2025年数学建模美赛C题解读

问题背景：

在2024年巴黎夏季奥运会中，美国以126枚奖牌总数位居榜首，中国与美国均获得40枚金牌并列金牌榜第一；东道主法国金牌数排名第5，但奖牌总数排名第4，英国金牌数排名第7，奖牌总数却排名第3。同时，阿尔巴尼亚、佛得角、多米尼克和圣卢西亚在本届奥运会上赢得了各自国家的首枚奥运奖牌，其中多米尼克和圣卢西亚还各收获一枚金牌，但仍有60多个国家从未获得过奥运奖牌。通常奥运奖牌数的预测多在临近赛事、已知参赛运动员信息时进行，而非基于历史奖牌数据。本次提供了所有夏季奥运会的奖牌榜、主办国、各届赛事按运动项目划分的赛事数量，以及所有参赛运动员的项目和获奖情况（奖牌类型或无奖牌）等数据，要求仅使用提供的数据集进行建模与分析，可借助额外资源补充背景、解读结果，但需注明来源。同时需注意：数据中的国家名称由国际奥委会在对应赛事时期记录，可能存在变更；运动员数据集中部分团队信息包含额外细节（如德国 - 1代表2000年奥运会德国的第一支沙滩排球队），数据处理的决策与假设是建模的重要部分。此外，还提供了相关术语定义：国际奥委会（IOC）是奥林匹克运动会和奥林匹克运动的国际非政府体育管理机构，负责组织夏季和冬季奥运会；项目（Programme）是国际奥委会为每届奥运会制定的所有体育竞赛项目；SDE指运动（Sport）、分项（Discipline）或赛事（Event）；运动是由单一国际体育联合会（IF）管理的分项，一项运动可包含多个分项，每个分项对应一个或多个赛事；分项是运动的一个分支，包含一个或多个赛事；赛事是分项内的竞赛，会产生排名和奖项（如奖牌）。

表格数据：

表1：2024年巴黎奥运会奖牌榜金牌前7国家

国家	金牌	银牌	铜牌	总数
美国	40	44	42	126
中国	40	27	24	91
日本	20	12	13	45
澳大利亚	18	19	16	53
法国	16	26	22	64
荷兰	15	7	12	34
英国	14	22	29	65

表2：summerOly_medal_counts.csv变量说明

变量	说明	示例
Rank	国家按奖牌总数的排名	1, 2
NOC	对应奥运会记录的国家名称	China, France
Gold	国家获得的金牌数	0, 1, 2
Silver	国家获得的银牌数	0, 1, 2
Bronze	国家获得的铜牌数	0, 1, 2
Total	国家获得的奖牌总数	0, 1, 2
Year	奥运会举办年份	1896, 1900

表3：summerOly_hosts.csv变量说明

变量	说明	示例
Year	奥运会举办年份	1896, 1900
Host	奥运会举办地（城市，国家）	圣路易斯，美国

表4：summerOly_programs.csv变量说明

变量	说明	示例
Sport	运动类别	水上运动，自行车运动
Discipline	运动类别下的分项	花样游泳，跳水
Code	分项代码	SWA, DIV
Year	对应年份该分项的赛事数量	0, 1

表5：summerOly_athletes.csv变量说明

变量	说明	示例
Name	运动员姓名	蔡赟，卡尔·刘易斯
Sex	运动员性别	女，男
Team	奥运会记录的代表国家	中国，法国
NOC	国家代码	CHN, FRA
Year	奥运会举办年份	1896, 1900
Season	奥运会类型	夏季
City	奥运会举办城市	北京，巴黎
Sport	运动类别	水上运动，自行车运动
Event	运动项目内的具体赛事	体操男子吊环
Medal	获得的奖牌情况	未获奖牌，金牌

问题一：

构建一个各国奖牌数量预测模型（至少涵盖金牌数与奖牌总数）。模型需包含预测结果的不确定性 / 精确度估算，以及模型拟合优度的衡量指标。 - 基于该模型，预测 2028 年美国洛杉矶夏季奥运会的奖牌榜排名。为所有预测结果提供预测区间。指出哪些国家的奖牌成绩最有可能提升，哪些国家将较 2024 年奥运会表现下滑？ - 模型需纳入尚未获得过奥运奖牌的国家：预测有多少这类国家将在下次奥运会上赢得首枚奖牌？请给出该估算结果的概率分析。 - 模型还需考量特定奥运会的赛事设置（数量及类型）。探究赛事设置与各国奖牌数之间的关联：哪些运动项目对不同国家的奖牌争夺最为关键？原因是什么？东道主国家的赛事项目选择会如何影响奥运会的最终成绩？

