博弈论 Nim游戏

之前从来没有系统学过博弈论的相关定理，遇到的基本都是从题面中找到相关的规律。在刷牛客tracker的时候遇到了这个问题，总结一下。

经典模型

地上有n堆石子，甲乙两人交替取石子。每人每次可以从任意一堆里面取，但不能不取。最后没有石子可取的人就输了。假如甲先手，且已知每堆石子的数量是 a i a_i ai，问谁会取得获胜？

结论

如果 ( S = a 1 ⊕ a 2 ⊕ ⋯ ⊕ a n ≠ 0 ) (S = a_1 \oplus a_2 \oplus \dots \oplus a_n≠0) (S=a1⊕a2⊕⋯⊕an=0)，则先手必胜

如果 ( S = a 1 ⊕ a 2 ⊕ ⋯ ⊕ a n = 0 ) (S = a_1 \oplus a_2 \oplus \dots \oplus a_n=0) (S=a1⊕a2⊕⋯⊕an=0)，则后手必胜

洛谷有一道板子题，可以直接用结论解决：P2197 【模板】Nim 游戏 - 洛谷

结论的变种

大多数情况都不会直接使用结论，下面说两种简单的变种。

小A取石子

小A取石子_牛客题霸_牛客网

这个题的变化之处在于先手在游戏开始之前可以选择先在某一堆取 k k k个石子。

通过结论我们可以知道：必败态之后一定有必胜态

如果此时的状态本来就是先手胜，可以不进行这个操作
如果此时的状态是后手胜，就需要考虑进行操作
- 如果k=0，无法进行操作，那么会失败
- 如果k>max_element，即k比最大的那一堆都大，也无法操作，失败
- 其他通过操作都能找到必胜态

cpp 复制代码

void solve()
{
	int k;
	cin >> n >> k;
	vector<int> a(n);
	for(auto &i:a) cin >> i;
	int x_or=0;
	for(auto i:a) x_or^=i;
	if(x_or)
	{
		cout << "YES" << endl;
		return ;
	}
	int sum=*max_element(all(a));
	if(!k||k>sum) cout << "NO";
	else cout << "YES";
}

取火柴游戏

P1247 取火柴游戏 - 洛谷

本题不同的是，不仅要判断是否先手必胜，还要给出如果先手必胜的话第一次要取哪一堆的多少个石子

从结论中我们可以得到必胜态之后必为必败态，即达到 X = a 1 ⊕ a 2 ⊕ ⋯ ⊕ a n = 0 X = a_1 \oplus a_2 \oplus \dots \oplus a_n=0 X=a1⊕a2⊕⋯⊕an=0

此时的状态是：
a 1 ⊕ a 2 ⊕ ⋯ ⊕ a n = X a_1 \oplus a_2 \oplus \dots \oplus a_n=X a1⊕a2⊕⋯⊕an=X

我们此时想让它变成必败态，根据异或的交换律：
a 1 ⊕ ( a 2 ⊕ X ) ⊕ ⋯ ⊕ a n = 0 a_1 \oplus (a_2\oplus X) \oplus \dots \oplus a_n=0 a1⊕(a2⊕X)⊕⋯⊕an=0

由于是取走一堆石子之后变成的这样，所以需要 a 2 > a 2 ⊕ X a_2>a_2 \oplus X a2>a2⊕X

题中要求输出的 < b , a > <b,a> <b,a>的字典序尽可能小，其中 b b b是堆数， a a a是取走的石子数。也就是说要选择尽可能靠左的石子堆进行操作。那么我们从前往后遍历，找到符合条件的直接操作就行了。

cpp 复制代码

// Problem: P1247 取火柴游戏
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P1247
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms

void solve()
{
	cin >> n;
	vector<int> a(n);
	int x_or=0;
	for(auto &i:a) cin >> i, x_or^=i;  
	if(x_or)
	{
		for(int i=0; i<n; i++)
		{
			if((a[i]^x_or)<a[i])
			{
				cout << a[i]-(a[i]^x_or) << ' ' << i+1 << endl;
				a[i]=a[i]^x_or;
				break;
			}
		}
		for(int i:a) cout << i << ' ';
	}
	else cout << "lose";
}