绕系。

注意：

n 的一个同绕系必然包含 n 槽电机的所有绕法

n 的一个同绕系内的元素必然彼此不同绕

同绕不同于同余，即便在小于 n 的范围内，同绕系的选取也有多个

根据定义3可知，小于 n 内选取同绕系，共有：
∏ s ∈ ( ∣ n ∣ ) ∣ s ∣ \prod_{s \in (|n|)} |s| ∏s∈(∣n∣)∣s∣种方案

例1

求 6 的标准同绕系（定理8有更好的方法）

步骤1：先求 6 的所有同绕类

( ∣ 1 6 ) = { 1 , 5 } \left(|\frac{1}{6}\right) = \{1, 5\} (∣61)={1,5}

( ∣ 2 6 ) = { 2 , 4 } \left(|\frac{2}{6}\right) = \{2, 4\} (∣62)={2,4}

( ∣ 3 6 ) = { 3 } \left(|\frac{3}{6}\right) = \{3\} (∣63)={3}

因此，6 的同绕类只有 3 个：{1, 5}，{2, 4}，{3}，这 3 个同绕类是 N 6 N_6 N6 的一个划分。

步骤2：选取同绕类的最小元素得到标准同绕系

6 的 标准同绕系 为 ( ∣ 6 ∣ ) = { 1 , 2 , 3 } (|6|) = \{1, 2, 3\} (∣6∣)={1,2,3}

这个结果正好验证了定理8：n 的 标准同绕系 就是 n 的 因子集。

定义9: 可达

可达：绕法 τ 可以到达的槽称为 可达槽 ，对应的槽号叫 τ 的 可达数 或 可达点 ，也可称为 τ 的绕数。

定理13解决了绕法 τ 是否对某个数可达的问题，如果可达，可以计算对应的阶。

只要这个数是最小绕数的倍数，那么这个数就是可达的。

同绕集中对不同槽的阶不同，需要用定理13求解。

可达集 ：绕法 τ 可达数组成的集合。
可达图：绕法 τ 可达点形成的图形。

线性绕法的可达图一定是均匀分布在圆上。槽数 n 确定时，可达图的种类与同绕系的模一样多，与模 n 的因子个数一样多。

全达（全可达） ：如果所有槽绕法 τ 都是可达的，那么称 τ 是全达的。

一般非线性绕法 τ 的全达问题需要逐槽验证。1 很明显是全达的，其实与总槽数互质的数都是全达的。

定理1 的电枢公式将所有的线性绕法转换成对应的全达绕法，乘以一个叫 最小绕数 的系数。

细心的同学会发现，大电枢在使用绕法 k 绕转过程中，那些不可达点永远不会绕到。

将这些不可达点全部删掉，就得到了小电枢。大电枢 ( ∣ k n ) \left(|\frac{k}{n}\right) (∣nk) 的任意可达点 s，对应小电枢 ( ∣ 1 n ( n , k ) ) \left(|\frac{1}{\frac{n}{(n,k)}}\right) (∣(n,k)n1) 的槽 s/k₀。

电枢公式描述了这两个大小电枢间的关系。

这样看电枢公式就像两个大小齿轮，两个齿轮的系数比为最小绕数。

大电枢的绕法 k 对应 小电枢的绕法 k₁
大电枢的绕法 k₀ 对应 小电枢的绕法 1
大电枢的阶 n 对应 小电枢的阶 |k|
大电枢的槽 s 对应 小电枢的槽 s/k₀
大电枢的 x 对应 小电枢的 x/k₀
大电枢的不可达点 x 无法对应 小电枢的 x/k₀，故 x 可达 ⇒ x/k₀ 必然是整数

所以可以说大电枢是小电枢的 k₀ 倍。

定理1 (电枢公式)

( ∣ k n ) = ( n , k ) ∗ ( ∣ 1 n ( n , k ) ) \left(|\frac{k}{n}\right) = (n,k) * \left(|\frac{1}{\frac{n}{(n,k)}}\right) (∣nk)=(n,k)∗(∣(n,k)n1)

P1: ∀x ∈ ( ∣ k n ) \left(|\frac{k}{n}\right) (∣nk) ⇔ (n,x) = (n,k)

P2: ( n ( n , k ) , x ( n , k ) ) = 1 (\frac{n}{(n,k)}, \frac{x}{(n,k)}) = 1 ((n,k)n,(n,k)x)=1

P3: x ( n , k ) ∈ ( ∣ 1 n ( n , k ) ) \frac{x}{(n,k)} ∈ \left(|\frac{1}{\frac{n}{(n,k)}}\right) (n,k)x∈(∣(n,k)n1)

P4: x ∈ ( n , k ) ( ∣ 1 n ( n , k ) ) x ∈ (n,k) \left(|\frac{1}{\frac{n}{(n,k)}}\right) x∈(n,k)(∣(n,k)n1)

P5: ( ∣ k n ) = ( n , k ) ∗ ( ∣ 1 n ( n , k ) ) \left(|\frac{k}{n}\right) = (n,k) * \left(|\frac{1}{\frac{n}{(n,k)}}\right) (∣nk)=(n,k)∗(∣(n,k)n1)

电枢公式直观理解：若 ( n , k ) = ( t ∗ ( n , k ) , n ) (n,k) = (t*(n,k), n) (n,k)=(t∗(n,k),n)，则需要 ( t , n / ( n , k ) ) = 1 (t, n/(n,k)) = 1 (t,n/(n,k))=1 才行，只要 t ∈ ( ∣ 1 n ( n , k ) ) \left(|\frac{1}{\frac{n}{(n,k)}}\right) (∣(n,k)n1) 就满足条件。

电枢公式的意义在于它可以将所有电枢绕法转换为 绕满问题，即互质问题。

注意：质数阶电枢一定能绕满，但绕满不一定是质数，只要步长与阶 n 互质即可。

由电枢公式可知，k 的同绕集与 k 的阶 n / ( k , n ) n/(k,n) n/(k,n) 的全达集一一对应，从而把大电枢问题转换成了小电枢问题。

例1

求 12 以内哪些数 与 12 的最大公约数与 4 一样？

根据电枢公式：

( ∣ 4 12 ) = ( 12 , 4 ) ∗ ( ∣ 1 12 ( 12 , 4 ) ) = 4 ∗ ( ∣ 1 3 ) = 4 ∗ { 1 , 2 } = { 4 , 8 } \left(|\frac{4}{12}\right) = (12,4) * \left(|\frac{1}{\frac{12}{(12,4)}}\right) = 4 * \left(|\frac{1}{3}\right) = 4 * \{1,2\} = \{4,8\} (∣124)=(12,4)∗(∣(12,4)121)=4∗(∣31)=4∗{1,2}={4,8}