问题二：

运动员可以代表不同国家参赛，但受国籍限制，其国籍转换并非易事。而教练员的流动则更为灵活 ------ 执教无需受国籍身份约束，因此存在"优秀教练效应"的可能性。典型案例包括：曾带领美国和中国排球队均斩获冠军的郎平，以及曾执教罗马尼亚和美国女子体操队并取得辉煌成绩、同时颇具争议的体操教练贝拉・卡罗利。请通过数据分析，寻找可佐证 "优秀教练效应" 引发成绩变动的证据。估算该效应对各国奖牌数量的贡献度，并选取三个国家，明确它们应重点引入金牌教练的运动项目，同时预估此举能带来的成绩提升效果。

问题三：

你的模型还揭示了哪些关于奥运奖牌数量的创新性独到见解？请阐述这些见解可为各国奥委会提供哪些决策参考。

问题一的核心需求与实现关键

1. 核心需求

构建一个以国家--年份为单元的奖牌数量预测模型，能够同时给出各国在 t pred = 2028 t_{\text{pred}}=2028 tpred=2028 年的金牌数 G c , 2028 G_{c,2028} Gc,2028 和奖牌总数 T c , 2028 T_{c,2028} Tc,2028 的期望预测值及预测区间，用以刻画预测结果及其不确定性，并给出模型在历史数据上的拟合优度指标（如 R M S E G , R M S E T , R G 2 , R T 2 RMSE_G,RMSE_T,R^2_G,R^2_T RMSEG,RMSET,RG2,RT2）。
基于该模型的预测结果，生成 2028 年洛杉矶奥运会完整奖牌榜排名 R c , 2028 R_{c,2028} Rc,2028，评估各国相较 2024 年的成绩变动概率（如 P ( T c , 2028 > T c , 2024 ) P(T_{c,2028}>T_{c,2024}) P(Tc,2028>Tc,2024)），从而识别最有可能成绩提升或下滑的国家。
在建模中同时纳入截至 t last = 2024 t_{\text{last}}=2024 tlast=2024 仍无奖牌的国家集合 C 0 \mathcal{C}0 C0，估计这些国家在 2028 年首次获得奖牌的概率 p c , 2028 p{c,2028} pc,2028，并推导首次获奖国家数量 N new N_{\text{new}} Nnew 的概率分布。
将赛事设置（各运动 s s s、分项 d d d 的赛事数量 E t , s , d E_{t,s,d} Et,s,d）以及东道主效应 H c , t H_{c,t} Hc,t 纳入模型，定量识别各运动项目对各国奖牌数的关键程度（系数 δ s \delta_s δs 等）及不同赛事设置方案下东道主美国奖牌数的变化。

2. 实现关键

2.1 约束条件

奖牌计数非负整数约束：所有国家在任一届奥运会上的金牌、银牌、铜牌和奖牌总数均为非负整数，反映奖牌的计数属性。

G c , t , S c , t , B c , t , T c , t ∈ Z ≥ 0 . G_{c,t},\,S_{c,t},\,B_{c,t},\,T_{c,t}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}. Gc,t,Sc,t,Bc,t,Tc,t∈Z≥0.

该约束保证了模型输出与实际奖牌记分规则一致。
奖牌总数分解约束：奖牌总数等于金牌、银牌和铜牌三类奖牌之和，是奖牌统计口径一致性的基础。

T c , t = G c , t + S c , t + B c , t . T_{c,t}=G_{c,t}+S_{c,t}+B_{c,t}. Tc,t=Gc,t+Sc,t+Bc,t.

该式用于在建模与预测时保持各类奖牌与总奖牌数量之间的严格对应关系。
未获奖国家历史零奖牌约束：对尚无奖牌国家集合 C 0 \mathcal{C}_0 C0，在最新一届已观测奥运会之前，其历届奖牌总数恒为零。

∀ c ∈ C 0 , ∀ t ≤ t last : T c , t = 0. \forall c\in\mathcal{C}0,\ \forall t\le t{\text{last}}:\ T_{c,t}=0. ∀c∈C0, ∀t≤tlast: Tc,t=0.

该约束为首次获奖概率建模提供了清晰的历史基线。
预测年份固定约束：本题关注的预测年份为 2028 年洛杉矶奥运会，预测年份为常数。

t pred = 2028. t_{\text{pred}}=2028. tpred=2028.

