代码随想录算法训练营第四十三天 | 图论理论基础、深搜理论基础、98. 所有可达路径、广搜理论基础

图论理论基础

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大家可以在看图论理论基础的时候，很多内容看不懂，例如也不知道看完之后还是不知道邻接矩阵，邻接表怎么用，别着急。

理论基础大家先对各个概念有个印象就好，后面在刷题的过程中，每个知识点都会得到巩固。

深搜理论基础

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了解一下深搜的原理和过程

98. 所有可达路径

题目链接：98. 可达路径

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重点在图的存储，深搜流程以及打印图三个部分，要弄清楚这三个部分是如何写的。

一、图的存储

在图论理论基础篇中我们讲到了两种图的存储方式：邻接表和邻接矩阵。

本题我们将带大家分别实现这两个图的存储方式。

1.邻接矩阵

邻接矩阵使用二维数组来表示图结构。邻接矩阵是从节点的角度来表示图，有多少节点就申请多大的二维数组。

本题我们会有n 个节点，因为节点标号是从1开始的，为了节点标号和下标对齐，我们申请 n + 1 * n + 1 这么大的二维数组。

cpp 复制代码

vector<vector<int>> graph(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));

输入m个边，构造方式如下：

cpp 复制代码

while (m--) {
    cin >> s >> t;
    // 使用邻接矩阵 ，1 表示 节点s 指向 节点t
    graph[s][t] = 1;
}

2.邻接表

邻接表使用数组 + 链表的方式来表示。邻接表是从边的数量来表示图，有多少边才会申请对应大小的链表。

邻接表的构造相对邻接矩阵难理解一些。

我在图论理论基础篇举了一个例子：

这里表达的图是：

节点1 指向节点3 和节点5
节点2 指向节点4、节点3、节点5
节点3 指向节点4
节点4指向节点1

我们需要构造一个数组，数组里的元素是一个链表。

C++写法：

cpp 复制代码

// 节点编号从1到n，所以申请 n+1 这么大的数组
vector<list<int>> graph(n + 1); // 邻接表，list为C++里的链表

输入m个边，构造方式如下：

cpp 复制代码

while (m--) {
    cin >> s >> t;
    // 使用邻接表 ，表示 s -> t 是相连的
    graph[s].push_back(t);
}

本题我们使用邻接表或者邻接矩阵都可以，因为后台数据并没有对图的大小以及稠密度做很大的区分。

以下我们使用邻接矩阵的方式来讲解，文末我也会给出使用邻接表的整体代码。

注意邻接表和邻接矩阵的写法都要掌握！

二、深度优先搜索

本题是深度优先搜索的基础题目，关于深搜我在图论深搜理论基础已经有详细的讲解，图文并茂。

关于本题我会直接使用深搜三部曲来分析，如果对深搜不够了解，建议先看图论深搜理论基础。

深搜三部曲来分析题目：

1.确认递归函数，参数

首先我们dfs函数一定要存一个图，用来遍历的，需要存一个目前我们遍历的节点，定义为x。

还需要存一个n，表示终点，我们遍历的时候，用来判断当 x==n 时候标明找到了终点。

（其实在递归函数的参数不容易一开始就确定了，一般是在写函数体的时候发现缺什么，参加就补什么）

至于单一路径和路径集合可以放在全局变量，那么代码是这样的：

cpp 复制代码

vector<vector<int>> result; // 收集符合条件的路径
vector<int> path; // 0节点到终点的路径
// x：目前遍历的节点
// graph：存当前的图
// n：终点
void dfs (const vector<vector<int>>& graph, int x, int n) {

2.确认终止条件

什么时候我们就找到一条路径了？

当目前遍历的节点为最后一个节点 n 的时候就找到了一条从出发点到终止点的路径。

cpp 复制代码

// 当前遍历的节点x 到达节点n 
if (x == n) { // 找到符合条件的一条路径
    result.push_back(path);
    return;
}

3.处理目前搜索节点出发的路径

接下来是走当前遍历节点x的下一个节点。

首先是要找到 x节点指向了哪些节点呢？遍历方式是这样的：

cpp 复制代码

for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历节点x链接的所有节点
    if (graph[x][i] == 1) { // 找到 x指向的节点，就是节点i
    }
}

接下来就是将选中的x所指向的节点，加入到单一路径来。

cpp 复制代码

path.push_back(i); // 遍历到的节点加入到路径中来

进入下一层递归

cpp 复制代码

dfs(graph, i, n); // 进入下一层递归

最后就是回溯的过程，撤销本次添加节点的操作。

为什么要有回溯，我在图论深搜理论基础也有详细的讲解。

该过程整体代码：

cpp 复制代码

for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历节点x链接的所有节点
    if (graph[x][i] == 1) { // 找到 x链接的节点
        path.push_back(i); // 遍历到的节点加入到路径中来
        dfs(graph, i, n); // 进入下一层递归
        path.pop_back(); // 回溯，撤销本节点
    }
}