定理1.1.0

同绕集里的元素一定是它们最小绕数的倍数。

原因：同绕集里的数有着 相同的最小绕数 ，并且 ( n , k ) ∣ k (n,k)|k (n,k)∣k。

⚠️ 注意：这个命题的反命题不成立。

例如，在 12 槽中，4 是 2 的倍数，但 4 与 2 并 不同绕。

例如，6 的同绕集共有 3 个：

{ 1 , 5 } , { 2 , 4 } , { 3 } \{1,5\},\quad \{2,4\},\quad \{3\} {1,5},{2,4},{3}

显然符合定理 1.1。

定理 1.1.0

~ 是同绕关系，且 x ∼ k x \sim k x∼k，

并且 t ∈ ( ∣ 1 n ( n , k ) ) t \in \left(|\frac{1}{\frac{n}{(n,k)}}\right) t∈(∣(n,k)n1)，

则有：

t x ∼ k tx \sim k tx∼k

说明：
- 定理 1 给出了求 k k k 同绕集的方法。
- 定理 8 给出了求标准同绕系的方法。

定理 1.1.1

只有全达绕法存在逆，且两个特殊的全达绕法的逆为：

1 − 1 = 1 , ( n − 1 ) − 1 = n − 1 1^{-1} = 1, \quad (n-1)^{-1} = n-1 1−1=1,(n−1)−1=n−1

说明：
- 只有全达绕法能绕到 1。
- 1 表示顺时针绕 1 次绕到 1。
- ( n − 1 ) (n-1) (n−1) 表示逆时针绕 ( n − 1 ) (n-1) (n−1) 次绕到 1。

定理 1.2

绕法 k k k 第一次绕到 k 0 k_0 k0 时所用的次数等于 |k| 槽电枢中绕法 k 1 k_1 k1 的逆。

证法 1：齿轮对应法

思路：将大电枢与小电枢比作两个齿轮，通过绕数一一对应说明公式。

( ∣ k n ) = k 0 ∗ ( ∣ 1 ∣ k ∣ ) \left(|\frac{k}{n}\right) = k_0 * \left(|\frac{1}{|k|}\right) (∣nk)=k0∗(∣∣k∣1)

( ∣ k n ) = ( ∣ k 0 n ) \left(|\frac{k}{n}\right) = \left(|\frac{k_0}{n}\right) (∣nk)=(∣nk0)

( ∣ k / k 0 ∣ k ∣ ) = ( ∣ k 1 ∣ k ∣ ) = ( ∣ 1 ∣ k ∣ ) \left(|\frac{k/k_0}{|k|}\right) = \left(|\frac{k_1}{|k|}\right) = \left(|\frac{1}{|k|}\right) (∣∣k∣k/k0)=(∣∣k∣k1)=(∣∣k∣1)

说明：
- P2 是 P3 的 k 0 k_0 k0 倍。
- P2 中绕 k k k 次，P3 中绕 k / k 0 k/k_0 k/k0 次。
- 当 P3 中的 k / k 0 k/k_0 k/k0 绕到 1 时，P2 中的 k k k 恰好绕到 k 0 k_0 k0。

直观理解：大电枢的绕法 k k k 与小电枢的绕法 1 1 1 对应，绕满问题转化为互质问题。

证法 2：同余法

思路：使用模运算和除法处理。

设
k x ≡ k 0 ( m o d n ) kx \equiv k_0 \pmod{n} kx≡k0(modn)
两边同时除以 k 0 k_0 k0：
k k 0 x ≡ 1 ( m o d ∣ k ∣ ) \frac{k}{k_0} x \equiv 1 \pmod{|k|} k0kx≡1(mod∣k∣)

说明：公式本质上将大电枢的绕法转化为小电枢的全达绕法，通过互质关系保证可达性。

定理 1.3 齐次性

对于任意自然数 a a a，有：

a ( ∣ k n ) = ( ∣ a k a n ) a \left(|\frac{k}{n}\right) = \left(|\frac{ak}{an}\right) a(∣nk)=(∣anak)

说明：

定理表明，同绕集在"齐次放大"下保持不变，可直接通过电枢公式带入验证。

定理 1.4

并和与笛卡尔和都有：

a ( ( ∣ k 1 n 1 ) + ( ∣ k 2 n 2 ) ) = a ( ∣ k 1 n 1 ) + a ( ∣ k 2 n 2 ) a \Big( \left(| \frac{k_1}{n_1} \right) + \left(| \frac{k_2}{n_2}\right) \Big) = a \left(| \frac{k_1}{n_1} \right) + a \left(| \frac{k_2}{n_2} \right) a((∣n1k1)+(∣n2k2))=a(∣n1k1)+a(∣n2k2)

说明：

这里的 + + + 理解为笛卡尔和或集合并运算都行。

定理 1.5

对于互质的正整数 a , b a,b a,b，有：

( ∣ 1 a b ) = b ( ∣ 1 a ) + a ( ∣ 1 b ) \left(| \frac{1}{ab} \right)= b \left(|\frac{1}{a} \right) + a \left(| \frac{1}{b} \right) (∣ab1)=b(∣a1)+a(∣b1)

条件： ( a , b ) = 1 (a,b)=1 (a,b)=1

说明：

该公式描述了模 a b ab ab 下同绕集的结构，可视为笛卡尔和在互质条件下的展开。
详见 [定理 10.1](#定理 10.1)。

定理 1.6

命题：

若绕法 a、b 对应的阶互质，即 ( ∣ a ∣ , ∣ b ∣ ) = 1 (|a|,|b|)=1 (∣a∣,∣b∣)=1，则有：

∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ ⋅ ∣ b ∣ |a+b| = |a| \cdot |b| ∣a+b∣=∣a∣⋅∣b∣

例子（12槽电枢）

∣ 3 ∣ = 4 |3|=4 ∣3∣=4, ∣ 4 ∣ = 3 |4|=3 ∣4∣=3
∣ 3 + 4 ∣ = ∣ 7 ∣ = ∣ 3 ∣ ⋅ ∣ 4 ∣ = 12 = ∣ 1 ∣ |3+4| = |7| = |3|\cdot|4| = 12 = |1| ∣3+4∣=∣7∣=∣3∣⋅∣4∣=12=∣1∣