该约束将模型的外推时间点固定在 2028 年，便于后续构造针对性的预测指标。
赛事总数分解约束：每届奥运会的赛事总数由所有运动和分项的赛事数量求和得到。

E t = ∑ s , d E t , s , d . E_t=\sum_{s,d}E_{t,s,d}. Et=s,d∑Et,s,d.

该式将分项级别的信息汇聚为年度赛事容量，用于约束奖牌总量上限及解释变量构建。
奖牌容量上界约束：同一届奥运会中，每项赛事最多产生三枚奖牌，因此任一国家的奖牌总数不超过总容量。

0 ≤ T c , t ≤ 3 E t . 0\le T_{c,t}\le 3E_t. 0≤Tc,t≤3Et.

该约束在模型估计与模拟中保证预测值不会超过物理上限。
金牌数量与赛事数量一致约束：在理想无并列金牌情况下，全体国家金牌数之和等于当届赛事总数。

∑ c G c , t = E t . \sum_c G_{c,t}=E_t. c∑Gc,t=Et.

该关系反映了赛事--金牌之间的一一对应结构，为金牌数预测提供整体约束。
东道主唯一性与二元性约束：每届奥运会至多有一个东道主，东道主指示变量为 0/1 型。

H c , t ∈ { 0 , 1 } , ∑ c H c , t ≤ 1. H_{c,t}\in\{0,1\},\qquad \sum_c H_{c,t}\le 1. Hc,t∈{0,1},c∑Hc,t≤1.

该约束确保东道主效应在建模中不会被多国共享，从而使参数 γ \gamma γ 的含义清晰。
获奖概率取值范围约束：各国在任一届奥运会至少获得一枚奖牌的概率为介于 0 与 1 之间的概率型变量。

0 ≤ p c , t ≤ 1. 0\le p_{c,t}\le 1. 0≤pc,t≤1.

该约束用于规范未获奖国家获奖概率模型与 N new N_{\text{new}} Nnew 分布的取值范围。
预测区间包含期望值约束：给定置信水平下的预测区间必须包含对应的预测期望值。

L c , t G ≤ μ c , t G ≤ U c , t G , L c , t T ≤ μ c , t T ≤ U c , t T . L^G_{c,t}\le \mu^G_{c,t}\le U^G_{c,t},\qquad L^T_{c,t}\le \mu^T_{c,t}\le U^T_{c,t}. Lc,tG≤μc,tG≤Uc,tG,Lc,tT≤μc,tT≤Uc,tT.

该条件保证区间不确定性描述是围绕点预测对称或至少覆盖点预测的。
排名与奖牌总数单调性约束：在同一年份中，奖牌总数越多，名次值越小（名次越靠前）。

T c , t > T c ′ , t ⇒ R c , t < R c ′ , t . T_{c,t}>T_{c',t}\Rightarrow R_{c,t}<R_{c',t}. Tc,t>Tc′,t⇒Rc,t<Rc′,t.

该约束将连续变量 T c , t T_{c,t} Tc,t 与离散名次 R c , t R_{c,t} Rc,t 的对应关系形式化，便于从预测奖牌数推导排名。
拟合误差非负性约束：以均方根误差衡量的拟合偏差必然非负。

R M S E G ≥ 0 , R M S E T ≥ 0. RMSE_G\ge 0,\qquad RMSE_T\ge 0. RMSEG≥0,RMSET≥0.

该约束确保误差指标在数值上符合统计定义，不会出现非法取值。

2.2 数学模型核心公式框架

奖牌总数 Poisson 回归模型：将各国奖牌总数视为由时间趋势、东道主效应及赛事设置共同驱动的计数过程，采用对数链接的 Poisson 回归刻画条件分布。

T c , t ∣ μ c , t T ∼ Poisson ( μ c , t T ) , log ⁡ μ c , t T = α c + β c ( t − t 0 ) + γ H c , t + ∑ s δ s E t , s + ϵ c , t , T_{c,t}\mid \mu^T_{c,t}\sim \text{Poisson}(\mu^T_{c,t}),\qquad \log \mu^T_{c,t}=\alpha_c+\beta_c(t-t_0)+\gamma H_{c,t}+\sum_s\delta_s E_{t,s}+\epsilon_{c,t}, Tc,t∣μc,tT∼Poisson(μc,tT),logμc,tT=αc+βc(t−t0)+γHc,t+s∑δsEt,s+ϵc,t,

