一 真题2009-41
2009-41题. （10分）带权图（权值非负，表示边连接的两顶点间的距离）的最短路径问题是找出从初始顶点到目标顶点之间的一条最短路径。假设从初始顶点到目标顶点之间存在路径，现有一种解决该问题的方法：
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设最短路径初始时仅包含初始顶点，令当前顶点u为初始顶点；
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选择离u最近且尚未在最短路径中的一个顶点v,加入最短路径中，修改当前顶点u=v;
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重复步骤2,直到u是目标顶点时为止。
请问上述方法能否求得最短路径？若该方法可行，请证明之；否则，请举例说明。
二 题目要素解析
场景： 带权图的单源最短路径问题。
核心概念：
- 贪心算法：每一步都做出局部最优的选择。
- Dijkstra 算法：全局贪心，每次从未确定顶点中选出到源点距离最短的点。
- 题目算法 ：局部贪心，每次从当前顶点 出发，选择直接相邻且最近的未访问点。
求： 该方法是否正确？
核心考点： 最短路径算法的正确性判断，考察对 Dijkstra 算法与 "贪心策略陷阱" 的理解。
三 哔哔详解
这道题考察的是对算法逻辑的严密分析能力。很多同学乍一看觉得像 Dijkstra 算法，但其实两者有本质区别。
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分析算法逻辑：
- 题目中的算法是一种 "最邻近点优先" 的策略。
- 它的逻辑是："走一步看一步，每次只走离我现在位置最近的路"。
- 这是一种短视的贪心。它没有考虑到 "虽然下一步路远一点，但后面的路会非常近" 的情况。
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Dijkstra 算法的逻辑（对比）：
- Dijkstra 算法每次选的是 "从源点出发，目前已知距离最短" 的点（可能是经过多步跳转的）。
- Dijkstra 是全局 最优，而题目算法是局部最优。
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构造反例：
- 我们需要构造一个图，使得 "走最近的一步" 反而导致 "总路程变长"。
反例如下：
- 顶点： A（源点），B（中间点），C（目标点）。
- 边权：
- A -> B：长度为 1。
- B -> C：长度为 100。
- A -> C：长度为 10。
执行题目算法：
- 起点 A。
- 看 A 的邻居：B (1) 和 C (10)。
- 选择最近的 B。
- 到达 B，此时 B 是当前顶点。
- 看 B 的邻居：C (100)。
- 选择 C。
- 总路径： A -> B -> C，总长度 = 1 + 100 = 101。
实际最短路径：
- 直接走 A -> C，总长度 = 10。
结论： 101 > 10，算法求得的不是最短路径。
四 参考答案
该方法不能求得最短路径。
举例说明如下：
假设有带权无向图 G=(V,E)，其中顶点集 V={A,B,C}，边集 E={(A,B,1),(B,C,100),(A,C,10)}。
设初始顶点为 A，目标顶点为 C。
- 按照题目方法执行：
- 初始时，路径为 {A}，当前顶点 u=A。
- 考察 A 的邻接点：B（距离 1）和 C（距离 10）。
- 选择离 A 最近的顶点 B 加入路径。路径变为 {A,B}，当前顶点 u=B。
- 考察 B 的邻接点（未在路径中的）：C（距离 100）。
- 选择 C 加入路径。路径变为 {A,B,C}。
- 此时 u 是目标顶点，算法结束。
- 求得路径长度为 1+100=101。
- 实际最短路径：
- 直接从 A 到 C，路径长度为 10。
由于 101不等于10，因此该方法不能保证求得最短路径。
五 考点精析
5.1 贪心算法（Greedy Algorithm）
1 概念
贪心算法是一种在每一步都做出局部最优选择，从而希望最终得到全局最优解的算法策略。
2 核心思想
- 每一步选 "看起来最好" 的
- 不回溯、不后悔
- 只考虑当前，不考虑全局
3 特点
- 简单、高效
- 不一定能得到全局最优解
- 只有问题具有 "贪心选择性质" 和 "最优子结构" 时才正确
4 典型应用
- 活动选择问题
- 哈夫曼编码
- 最小生成树（Prim、Kruskal）
- 部分背包问题
5.2 Dijkstra 算法
1 概念
Dijkstra 算法是一种求解带权图中单源最短路径的经典算法。
2 核心思想
- 从源点出发，每次选择当前已知距离源点最近的未确定顶点
- 将其加入 "已确定最短路径集合"
- 然后更新其邻接点的距离
- 重复直到所有顶点处理完毕
3 特点
- 基于贪心策略，但能保证得到全局最优解
- 要求边权非负
- 时间复杂度：O (V²) 或 O (E log V)（用堆优化）
4 本质
Dijkstra = 贪心 + 最优子结构 + 动态规划思想的特例
5.3 两者区别
| 维度 | 贪心算法（泛指） | Dijkstra 算法 |
|---|---|---|
| 范畴 | 一类算法设计策略 | 一个具体算法 |
| 决策依据 | 通常基于局部信息（如当前点的邻居） | 基于全局已知的最短估计（所有未访问点中最小） |
| 是否回溯 | 不回溯（一旦选择，永不更改） | 不回溯，但通过松弛操作动态更新估计值 |
| 适用范围 | 仅对满足贪心选择性质的问题有效 | 仅适用于非负权图的单源最短路径 |
| 反例存在性 | 很多问题贪心失败（如本题 2009-41） | 在非负权图中总能得到最优解 |
5.4 高频考点辨析
| 问题 | 正确认知 |
|---|---|
| "Dijkstra 是贪心算法吗？" | ✅ 是，但属于有全局信息支撑的贪心 |
| "所有贪心都能解最短路径？" | ❌ 否，仅当图满足特殊结构（如树）时可能成立 |
| "Dijkstra 能处理负权边吗？" | ❌ 不能（会破坏贪心选择的正确性） |
| "Prim 和 Dijkstra 形式相似，有何区别？" | Prim：选到集合最近的点；Dijkstra：选从源点最近的点 |
六 考点跟踪
| 年份 | 题号 | 考查内容 | CSDN 参考链接 | VX参考链接 |
|---|---|---|---|---|
| 2009 | 第41题 | 贪心算法 | ||
| 2012 | 第7题 | Dijkstra | ||
| 2018 | 第42题 | Dijkstra | ||
| 2021 | 第8题 | Dijkstra |
说明 ：本文内容基于公开资料整理，参考了包括但不限于《数据结构》（严蔚敏）、《计算机操作系统》（汤小丹）、《计算机网络》（谢希仁）、《计算机组成原理》（唐朔飞）等国内高校经典教材，以及其他国际权威著作。同时，借鉴了王道、天勤、启航等机构出版的计算机专业考研辅导系列丛书 中的知识体系框架与典型题型分析思路。文中所有观点、例题解析及文字表述均为作者结合自身理解进行的归纳与重述，未直接复制任何出版物原文。内容仅用于学习交流，若有引用不当或疏漏之处，敬请指正。