证明思路

约定1： 下面的各种运算均在模 n n n 内进行。

设定： n = s ⋅ ∣ a + b ∣ n = s \cdot |a+b| n=s⋅∣a+b∣，其中 ∣ a + b ∣ = s |a+b| = s ∣a+b∣=s。
分析 a 的阶对 s 的整除性 ：
n = s ( a + b ) ∣ a ∣ = s b ∣ a ∣ ⟹ ∣ b ∣ ∣ s ∣ a ∣ ⟹ ∣ b ∣ ∣ s n = s(a+b)|a| = s b |a| \implies |b| \mid s|a| \implies |b| \mid s n=s(a+b)∣a∣=sb∣a∣⟹∣b∣∣s∣a∣⟹∣b∣∣s
同理， ∣ a ∣ ∣ s |a| \mid s ∣a∣∣s。
互质条件 ： [ ∣ a ∣ , ∣ b ∣ ] = ∣ a ∣ ⋅ ∣ b ∣ ∣ s ⟹ ∣ a ∣ ⋅ ∣ b ∣ ∣ ∣ a + b ∣ [|a|, |b|] = |a|\cdot|b| \mid s \implies |a|\cdot|b| \mid |a+b| [∣a∣,∣b∣]=∣a∣⋅∣b∣∣s⟹∣a∣⋅∣b∣∣∣a+b∣
计算 (a+b)|a||b| ：
( a + b ) ⋅ ∣ a ∣ ⋅ ∣ b ∣ = a ⋅ ∣ a ∣ ⋅ b + b ⋅ ∣ b ∣ ⋅ a = ( a + b ) n ⟹ ∣ a + b ∣ ∣ ∣ a ∣ ⋅ ∣ b ∣ (a+b)\cdot|a|\cdot|b| = a\cdot|a|\cdot b + b\cdot|b|\cdot a = (a+b)n \implies |a+b| \mid |a|\cdot|b| (a+b)⋅∣a∣⋅∣b∣=a⋅∣a∣⋅b+b⋅∣b∣⋅a=(a+b)n⟹∣a+b∣∣∣a∣⋅∣b∣
结论：结合步骤4和5，可得
∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ ⋅ ∣ b ∣ |a+b| = |a| \cdot |b| ∣a+b∣=∣a∣⋅∣b∣

说明：

定理 1.6 给出了绕法阶数在互质情况下的乘法性质，可用于推导大电枢的绕法组合阶。

定理 1.7（电枢阶与最小绕数的对称性）

命题：

对于 n 槽电枢，若 n = k s n = k s n=ks，则有：

k = k 0 k = k_0 k=k0， s = s 0 s = s_0 s=s0
∣ k ∣ = s |k| = s ∣k∣=s， ∣ s ∣ = k |s| = k ∣s∣=k

证明

P1：

设 n = k s n = k s n=ks，由于 k s k s ks 是对称的，只需证明 k = k 0 k = k_0 k=k0 且 ∣ k ∣ = s |k| = s ∣k∣=s。

P2：

由定义可知 ( n , k ) = k (n,k) = k (n,k)=k，因此：

k 0 = k , ∣ k ∣ = n k 0 = n k = s k_0 = k, \quad |k| = \frac{n}{k_0} = \frac{n}{k} = s k0=k,∣k∣=k0n=kn=s

定理 2（单素因子阶电枢）

设 p p p 为素数，则

( ∣ 1 p k ) = N p k − p N p k − 1 \left(|\frac{1}{p^k}\right) = N p^k - p N p^{k-1} (∣pk1)=Npk−pNpk−1

说明：

该公式表示在 p k p^k pk 槽电枢中，将所有含有 p p p 因子的数剔除后得到的可达数集合。

定理 3

设素数 p p p，且 ( a , p ) = 1 (a,p) = 1 (a,p)=1，则

( ∣ a a p ) = a ⋅ N p \left(|\frac{a}{ap}\right) = a \cdot N_p (∣apa)=a⋅Np

证明思路：

直接将电枢公式代入即可。

推论

取 a = 1 a = 1 a=1，可得素数阶电枢的性质：

无论绕法如何，总能绕满所有槽。

这说明素数阶电枢一定是全达的。

定理4

( ∣ 1 p 1 α 1 p 2 α 2 ) = N p 1 α 1 p 2 α 2 − ( p 1 N p 1 α 1 − 1 p 2 α 2 ⋃ p 2 N p 1 α 1 p 2 α 2 − 1 ) \left ( |\frac{1}{p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2}} \right ) =Np_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2}-(p_1N_{p_1^{\alpha 1-1}p_2^{\alpha 2}}\bigcup p_2N_{p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2-1}}) (∣p1α1p2α21)=Np1α1p2α2−(p1Np1α1−1p2α2⋃p2Np1α1p2α2−1)

定理 4.1

设 p 1 , p 2 , ... , p t p_1, p_2, \dots, p_t p1,p2,...,pt 为素数，指数分别为 α 1 , ... , α t \alpha_1, \dots, \alpha_t α1,...,αt，则

( ∣ 1 p 1 α 1 p 2 α 2 . . . p t α t ) = N p 1 α 1 p 2 α 2 . . . p t α t − ⋃ i = 1 t p i ∗ N p 1 α 1 p 2 α 2 . . . p i α i − 1 . . . p t α t \left ( |\frac{1}{p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2}...p_t^{\alpha t}} \right ) =N{p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2}...p_t^{\alpha t}-\bigcup_{i=1}^{t}p_i *N{ p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2}...p_i^{\alpha i-1}...p_t^{\alpha t}}} (∣p1α1p2α2...ptαt1)=Np1α1p2α2...ptαt−⋃i=1tpi∗Np1α1p2α2...piαi−1...ptαt

说明：

这是定理4的直接推广，用于剔除所有含有任意素因子的数，得到最终可达数集合。

定理 4.2（两素积阶电枢的并和与+和互补）

设素数 a , b a,b a,b，则

( ∣ 1 a b ) = b ⋅ ( ∣ 1 a ) + a ⋅ ( ∣ 1 b ) = N a b − ( b ⋅ ( ∣ 1 a ) ∪ a ⋅ ( ∣ 1 b ) ) \left(|\frac{1}{ab}\right) = b \cdot \left(|\frac{1}{a}\right) + a \cdot \left(|\frac{1}{b}\right) = N_{ab} - \Big( b \cdot \left(|\frac{1}{a}\right) \; \cup \; a \cdot \left(|\frac{1}{b}\right) \Big) (∣ab1)=b⋅(∣a1)+a⋅(∣b1)=Nab−(b⋅(∣a1)∪a⋅(∣b1))

说明：

当 a , b a,b a,b 为素数时，并和（ ∪ \cup ∪）与笛卡尔和（ + + +）在函数轮换下关于 N a b N_{ab} Nab 互补。
这说明素数阶电枢的可达数集合可以通过简单的加权组合方式从较小素数阶集合构造出来。