其中 t 0 t_0 t0 为参考年份， E t , s = ∑ d E t , s , d E_{t,s}=\sum_d E_{t,s,d} Et,s=∑dEt,s,d 为运动 s s s 在年份 t t t 的赛事数； α c \alpha_c αc 反映国家基准实力， β c \beta_c βc 描述随时间的趋势， γ \gamma γ 为东道主奖牌增量， δ s \delta_s δs 捕捉赛事设置对奖牌总数的影响， ϵ c , t \epsilon_{c,t} ϵc,t 为随机扰动项。该模型是后续所有预测与效应分解的核心框架。
金牌数与奖牌总数的联合建模：在已有奖牌总数模型基础上，引入国家级金牌占比参数，将金牌期望建模为奖牌总数的比例。

μ c , t G = π c μ c , t T , 0 ≤ π c ≤ 1. \mu^G_{c,t}=\pi_c\,\mu^T_{c,t},\qquad 0\le \pi_c\le 1. μc,tG=πcμc,tT,0≤πc≤1.

其中 π c \pi_c πc 代表国家 c c c 的"金牌化程度"，可由历史上 G c , t / T c , t G_{c,t}/T_{c,t} Gc,t/Tc,t 的平均水平估计，从而在不显著增加参数的前提下，将总奖牌预测转化为金牌预测。
2028 年奖牌数与金牌数预测及区间构造 ：在给定估计参数的情况下，将年份 t t t 取为 t pred = 2028 t_{\text{pred}}=2028 tpred=2028，得到各国预测期望与标准差，并构造正态近似预测区间。

T c , 2028 ≈ N ( μ c , 2028 T , ( σ c , 2028 T ) 2 ) , G c , 2028 ≈ N ( μ c , 2028 G , ( σ c , 2028 G ) 2 ) , T_{c,2028}\approx \mathcal{N}\big(\mu^T_{c,2028},(\sigma^T_{c,2028})^2\big),\qquad G_{c,2028}\approx \mathcal{N}\big(\mu^G_{c,2028},(\sigma^G_{c,2028})^2\big), Tc,2028≈N(μc,2028T,(σc,2028T)2),Gc,2028≈N(μc,2028G,(σc,2028G)2),

对于给定置信水平 1 − α 1-\alpha 1−α，预测区间可表示为
$L c , 2028 T , U c , 2028 T \] = \[ μ c , 2028 T − z 1 − α / 2 σ c , 2028 T , μ c , 2028 T + z 1 − α / 2 σ c , 2028 T \] , \[L\^T_{c,2028},U\^T_{c,2028}\]=\\big\[\\mu\^T_{c,2028}-z_{1-\\alpha/2}\\sigma\^T_{c,2028},\\ \\mu\^T_{c,2028}+z_{1-\\alpha/2}\\sigma\^T_{c,2028}\\big\], \[Lc,2028T,Uc,2028T\]=\[μc,2028T−z1−α/2σc,2028T, μc,2028T+z1−α/2σc,2028T\], \[ L c , 2028 G , U c , 2028 G \] = \[ μ c , 2028 G − z 1 − α / 2 σ c , 2028 G , μ c , 2028 G + z 1 − α / 2 σ c , 2028 G \] , \[L\^G_{c,2028},U\^G_{c,2028}\]=\\big\[\\mu\^G_{c,2028}-z_{1-\\alpha/2}\\sigma\^G_{c,2028},\\ \\mu\^G_{c,2028}+z_{1-\\alpha/2}\\sigma\^G_{c,2028}\\big\], \[Lc,2028G,Uc,2028G\]=\[μc,2028G−z1−α/2σc,2028G, μc,2028G+z1−α/2σc,2028G\], 其中 z 1 − α / 2 z_{1-\\alpha/2} z1−α/2 为标准正态分位数；上述区间用于刻画预测不确定性并满足预测区间包含期望值的约束。$
R c , 2028 = 1 + ∑ c ′ ≠ c 1 ( μ c ′ , 2028 T > μ c , 2028 T ) , R_{c,2028}=1+\sum_{c'\neq c}\mathbf{1}\big(\mu^T_{c',2028}>\mu^T_{c,2028}\big), Rc,2028=1+c′=c∑1(μc′,2028T>μc,2028T),

