浅谈约瑟夫环问题

文章目录

[1. 题目内容](#1. 题目内容)
[2. 解题思路](#2. 解题思路)
- [2.1 模拟思路](#2.1 模拟思路)
- - [2.1.1 数组模拟](#2.1.1 数组模拟)
  - [2.1.2 链表模拟](#2.1.2 链表模拟)
- [2.2 递归思路](#2.2 递归思路)
- [2.3 迭代思路](#2.3 迭代思路)

1. 题目内容

2. 解题思路

2.1 模拟思路

题目虽然名为破冰行动 ，但实际上就是约瑟夫环问题 ，找出最后的幸存者。

出局条件清晰，就是依次报数，报到指定数的人出局，然后从下一个人开始继续报数，因此可以模拟整个过程。
约瑟夫环问题，可以通过数组模拟，也可以通过链表模拟，数组模拟的时间复杂度会高于链表------链表时间复杂度在O(n * target) , 数组时间复杂度至少为O(n * target) 。

对于此题而言，由于测试数据量较大，因此模拟思路，即数组或链表模拟，会超时。

2.1.1 数组模拟

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int iceBreakingGame(int num, int target) {
        // 数组实现
        vector<int> arr(num,0);
        int cnt = 0,i = 0,k = 0;
        while(cnt < num) {
            i %= num;
            if(arr[i] == 0) {
                k++;
                if(k == target) {
                    k = 0;
                    arr[i] = 1;
                    cnt++;
                }
            }
            i++;
        }
        return i - 1;
    }
};

2.1.2 链表模拟

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int iceBreakingGame(int num, int target) {
        // 链表实现
        list<int> l;
        for(int i = 0; i < num; i++) {
            l.push_back(i);
        }
        int k = 0;
        auto it = l.begin();
        while(l.size() > 1) {
            k++;
            if(k == target) {
                k = 0;
                it = l.erase(it);
            } else {
                it++;
            }
            if(it == l.end())
                it = l.begin();
        }
        return *it;
    }
};

2.2 递归思路

约瑟夫环问题，之所以可以用递归思路求解，本质因为不同人数下的约瑟夫环问题有关联之处。

假设有N个人，那么从中去除一个人后，从下一个人开始，如果重新编号，那么最终幸存者编号与N - 1个人时情况一定相同(从编号上而言)。换言之，假设知道N - 1个人时，幸存者编号，就一定可以知道，N个人中去除一个人并重新编号后，最终幸存者的编号，而如果我们能够将N个人时，重新编号后得到的幸存者编号，还原回N个人时的原始编号，那么就得到N个人情况下，最终幸存者编号。

所以，依照上述思路，同时利用模运算的相关性质，我们最终可得出如下转移方程(该状态转移方程的起始编号为0，即N人，编号为 0 ~ N - 1；同时，报数，即target，总是从1开始计数)：
F(n) = $(target - 1) % n + 1 + F(n - 1)$ % n

利用模运算的性质，优化后可得：
F(n) = (target + F(n - 1)) % n

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int dfs(int num,int target) {
        if(num == 1)
            return 0;
        return (dfs(num - 1,target) + target) % num;
    }
    int iceBreakingGame(int num, int target) {
        return dfs(num,target);   
    }
};

2.3 迭代思路

迭代思路和递归是相同，本质就是递归和迭代间的转换，递归是自上而下的，而迭代是自下而上的。

在时间复杂度上，二者相同，均为O(n) ；但是空间复杂度，递归由于由栈开销，复杂度为O(n)，迭代则为O(1)。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int iceBreakingGame(int num, int target) {
        int ret = 0;
        for(int i = 2; i <= num; i++) {
            ret = (target + ret) % i;
        }
        return ret;
    }
};