定理5（电枢全达绕法的个数）

设 n = p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ p t α t n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_t^{\alpha_t} n=p1α1p2α2⋯ptαt，则

∣ ( ∣ 1 p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ p t α t ) ∣ = p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ p t α t ∏ i = 1 t ( 1 − 1 p i ) \left| \left( |\frac{1}{p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_t^{\alpha_t}} \right) \right| = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_t^{\alpha_t} \prod_{i=1}^{t} \left(1 - \frac{1}{p_i} \right) (∣p1α1p2α2⋯ptαt1) =p1α1p2α2⋯ptαti=1∏t(1−pi1)

说明：

这是欧拉公式的推论，即

∣ ( ∣ 1 n ) ∣ = φ ( n ) \left| \left( |\frac{1}{n}\right) \right| = \varphi(n) (∣n1) =φ(n)

定理6（最小绕数与阶的物理意义）

设 n n n 槽电枢，每次绕 k k k 个槽，则最少绕

n ( n , k ) \frac{n}{(n,k)} (n,k)n

次能回到起点。

说明：

这个定理揭示了定义5中"最小绕数"与阶的物理意义。
对应群的阶定理：若 ∣ a ∣ = n |a| = n ∣a∣=n，则 ∣ a k ∣ = n ( n , k ) |a^k| = \frac{n}{(n,k)} ∣ak∣=(n,k)n

证明思路：

P1: n ∣ n ( n , k ) ⋅ k n \mid \frac{n}{(n,k)} \cdot k n∣(n,k)n⋅k

P2: n ∣ t ⋅ k n \mid t \cdot k n∣t⋅k

P3: n ( n , k ) ∣ t ⋅ k ( n , k ) \frac{n}{(n,k)} \mid t \cdot \frac{k}{(n,k)} (n,k)n∣t⋅(n,k)k

P4: n ( n , k ) ∣ t \frac{n}{(n,k)} \mid t (n,k)n∣t

因此最小绕数就是 n ( n , k ) \frac{n}{(n,k)} (n,k)n 次。

例1

问题：

1袋粽子有4个，14个粽子可以装一箱，最少买多少袋粽子可以正好装满整箱？

解析：

这个问题对应求 4对14的阶，即最小绕数问题。

P1: 计算最小绕数：

14 ( 4 , 14 ) = 14 2 = 7 \frac{14}{(4,14)} = \frac{14}{2} = 7 (4,14)14=214=7

结论：

最少买 7袋粽子，正好装满整箱。

定理6.0.1

∣ k ∣ = ∣ k 0 ∣ |k| = |k_0| ∣k∣=∣k0∣

因为 k k k 与 k 0 k_0 k0 同绕，所以它们形成的花瓣个数一样，即阶一样。

定理6.1

总槽数为 n 1 , n 2 n_1,n_2 n1,n2 的两个齿轮，总的状态数为 [ n 1 , n 2 ] [n_1,n_2] [n1,n2]。

当 ( n 1 , n 2 ) = 1 (n_1,n_2)=1 (n1,n2)=1 时，可出现任意状态，此时 n 1 n_1 n1 与 n 2 n_2 n2 相互全达，磨损最均匀。

约定：

n 1 k n1_k n1k 表示齿轮 n 1 n_1 n1 的第 k k k 个槽
n 2 k n2_k n2k 表示齿轮 n 2 n_2 n2 的第 k k k 个齿
符号 k 1 _ k 2 k_1\_k_2 k1_k2 表示齿轮 n 2 n_2 n2 的第 k 2 k_2 k2 个齿卡住齿轮 n 1 n_1 n1 的第 k 1 k_1 k1 个槽
初始状态为 0 0 0_0 00，齿轮按两者齿槽增长方向旋转
第二次达到状态 0 0 0_0 00 时，称绕过了一个绕转周期

分析：

P1: 若 n 1 n_1 n1 的任意一个槽可被 n 2 n_2 n2 的任意齿卡住，则磨损均匀。

P2: 以 n 1 n_1 n1 为参考系，问题转换为槽数为 n 1 n_1 n1 的电枢问题， n 2 n_2 n2 旋转一周相当于用绕法 n 2 n_2 n2 绕了 n 1 n_1 n1 一次。

P3: n 2 n_2 n2 转 ∣ n 2 ∣ |n_2| ∣n2∣ 圈正好经过一个绕转周期：

总齿数 = n 2 ⋅ ∣ n 2 ∣ = n 2 ⋅ n 1 ( n 1 , n 2 ) = [ n 1 , n 2 ] \text{总齿数} = n_2 \cdot |n_2| = n_2 \cdot \frac{n_1}{(n_1,n_2)} = [n_1,n_2] 总齿数=n2⋅∣n2∣=n2⋅(n1,n2)n1=[n1,n2]

当 ( n 1 , n 2 ) = 1 (n_1,n_2)=1 (n1,n2)=1 时， n 2 n_2 n2 是全达绕法， n 2 n_2 n2 的任意齿能卡住 n 1 n_1 n1 的任意槽。

例1： n 1 = 3 , n 2 = 2 n_1=3, n_2=2 n1=3,n2=2，总状态数 [ 3 , 2 ] = 6 [3,2]=6 [3,2]=6

状态序列：
0 0 , 1 1 , 2 0 , 0 1 , 1 0 , 2 1 0_0, 1_1, 2_0, 0_1, 1_0, 2_1 00,11,20,01,10,21

例2： n 1 = 4 , n 2 = 2 n_1=4, n_2=2 n1=4,n2=2，总状态数 [ 4 , 2 ] = 4 [4,2]=4 [4,2]=4

状态序列：
0 0 , 1 1 , 2 0 , 3 1 0_0, 1_1, 2_0, 3_1 00,11,20,31

定理6.2

s s s 个齿轮 n 1 , n 2 , . . . , n s n_1,n_2,...,n_s n1,n2,...,ns 两两卡合，总状态数为：

n 1 , n 2 , . . . , n s \] \[n_1,n_2,...,n_s\] \[n1,n2,...,ns

此定理对用多个霍尔定位转子位置有参考价值。

方法1：数学归纳法

P1: s = 2 s=2 s=2 已证明（定理6.1）
P2: 假设 s = k − 1 s=k-1 s=k−1 成立
P3: s = k s=k s=k 时，把 n 1 n_1 n1 作为参考系，使用 n 2 , . . . , n k n_2,...,n_k n2,...,nk 绕 n 1 n_1 n1
- n 2 , . . . , n k n_2,...,n_k n2,...,nk 的绕转周期为 [ n 2 , . . . , n k ] [n_2,...,n_k] [n2,...,nk]
- 相当于两个齿轮绕转，总绕转状态为： $n 1 , \[ n 2 , . . . , n k \] \] = \[ n 1 , n 2 , . . . , n k \] \[n_1,\[n_2,...,n_k\]\] = \[n_1,n_2,...,n_k\] \[n1,\[n2,...,nk\]\]=\[n1,n2,...,nk$
归纳完成。

方法2：轮换角度

P1: n 1 n_1 n1 每旋转一个槽，其他齿轮也旋转一个
P2: 最少旋转多少槽让所有齿轮恢复初始状态？答案为 [ n 1 , n 2 , . . . , n k ] [n_1,n_2,...,n_k] [n1,n2,...,nk]

例1： n 1 = 2 , n 2 = 2 , n 3 = 4 n_1=2,n_2=2,n_3=4 n1=2,n2=2,n3=4，总状态数 [ 2 , 2 , 4 ] = 4 [2,2,4]=4 [2,2,4]=4

状态序列：
KaTeX parse error: Double subscript at position 5: 0_0_̲0, 1_1_1, 0_0_2...

