基于T矩阵的多结构系统的特征模计算

M. Capek, J. Lundgren, M. Gustafsson, K. Schab and L. Jelinek, "Characteristic Mode Decomposition Using the Scattering Dyadic in Arbitrary Full-Wave Solvers," in IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 71, no. 1, pp. 830-839, Jan. 2023, doi: 10.1109/TAP.2022.3213945.

这篇文章采用的是一种基于独立结构 T 矩阵（Transition Matrix，过渡矩阵）的合成方法，在场域（Field Domain）框架下计算多结构系统的特征模（Characteristic Modes, CM）。

这种方法的核心思想是：不需要对整个复杂系统进行全波仿真，而是利用矢量球面波函数（VSWF）的平移和旋转特性，通过各独立子结构的 T 矩阵和位置关系，合成出总系统的 T 矩阵，进而进行特征模分解。

以下是该方法的详细公式推导过程：

场域特征模理论基础：在场域框架中，特征模是通过对 T 矩阵（或散射矩阵 S）进行特征值分解获得的。基础方程为： ( T + T b † + 2 T T b † ) f n = t n f n (T + T_b^\dagger + 2TT_b^\dagger)f_n = t_n f_n (T+Tb†+2TTb†)fn=tnfn其中 f n f_n fn 是特征辐射场的展开系数， t n t_n tn 是特征值， T T T 是总系统的 T 矩阵， T b T_b Tb 是背景 T 矩阵。如果背景是自由空间， T b = 0 T_b=0 Tb=0，则简化为针对 T T T 的分解。
多结构 T 矩阵的合成推导：文章的核心在于如何从子结构的 T 矩阵（ T p T^p Tp）合成总系统的 T 矩阵（ T T T）。
第一步：单体散射方程。假设系统由 M M M 个结构组成（编号 p = 1 , ... , M p=1, \dots, M p=1,...,M）。对于第 p p p 个结构，在局部坐标系下，其散射系数 f p f^p fp 与入射系数 a p a^p ap 的关系为： f p = T p a p f^p = T^p a^p fp=Tpap第二步：入射场的耦合（平移）。第 p p p 个结构的入射场 a p a^p ap 由两部分组成：外部直接入射场 a a a 转换到局部坐标系的分量（记为 a d p a_d^p adp）。其他所有结构 q q q ( q ≠ p q \neq p q=p) 产生的散射场 f q f^q fq 传播（平移）到结构 p p p 的贡献。利用球面波函数的平移矩阵 Y p q \mathcal{Y}{pq} Ypq，可以表达为： a p = a d p + ∑ q ≠ p M Y p q f q a^p = a_d^p + \sum{q \neq p}^{M} \mathcal{Y}{pq} f^q ap=adp+q=p∑MYpqfq将此代入第一步的散射方程，得到耦合方程： f p = T p a d p + T p ∑ q ≠ p M Y p q f q f^p = T^p a_d^p + T^p \sum{q \neq p}^{M} \mathcal{Y}_{pq} f^q fp=Tpadp+Tpq=p∑MYpqfq第三步：矩阵化表达。将所有 M M M 个结构的方程联立，写成块矩阵形式： f ~ = T ~ a ~ d + T ~ Y ~ f ~ \tilde{f} = \tilde{T}\tilde{a}_d + \tilde{T}\tilde{\mathcal{Y}}\tilde{f} f~=T~a~d+T~Y~f~其中， f ~ \tilde{f} f~ 和 a ~ d \tilde{a}d a~d 是所有子结构系数的堆叠向量。 T ~ = diag ( T 1 , T 2 , ... , T M ) \tilde{T} = \text{diag}(T^1, T^2, \dots, T^M) T~=diag(T1,T2,...,TM) 是对角块矩阵。 Y ~ \tilde{\mathcal{Y}} Y~ 是包含不同结构间平移矩阵 Y p q \mathcal{Y}{pq} Ypq 的全矩阵（对角块为0）。
求解该方程得到局部散射系数 f ~ \tilde{f} f~ ： f ~ = ( 1 − T ~ Y ~ ) − 1 T ~ a ~ d \tilde{f} = (1 - \tilde{T}\tilde{\mathcal{Y}})^{-1} \tilde{T} \tilde{a}_d f~=(1−T~Y~)−1T~a~d第四步：全局 T 矩阵合成。最后，需要将局部散射场 f ~ \tilde{f} f~ 转换回全局坐标系下的总散射场 f f f。引入转换矩阵 R p \mathcal{R}_p Rp（将局部场平移至全局原点），则有： f = R ~ f ~ f = \tilde{\mathcal{R}} \tilde{f} f=R~f~ a ~ d = R ~ t a \tilde{a}_d = \tilde{\mathcal{R}}^t a a~d=R~ta其中 R ~ = [ R 1 , R 2 , ... , R M ] \tilde{\mathcal{R}} = [\mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2, \dots, \mathcal{R}_M] R~=[R1,R2,...,RM]。联立上述方程，对比总系统的定义 f = T a f = Ta f=Ta，得到最终的合成 T 矩阵公式： T = R ~ ( 1 − T ~ Y ~ ) − 1 T ~ R ~ t T = \tilde{\mathcal{R}}(1 - \tilde{T}\tilde{\mathcal{Y}})^{-1}\tilde{T}\tilde{\mathcal{R}}^t T=R~(1−T~Y~)−1T~R~t3. 计算优化：分解平移过程。为了高效计算上述公式中的平移矩阵 Y \mathcal{Y} Y（通常计算量很大），文章提出将其分解为三个子步骤：旋转 -> Z轴平移 -> 逆旋转。公式为： Y ( k d ) = D t Y z ( k d ) D \mathcal{Y}(kd) = \mathcal{D}^t \mathcal{Y}^z(kd) \mathcal{D} Y(kd)=DtYz(kd)D D \mathcal{D} D 是旋转矩阵，将任意方向的平移问题旋转到 Z 轴方向。 Y z ( k d ) \mathcal{Y}^z(kd) Yz(kd) 是沿 Z 轴的平移矩阵，计算非常简单且高效。这种方法极大地提高了计算效率（例如将计算时间从30秒降低到1.2秒）。

总结：该方法通过公式 T = R ~ ( 1 − T ~ Y ~ ) − 1 T ~ R ~ t T = \tilde{\mathcal{R}}(1 - \tilde{T}\tilde{\mathcal{Y}})^{-1}\tilde{T}\tilde{\mathcal{R}}^t T=R~(1−T~Y~)−1T~R~t，利用独立计算的子结构 T 矩阵和几何位置信息（平移/旋转矩阵），快速合成了整个系统的 T 矩阵，从而能够高效地进行特征模分析，特别适合阵列天线等复杂多结构系统。