CF2138C1-Maple and Tree Beauty (Easy Version)
CF2138C2-Maple and Tree Beauty (Hard Version)
题目大意
给你一棵根为 1 1 1 的树，树上每个结点都可以被设置为 0 0 0 或 1 1 1 ，现在给你 k k k 个 0 0 0 。对于每个叶子节点有一个对应的字符串，字符串由根到叶子结点的简单路径的 01 01 01 值拼成， S s o n = S f a + w s o n S_{son}=S_{fa}+w_{son} Sson=Sfa+wson 。
求所有叶子字符串的最长公共子序列长度。
题解
这道题由 e z v e r s i o n ezversion ezversion 和 h d v e r s i o n hdversion hdversion 组成。
考虑极端情况，字符串的最长公共子序列长度最大为深度最小的叶节点的深度 ， m i n l e a f d e p minleafdep minleafdep。
对于该深度上的每一行，我们尽可能的让每一行的数都一样。而此深度下的数根本无所谓。我们贪心的从上到下尽可能的让每一行数字都一样，你会发现只有到 m i n l e a f d e p minleafdep minleafdep 层时才会无法满足。所以答案一定在 minleafdep,minleafdep-1 之中。
我们统计 m i n l e a f d e p minleafdep minleafdep 之上每一层的节点数，那么问题就变成了你可以选一些层染黑，问能否恰好选出 k k k 个节点。
很显然可以背包，时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=2e5+5;
int n,k,dep[N],son[N];
vector<int> e[N];
int cnt[N];
bitset<N> dp;
void solve(){
cin>>n>>k;
fill(son+1,son+n+1,1);
fill(cnt+1,cnt+n+1,0);
dp.reset();
fill(dep+1,dep+n+1,0);
dep[1]=1;cnt[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
int f;cin>>f;
dep[i]=dep[f]+1;
son[f]=0;
cnt[dep[i]]++;
}
int md=1e9;
for(int i=1;i<=n;i++) if(son[i]) md=min(md,dep[i]);
dp[0]=1;
int sum=0;
for(int i=1;i<=md;i++){
sum+=cnt[i];
for(int j=sum-cnt[i];j>=0;j--) dp[j+cnt[i]]=dp[j+cnt[i]]|dp[j];
}
if(sum<=max(k,n-k)){
cout<<md<<endl;
return;
}
for(int i=0;i<=sum;i++){
if(dp[i]&&i<=k&&sum-i<=n-k){
cout<<md<<endl;
return;
}
}
cout<<md-1<<endl;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
int T;cin>>T;while(T--) solve();
return 0;
}对于 e z v e r s i o n ezversion ezversion 上面的思路足够了。但是对于 h d v e r s i o n hdversion hdversion 我们还需要进行优化。
注意到上文中的代码有一句 for(int j=sum-cnt[i];j>=0;j--) dp[j+cnt[i]]=dp[j+cnt[i]]|dp[j];（即背包的转移），且这是整个代码的复杂度瓶颈，所以考虑优化这句。
可以发现上面的代码中我们使用了 b i t s e t bitset bitset 来存储 d p dp dp 状态。理解一下，注意到这句话就是将整个 d p dp dp 数组在二进制意义下左移 c n t i cnt_i cnti 位，然后再按位或上原来的 d p dp dp 数组，等价于 dp|=(dp<<cnt[i]);。
时间复杂度降为 O ( n 2 / w ) O(n²/w) O(n2/w)
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=2e5+5;
int n,k,dep[N],son[N];
vector<int> e[N];
int cnt[N];
bitset<N> dp;
void solve(){
cin>>n>>k;
fill(son+1,son+n+1,1);
fill(cnt+1,cnt+n+1,0);
dp.reset();
fill(dep+1,dep+n+1,0);
dep[1]=1;cnt[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
int f;cin>>f;
dep[i]=dep[f]+1;
son[f]=0;
cnt[dep[i]]++;
}
int md=1e9;
for(int i=1;i<=n;i++) if(son[i]) md=min(md,dep[i]);
dp[0]=1;
int sum=0;
for(int i=1;i<=md;i++){
dp|=(dp<<cnt[i]);
sum+=cnt[i];
}
if(sum<=max(k,n-k)){
cout<<md<<endl;
return;
}
for(int i=0;i<=sum;i++){
if(dp[i]&&i<=k&&sum-i<=n-k){
cout<<md<<endl;
return;
}
}
cout<<md-1<<endl;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
int T;cin>>T;while(T--) solve();
return 0;
}