定理7

n 槽电机，若
( x , n ) = ( y , n ) ⟺ x 与 y 是等价绕法 (x,n) = (y,n) \iff x \text{ 与 } y \text{ 是等价绕法} (x,n)=(y,n)⟺x 与 y 是等价绕法

这个定理就是定义1的由来。证明可以参看循环群阶定理，这里用自然语言说明：

证明思路：

第一次回到起点时，未绕到的槽以后也不会再绕到（因为绕法会沿着以前走过的路径循环）。
只要按固定步长绕线，最终绕到的槽会均匀分布在圆上（每个可达槽地位平等）。
第一次回到起点所用步数相同的绕法是等价绕法（P2 的推论）。
每次绕 k k k 槽，最少绕
n ( n , k ) \frac{n}{(n,k)} (n,k)n
次才能回到起点（定理6）。
由此 n ( n , k ) \frac{n}{(n,k)} (n,k)n 由 ( n , k ) (n,k) (n,k) 唯一确定，所以有：
( x , n ) = ( y , n ) ⟺ x 与 y 是等价绕法 (x,n) = (y,n) \iff x \text{ 与 } y \text{ 是等价绕法} (x,n)=(y,n)⟺x 与 y 是等价绕法

示例1：未来存在周三的国庆节

转换为 7 槽电枢问题，只考虑平年。
在 2000 年前的循环中：
1897、1898、1899、1900、1901、1902、1903 都是平年。
平年 365 天与 1 同绕，1 是全达绕法，365 也是全达绕法。
因此，7 年中的国庆节将均匀分布在每个星期数上，必然存在周三的国庆节。

示例2：3 升桶和 5 升桶如何得到 4 升水？

转换为 3 绕 5 槽电枢问题，因为 3 是全达绕法，故可以得到 1,2,3,4,5 升水。
对应操作流程（3 升桶往 5 升桶倒水，当 5 升桶满时清空，0 与 5 是同一位置）：

3 升桶	5 升桶
3	0
3	3
3	1
3	4

最终得到目标 4 升水。

定理8

n 同绕系的元素个数等于 n 的因子个数
∣ ( ∣ n ) ∣ = n 的因子个数 |(|n)| = \text{n 的因子个数} ∣(∣n)∣=n 的因子个数

n 的每个因子可作为 n 各个同绕集的代表元（不同因子对应不同绕法）。
因此，n 的标准同绕系就是 n 的因子集。

证明思路：

令
S = { x ∣ ( n , x ) ∣ x < n } ⟹ ∣ S ∣ = ∣ ( ∣ n ) ∣ S = \{x \mid (n,x) \mid x<n\} \implies |S| = |(|n)| S={x∣(n,x)∣x<n}⟹∣S∣=∣(∣n)∣
S 的元素都是 n 的因子。n 的一个因子 k = (n,k) 也是 S 的元素。
所以 S 就是 n 的因子集，且
∣ S ∣ = ∣ ( ∣ n ) ∣ = n 的因子个数 |S| = |(|n)| = \text{n 的因子个数} ∣S∣=∣(∣n)∣=n 的因子个数

补充说明：

∣ ( ∣ n ) ∣ |(|n)| ∣(∣n)∣ 表示 n 槽电机的绕线方式集。
对于每个绕法 ( ∣ k n ) \left(|\frac{k}{n}\right) (∣nk)，有 ∣ ( ∣ k n ) ∣ |\left(|\frac{k}{n}\right)| ∣(∣nk)∣ 种等价方式。
定理1--5 解决了与 k 的等价绕法有多少，具体有哪些的问题。
子群对应 ：n 阶循环群 G，n 的每个因子 k 对应唯一的 k 阶子群，可由
( ∣ n / k n ) \left(|\frac{n/k}{n}\right) (∣nn/k) 中的任意元素生成。这个 k 阶子群就是绕法 n/k 的可达集。

定理8.1 可达定理

可达定理的两种等价描述：

绕法 t 可达 k 的充要条件是
( n , t ) ∣ k (n,t) \mid k (n,t)∣k
只有与 k 的某个因子同绕的绕法才能绕到 k。

证明思路：

证法1：方程
t x ≡ k ( m o d n ) t x \equiv k \pmod{n} tx≡k(modn)

有解的充要条件是 ( n , t ) ∣ k (n,t) \mid k (n,t)∣k。
证法2：若 k1 与 k 的任意因子不同绕，则绕法 k1 无法达到 k。
- 反证：假设绕法 k1 绕了 t 次能到达 k，则
  k ≡ t ⋅ k 1 = t ⋅ s ⋅ k 1 , 0 ( 定理1.1 ) k \equiv t \cdot k_1 = t \cdot s \cdot k_{1,0} \quad (\text{定理1.1}) k≡t⋅k1=t⋅s⋅k1,0(定理1.1)
- k1 与 k1_0 都是 k 的一个因子，k1_0 是 k1 的最小绕数，自然与 k1 同绕，与假设矛盾。

示例1：

12 槽电枢中，绕法 6 是否对槽 8 可达？哪些绕法对 8 可达？

( 6 , 12 ) = 6 ≁ 8 (6,12) = 6 \not\sim 8 (6,12)=6∼8 → 绕法 6 对 8 不可达。
8 的因子集为 { 1 , 2 , 4 , 8 } \{1,2,4,8\} {1,2,4,8} → 对槽 8 可达的绕法集为
( ∣ 1 12 ) ∪ ( ∣ 2 12 ) ∪ ( ∣ 4 12 ) ∪ ( ∣ 8 12 ) \left(|\frac{1}{12}\right) \cup \left(|\frac{2}{12}\right) \cup \left(|\frac{4}{12}\right) \cup \left(|\frac{8}{12}\right) (∣121)∪(∣122)∪(∣124)∪(∣128)