三、打印结果

ACM格式大家在输出结果的时候，要关注看看格式问题，特别是字符串，有的题目说的是每个元素后面都有空格，有的题目说的是每个元素间有空格，最后一个元素没有空格。

有的题目呢，压根没说，那只能提交去试一试了。

很多录友在提交题目的时候发现结果一样，为什么提交就是不对呢。

例如示例输出是：

1 3 5 而不是 1 3 5

即 5 的后面没有空格！

这是我们在输出的时候需要注意的点。

有录友可能会想，ACM格式就是麻烦，有空格没有空格有什么影响，结果对了不就行了？

ACM模式相对于核心代码模式（力扣）更考验大家对代码的掌控能力。例如工程代码里，输入输出都是要自己控制的。这也是为什么大公司笔试，都是ACM模式。

以上代码中，结果都存在了 result数组里（二维数组，每一行是一个结果），最后将其打印出来。（重点看注释）

cpp 复制代码

// 输出结果
if (result.size() == 0) cout << -1 << endl;
for (const vector<int> &pa : result) {
    for (int i = 0; i < pa.size() - 1; i++) { // 这里指打印到倒数第二个
        cout << pa[i] << " ";
    }
    cout << pa[pa.size() - 1]  << endl; // 这里再打印倒数第一个，控制最后一个元素后面没有空格
}

四、本题代码

1.邻接矩阵写法

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<vector<int>> result; // 收集符合条件的路径
vector<int> path; // 1节点到终点的路径

void dfs (const vector<vector<int>>& graph, int x, int n) {
    // 当前遍历的节点x 到达节点n 
    if (x == n) { // 找到符合条件的一条路径
        result.push_back(path);
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历节点x链接的所有节点
        if (graph[x][i] == 1) { // 找到 x链接的节点
            path.push_back(i); // 遍历到的节点加入到路径中来
            dfs(graph, i, n); // 进入下一层递归
            path.pop_back(); // 回溯，撤销本节点
        }
    }
}

int main() {
    int n, m, s, t;
    cin >> n >> m;

    // 节点编号从1到n，所以申请 n+1 这么大的数组
    vector<vector<int>> graph(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));

    while (m--) {
        cin >> s >> t;
        // 使用邻接矩阵 表示无线图，1 表示 s 与 t 是相连的
        graph[s][t] = 1;
    }

    path.push_back(1); // 无论什么路径已经是从0节点出发
    dfs(graph, 1, n); // 开始遍历

    // 输出结果
    if (result.size() == 0) cout << -1 << endl;
    for (const vector<int> &pa : result) {
        for (int i = 0; i < pa.size() - 1; i++) {
            cout << pa[i] << " ";
        }
        cout << pa[pa.size() - 1]  << endl;
    }
}

2.邻接表写法

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
using namespace std;

vector<vector<int>> result; // 收集符合条件的路径
vector<int> path; // 1节点到终点的路径

void dfs (const vector<list<int>>& graph, int x, int n) {

    if (x == n) { // 找到符合条件的一条路径
        result.push_back(path);
        return;
    }
    for (int i : graph[x]) { // 找到 x指向的节点
        path.push_back(i); // 遍历到的节点加入到路径中来
        dfs(graph, i, n); // 进入下一层递归
        path.pop_back(); // 回溯，撤销本节点
    }
}

int main() {
    int n, m, s, t;
    cin >> n >> m;

    // 节点编号从1到n，所以申请 n+1 这么大的数组
    vector<list<int>> graph(n + 1); // 邻接表
    while (m--) {
        cin >> s >> t;
        // 使用邻接表 ，表示 s -> t 是相连的
        graph[s].push_back(t);

    }

    path.push_back(1); // 无论什么路径已经是从0节点出发
    dfs(graph, 1, n); // 开始遍历

    // 输出结果
    if (result.size() == 0) cout << -1 << endl;
    for (const vector<int> &pa : result) {
        for (int i = 0; i < pa.size() - 1; i++) {
            cout << pa[i] << " ";
        }
        cout << pa[pa.size() - 1]  << endl;
    }
}

五、总结

本题是一道简单的深搜题目，也可以说是模板题，和力扣797. 所有可能的路径 (opens new window)思路是一样一样的。

很多录友做力扣的时候，轻松就把代码写出来了，但做面试笔试的时候，遇到这样的题就写不出来了。

在力扣上刷题不用考虑图的存储方式，也不用考虑输出的格式。

而这些都是 ACM 模式题目的知识点（图的存储方式）和细节（输出的格式）

所以我才会特别制作ACM题目，同样也重点去讲解图的存储和遍历方式，来帮大家去练习。

对于这种有向图路径问题，最合适使用深搜，当然本题也可以使用广搜，但广搜相对来说就麻烦了一些，需要记录一下路径。

而深搜和广搜都适合解决颜色类的问题，例如岛屿系列，其实都是遍历+标记，所以使用哪种遍历都是可以的。

至于广搜理论基础，我们在下一篇在好好讲解，敬请期待！

LeetCode深搜理论基础

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这几章都是基础，大家好好看一下就行，后面有题了都会复习到的，不用着急，现在肯定会有不懂的