示例2：

旋转多少整数度数与自身重合的图形是中心对称图形？

即 360 槽电枢中，对 180 可达的绕法（180 的因子同绕的绕法）。

定理9

n 槽电机有 φ ( n ) \varphi(n) φ(n) 种绕法能够绕满

证明思路：

每次绕一个槽显然能绕满。
能绕满的绕法集为
( ∣ 1 n ) \left(|\frac{1}{n}\right) (∣n1)
根据定义1
∣ ( ∣ 1 n ) ∣ = φ ( n ) |\left(|\frac{1}{n}\right)| = \varphi(n) ∣(∣n1)∣=φ(n)

定理10

如果 ( a , b ) = 1 (a,b)=1 (a,b)=1，则
∣ ( ∣ 1 a b ) ∣ = ∣ ( ∣ 1 a ) ∣ ⋅ ∣ ( ∣ 1 b ) ∣ ⟺ φ ( a b ) = φ ( a ) φ ( b ) \left|\left(|\frac{1}{ab}\right)\right| = \left|\left(|\frac{1}{a}\right)\right| \cdot \left|\left(|\frac{1}{b}\right)\right| \quad \Longleftrightarrow \quad \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b) (∣ab1) = (∣a1) ⋅ (∣b1) ⟺φ(ab)=φ(a)φ(b)

欧拉函数为什么是积性函数？这个证明非常简单漂亮：

证明思路：

令
S a b = { x a + y b ∣ ( x a + y b , a b ) = 1 } , S a = { y ∣ ( y , a ) = 1 } , S b = { x ∣ ( x , b ) = 1 } S_{ab} = \{ xa + yb \mid (xa+y b, ab)=1\}, \quad S_a = \{y \mid (y,a)=1\}, \quad S_b = \{x \mid (x,b)=1\} Sab={xa+yb∣(xa+yb,ab)=1},Sa={y∣(y,a)=1},Sb={x∣(x,b)=1}
元素个数：
∣ S a b ∣ = φ ( a b ) , ∣ S a ∣ = φ ( a ) , ∣ S b ∣ = φ ( b ) |S_{ab}| = \varphi(ab), \quad |S_a| = \varphi(a), \quad |S_b| = \varphi(b) ∣Sab∣=φ(ab),∣Sa∣=φ(a),∣Sb∣=φ(b)
由于 ( a , b ) = 1 (a,b)=1 (a,b)=1，有
( x a + y b , a b ) = 1 ⟺ ( y , a ) = 1 且 ( x , b ) = 1 (xa+yb, ab)=1 \iff (y,a)=1 \text{ 且 } (x,b)=1 (xa+yb,ab)=1⟺(y,a)=1 且 (x,b)=1
因此
φ ( a b ) = φ ( a ) φ ( b ) \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b) φ(ab)=φ(a)φ(b)

从定理10可以直接得到定理5。

定理10.1

如果 ( a , b ) = 1 (a,b)=1 (a,b)=1，则
( ∣ 1 a b ) = b ( ∣ 1 a ) + a ( ∣ 1 b ) ( m o d a b ) \left(|\frac{1}{ab}\right) = b \left(|\frac{1}{a}\right) + a \left(|\frac{1}{b}\right) \pmod{ab} (∣ab1)=b(∣a1)+a(∣b1)(modab)

注意右侧的 "+" 是笛卡尔和。

示例1（验证 12）：

( ∣ 1 12 ) = { 1 , 5 , 7 , 11 } \left(|\frac{1}{12}\right) = \{1,5,7,11\} (∣121)={1,5,7,11}

4 ⋅ ( ∣ 1 3 ) = 4 { 1 , 2 } = { 4 , 8 } 4 \cdot \left(|\frac{1}{3}\right) = 4 \{1,2\} = \{4,8\} 4⋅(∣31)=4{1,2}={4,8}
3 ⋅ ( ∣ 1 4 ) = 3 { 1 , 3 } = { 3 , 9 } 3 \cdot \left(|\frac{1}{4}\right) = 3 \{1,3\} = \{3,9\} 3⋅(∣41)=3{1,3}={3,9}

笛卡尔和：
{ 4 , 8 } + { 3 , 9 } = { 7 , 1 , 11 , 5 } = ( ∣ 1 12 ) \{4,8\} + \{3,9\} = \{7,1,11,5\} = \left(|\frac{1}{12}\right) {4,8}+{3,9}={7,1,11,5}=(∣121)

定理11

( ∣ k n ) = ( ∣ n − k n ) \left(|\frac{k}{n}\right) = \left(|\frac{n-k}{n}\right) (∣nk)=(∣nn−k)

因为 ( n , k ) = ( n , n − k ) (n,k) = (n,n-k) (n,k)=(n,n−k)
说明绕线与方向无关，仅取决于步长
正向每步绕 k 个槽与逆向每步绕 k 个槽等价

示例：

赤道分成 n 份，正向走 k 步与逆向走 k 步，能踩到相同的斑马线。

推论1：

绕法 k 的同绕集关于可达图的中垂线对称（0 与 n/2 的连线）
若 k 与 n/2 同绕，则
∣ ( ∣ k n ) ∣ \left|\left(|\frac{k}{n}\right)\right| (∣nk)
为奇数，否则为偶数。
对奇数 p，由于 k 不可能与 p/2 同绕，所以 φ ( p ) \varphi(p) φ(p) 为偶数。
计算同绕集时只需计算 1 ∼ n / 2 1\sim n/2 1∼n/2，另一半取 n 的补数。

示例1（欧拉定理）：
( a , n ) = 1 ⟹ a φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) (a,n)=1 \implies a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n} (a,n)=1⟹aφ(n)≡1(modn)

( ∣ 1 n ) = { x 1 , x 2 , . . . , x φ ( n ) } \left(|\frac{1}{n}\right) = \{x_1, x_2, ..., x_{\varphi(n)}\} (∣n1)={x1,x2,...,xφ(n)} 是 n 的简化剩余系
若 a ∈ ( ∣ 1 n ∣ ) a \in \left(|\frac{1}{n}|\right) a∈(∣n1∣)，则
a ⋅ ( ∣ 1 n ) = ( ∣ 1 n ) a \cdot \left(|\frac{1}{n}\right) = \left(|\frac{1}{n}\right) a⋅(∣n1)=(∣n1)
两边相乘得
a φ ( n ) x 1 x 2 ⋯ x φ ( n ) ≡ x 1 x 2 ⋯ x φ ( n ) ( m o d n ) ⟹ a φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) a^{\varphi(n)} x_1 x_2 \cdots x_{\varphi(n)} \equiv x_1 x_2 \cdots x_{\varphi(n)} \pmod{n} \implies a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n} aφ(n)x1x2⋯xφ(n)≡x1x2⋯xφ(n)(modn)⟹aφ(n)≡1(modn)

定理11.1

∑ d ∣ n φ ( d ) = n \sum_{d|n} \varphi(d) = n d∣n∑φ(d)=n

n 槽电枢解释：

电枢公式知，k 的同绕集
( ∣ k n ) \left(|\frac{k}{n}\right) (∣nk)

元素总个数为 φ ( n / k 0 ) \varphi(n/k_0) φ(n/k0)
同绕关系划分了 N n N_n Nn，划分块元素个数加起来是 n
每个 φ(d) 与划分块一一对应，加起来为 n

示例：

3 = φ ( 1 ) + φ ( 3 ) = 1 + 2 3 = \varphi(1) + \varphi(3) = 1 + 2 3=φ(1)+φ(3)=1+2
12 = φ ( 1 ) + φ ( 2 ) + φ ( 3 ) + φ ( 4 ) + φ ( 6 ) + φ ( 12 ) = 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4 = 12 12 = \varphi(1)+\varphi(2)+\varphi(3)+\varphi(4)+\varphi(6)+\varphi(12) = 1+1+2+2+2+4 = 12 12=φ(1)+φ(2)+φ(3)+φ(4)+φ(6)+φ(12)=1+1+2+2+2+4=12

电枢公式新绕法扩展

实际电枢的绕法如下图：是绕几个槽，空几个槽再绕，有叠绕组、波绕组。

图1

/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

定义10：阶与绕法

阶：第二次以 0 为出槽时所用的线圈数。
绕法 τ 对槽 s 的阶 ：第一次射入 s 所用的线圈数，记作
∣ τ ∣ s |\tau|_s ∣τ∣s
绕法 τ 的逆 ：绕法 τ 对 1 的阶，记作
τ − 1 或 τ ′ \tau^{-1} \text{ 或 } \tau' τ−1 或 τ′

关于对槽的阶有阶方程（见定理13）。

定义11：扩展绕法符号

标识
( ∣ k n ) \left(|\frac{k}{n}\right) (∣nk)

可记作形如 0~k, k~2k, ... 的绕法。为了简化，当 n 固定时，可以用下划线表示：
k ：形如 0~k, k~2k, ... 的绕法。
k,m：形如 0~k , k~2k ... 的绕法

但由于在讨论具体问题时, n是固定的,所以n可以省略所以用k加下划线来简写

++k++: 形如 0~k , k~2k ... 的绕法

++k，m++: 形如 0~k , k+1...k+m-1,k+m ...2k+m ... 的绕法(注意第一个线圈k没有成为出槽,第二个线圈 k+m 没有成为入槽) k 是两个相邻入出槽之差，m 是相邻出槽或相邻入槽之差。

前面的电枢公式是 m=0 的特殊情况：

k=k,0

++k,m++ 这种绕法处理起来不方便, 但可以发现
++k,m++ 绕法可以转换为 k+m 处理，处理完再转换回 k,m。

定理12：k,m 的阶

∣ k,m ∣ = n ( n , k + m ) |\text{k,m}| = \frac{n}{(n,k+m)} ∣k,m∣=(n,k+m)n

示例：

36 槽三相电机，18 个线圈，一相用 6 个线圈，则要求满足：
36 ( 36 , k + m ) = 6 ⟹ k + m = 6 \frac{36}{(36,k+m)} = 6 \implies k+m = 6 (36,k+m)36=6⟹k+m=6

定理13：阶方程

绕法 k,m 对槽 s 的阶方程为：
( k + m ) x ≡ s + m ( m o d n ) (k+m)x \equiv s+m \pmod{n} (k+m)x≡s+m(modn)

示例：

n=12，绕法 3,2，求几步能射入槽 6。

方程：
5 x ≡ 8 ( m o d 12 ) ⟹ x = 4 5x \equiv 8 \pmod{12} \implies x = 4 5x≡8(mod12)⟹x=4
说明走 4 步能射入 6。

P1: 5x≡8 mod 12 => x=4 => 走4步能射入6

3，2 的绕法如下图

0,1,2,3,4@,5,6,7,8@,9,10,11,0,1@,2,3,4,5,6@,7,8,9

抽象电枢公式

前面符号 ( ∣ k n ) \left(| \frac{k}{n} \right) (∣nk)的意义最初与最大公约数绑定，但在推理过程中仅使用了齐次性以及加、减、乘、除（域）等几个条件。进一步抽象即可得到抽象电枢公式。

抽象电枢公式本身没有明确的物理意义，仅用于简化特定符号的表示。

定义14

集合 F 上的二元函数 f ，如果满足下面三个条件，则可得到相对应的抽象电枢公式。其中二元函数 f 称为抽象电枢函数 ，n 与 1 是 F 中的特异元素，由抽象电枢函数生成的等价关系称为抽象同绕关系。

P1： 集合 F 上的二元齐次函数满足
k f ( x , y ) = f ( k x , k y ) k f(x,y) = f(kx, ky) kf(x,y)=f(kx,ky)

P2：
f ( y , 1 ) = 1 f(y,1) = 1 f(y,1)=1

P3： 对于任意 (n,k ∈ F \in F ∈F)，存在唯一的 (q ∈ \in ∈ F) 使得
n = q ⋅ f ( n , k ) n = q \cdot f(n,k) n=q⋅f(n,k)

同理可以定义对应的同绕集：

( ∣ k n ) = { x ∣ f ( n , x ) = f ( n , k ) } \left(| \frac{k}{n} \right)= \{ x \mid f(n,x) = f(n,k) \} (∣nk)={x∣f(n,x)=f(n,k)}

定理1 也相应改为：

( ∣ k n ) = f ( n , k ) ⋅ ( ∣ 1 n f ( n , k ) ) \left( |\frac{k}{n} \right) = f(n,k) \cdot \left(| \frac{1}{\frac{n}{f(n,k)}} \right) (∣nk)=f(n,k)⋅(∣f(n,k)n1)

上面的各种同绕恒等式仍然成立。

这三条规则是从定理1提取出来的：

P1 是最基本的，没有 P1 就不会有良好的性质。
P2 源于定理1中 P2 到 P3 用到了性质
f ( x , y ) = 1 ⟹ x ∈ ( 1 y ) f(x,y) = 1 \implies x \in \left( \frac{1}{y} \right) f(x,y)=1⟹x∈(y1)
P3 防止 (\frac{n}{f(n,k)}) 不存在，可扩大定义域使其存在。

抽象电枢公式并不要求 f 中 x,y 可交换，因为定理1 在证明过程中并未用到这个性质。

定理14

若抽象电枢函数满足
f ( 1 , y ) = 1 f(1,y) = 1 f(1,y)=1

则它一定可以由对称表达式来表示。

P1:
f ( x , y ) = y ⋅ f ( x y , 1 ) = y ⋅ f ( 1 , x y ) = f ( y , x ) f(x,y) = y \cdot f\left(\frac{x}{y}, 1\right) = y \cdot f\left(1, \frac{x}{y}\right) = f(y,x) f(x,y)=y⋅f(yx,1)=y⋅f(1,yx)=f(y,x)

例1

最常用的，F是整数, f是最大公约数是性质最好的电枢公式

例2

F是有理系数多项式环,f是最大公因式可构成电枢公式

例3

如果 f 是最小公倍数是否可行呢？经过验证不可行，虽然可以定义分数的最小公倍数：

q 1 p 1 , q 2 p 2 \] = \[ q 1 \[ p 1 , p 2 \] p 1 , q 2 \[ p 1 , p 2 \] p 2 \] \[ p 1 , p 2 \] \\left\[ \\frac{q_1}{p_1}, \\frac{q_2}{p_2} \\right\] = \\frac{\\left\[ \\frac{q_1 \[p_1,p_2\]}{p_1}, \\frac{q_2 \[p_1,p_2\]}{p_2} \\right\]}{\[p_1,p_2\]} \[p1q1,p2q2\]=\[p1,p2\]\[p1q1\[p1,p2\],p2q2\[p1,p2\]

以及分数的同绕集：

( q 1 p 1 q 2 p 2 ) = 1 p 1 p 2 ( q 1 p 2 q 2 p 1 ) \left( \frac{\frac{q_1}{p_1}}{\frac{q_2}{p_2}} \right) = \frac{1}{p_1 p_2} \left( \frac{q_1 p_2}{q_2 p_1} \right) (p2q2p1q1)=p1p21(q2p1q1p2)

例4

F 是有理数集，函数
f ( x , y ) = y f(x,y) = y f(x,y)=y

可以构成电枢公式。

此时
( k n ) = { k } \left( \frac{k}{n} \right) = \{ k \} (nk)={k}

符合电枢公式。

例5

F 是有理数集，函数
f ( x , y ) = x + y f(x,y) = x + y f(x,y)=x+y

不能构成电枢公式，因为不满足 P2。很多同绕恒等式的证明依赖于定理1。

在定理1中，从 P2 到 P3 用到了性质：
f ( y , x ) = 1 ⟹ x ∈ ( 1 y ) f(y,x) = 1 \implies x \in \left( \frac{1}{y} \right) f(y,x)=1⟹x∈(y1)

如果 f ( x , y ) = x + y f(x,y) = x + y f(x,y)=x+y 能成立，则
( 1 y ) = { x ∣ f ( y , x ) = f ( y , 1 ) } \left( \frac{1}{y} \right) = \{ x \mid f(y,x) = f(y,1) \} (y1)={x∣f(y,x)=f(y,1)}

必须有
f ( y , 1 ) = 1 f(y,1) = 1 f(y,1)=1

才行，因此定义12中的 P2 必须满足该条件。

例6

F={x|x>=1} f(x,y)=min(x,y) 可构成电枢公式

例7

F=整数集 f(x,y)=y mod x, f(n,x) 生成的等价关系是同余关系,自然符合电枢公式

电枢公式的代码验证

电枢公式的Kotlin验证

答案

12槽电机中：

P1: 为什么3与9是同绕的？为什么4与8是同绕的？是什么性质让他们是同绕的？

因为它们的最小绕数相等，即
( 3 , 12 ) = ( 9 , 12 ) , ( 4 , 12 ) = ( 8 , 12 ) (3,12) = (9,12), \quad (4,12) = (8,12) (3,12)=(9,12),(4,12)=(8,12)

P2: 为什么5是全可达的？

因为5与12互质。与阶互质的绕法是全可达的。

P3: 是不是质数都是全可达的？

不是，只有与总槽数互质的数才是全可达的。

P4: 哪些绕法能绕到8？

只有与8因子同绕的数才能绕到8：
( ∣ 1 12 ) ∪ ( ∣ 2 12 ) ∪ ( ∣ 4 12 ) ∪ ( ∣ 8 12 ) \left( |\frac{1}{12} \right) \cup \left( | \frac{2}{12} \right) \cup \left( |\frac{4}{12} \right) \cup \left( |\frac{8}{12} \right) (∣121)∪(∣122)∪(∣124)∪(∣128)

P5: 有几种绕法能绕到8？
∣ ( ∣ 1 12 ) ∪ ( ∣ 2 12 ) ∪ ( ∣ 4 12 ) ∪ ( ∣ 8 12 ) ∣ \left| \left( | \frac{1}{12} \right) \cup \left( | \frac{2}{12} \right) \cup \left( | \frac{4}{12} \right) \cup \left( | \frac{8}{12} \right) \right| (∣121)∪(∣122)∪(∣124)∪(∣128)

P6: 有几种绕法与8是同绕的？
∣ ( ∣ 8 12 ) ∣ \left| \left( | \frac{8}{12} \right) \right| (∣128)

P7: 与8不同绕的绕法能不能绕到8？

有可能，例如2。

P8: 用8最少绕几次能回到起点？
∣ 8 ∣ = 12 ( 12 , 8 ) = 3 |8| = \frac{12}{(12,8)} = 3 ∣8∣=(12,8)12=3

P9: 8能绕到的最小数是多少？
( 12 , 8 ) = 4 (12,8) = 4 (12,8)=4

P10: 8绕多少次能绕到这个最小绕数？

绕2次，为
8 8 0 = 2 \frac{8}{8_0} = 2 808=2

这里的2是3的逆（即阶的逆）。

P11: 8能不能绕到1？

不能，8与12不互质。

P12: 11绕几次能绕到1？

绕11次。全达绕法才有逆。

P13: 哪些绕法能绕到1？
( ∣ 1 12 ) \left( |\frac{1}{12} \right) (∣121)

P14: 为什么建议齿轮间的齿数尽量互质？

因为互质的齿轮可出现两个齿轮状态的任意组合，出现特定状态的概率最低。

P15: 绕法8第一次回到起点后，共绕了几圈？

绕了2圈，即最小盖数
k 1 = k k 0 = 8 ( 12 , 8 ) = 8 4 = 2 k_1 = \frac{k}{k_0} = \frac{8}{(12,8)} = \frac{8}{4} = 2 k1=k0k=(12,8)8=48=2