其中 1 ( ⋅ ) \mathbf{1}(\cdot) 1(⋅) 为指示函数；该定义保证预测名次与预测奖牌总数严格单调对应，用于生成 2028 年奖牌榜。
成绩提升/下滑概率计算：将 2028 年奖牌总数与 2024 年实测值之差视为近似正态分布，计算成绩提升概率。

Δ T c = T c , 2028 − T c , 2024 ≈ N ( μ c , 2028 T − T c , 2024 , ( σ c , 2028 T ) 2 ) , \Delta T_c=T_{c,2028}-T_{c,2024}\approx \mathcal{N}\big(\mu^T_{c,2028}-T_{c,2024},(\sigma^T_{c,2028})^2\big), ΔTc=Tc,2028−Tc,2024≈N(μc,2028T−Tc,2024,(σc,2028T)2),

P ( T c , 2028 > T c , 2024 ) = P ( Δ T c > 0 ) = Φ ( μ c , 2028 T − T c , 2024 σ c , 2028 T ) , P\big(T_{c,2028}>T_{c,2024}\big)=P(\Delta T_c>0)=\Phi\left(\frac{\mu^T_{c,2028}-T_{c,2024}}{\sigma^T_{c,2028}}\right), P(Tc,2028>Tc,2024)=P(ΔTc>0)=Φ(σc,2028Tμc,2028T−Tc,2024),

其中 Φ ( ⋅ ) \Phi(\cdot) Φ(⋅) 为标准正态分布函数；同理可得 P ( G c , 2028 > G c , 2024 ) P(G_{c,2028}>G_{c,2024}) P(Gc,2028>Gc,2024)，从而为识别成绩最有可能提升或下滑的国家提供概率量化依据。
未获奖国家获奖概率模型与首次获奖数量分布 ：针对 C 0 \mathcal{C}_0 C0 中的国家，构建以参赛规模和东道主身份等为解释变量的逻辑回归模型，给出至少获得一枚奖牌的概率。

logit ( p c , t ) = θ 0 + θ 1 log ⁡ ( 1 + A c , t ) + θ 2 H c , t + ∑ s θ 3 , s 1 ( T c , t , s > 0 ) , \text{logit}(p_{c,t})=\theta_0+\theta_1\log\big(1+A_{c,t}\big)+\theta_2 H_{c,t}+\sum_s\theta_{3,s}\,\mathbf{1}(T_{c,t,s}>0), logit(pc,t)=θ0+θ1log(1+Ac,t)+θ2Hc,t+s∑θ3,s1(Tc,t,s>0),

其中 logit ( x ) = log ⁡ x 1 − x \text{logit}(x)=\log\frac{x}{1-x} logit(x)=log1−xx， A c , t A_{c,t} Ac,t 为参赛人数， 1 ( T c , t , s > 0 ) \mathbf{1}(T_{c,t,s}>0) 1(Tc,t,s>0) 表示国家 c c c 在年份 t t t 是否在运动 s s s 上已有历史参与。定义

Z c , 2028 ∣ p c , 2028 ∼ Bernoulli ( p c , 2028 ) , N new = ∑ c ∈ C 0 Z c , 2028 , Z_{c,2028}\mid p_{c,2028}\sim \text{Bernoulli}(p_{c,2028}),\qquad N_{\text{new}}=\sum_{c\in\mathcal{C}0}Z{c,2028}, Zc,2028∣pc,2028∼Bernoulli(pc,2028),Nnew=c∈C0∑Zc,2028,

在假设条件独立的前提下， N new N_{\text{new}} Nnew 服从 Poisson--Binomial 分布，其期望与方差可由 { p c , 2028 } \{p_{c,2028}\} {pc,2028} 封闭表示，用于描述"首次获奖国家数量"的不确定性。
赛事设置与项目层面奖牌分解模型：在运动--国家--年份层面，将奖牌总数按运动项目进行分解，并通过赛事数量刻画不同项目的"奖牌承载能力"。

T c , t = ∑ s T c , t , s , T c , t , s ∣ λ c , t , s ∼ Poisson ( λ c , t , s ) , T_{c,t}=\sum_s T_{c,t,s},\qquad T_{c,t,s}\mid \lambda_{c,t,s}\sim \text{Poisson}(\lambda_{c,t,s}), Tc,t=s∑Tc,t,s,Tc,t,s∣λc,t,s∼Poisson(λc,t,s),

log ⁡ λ c , t , s = α c , s + β c , s ( t − t 0 ) + δ s log ⁡ ( 1 + E t , s ) + γ s H c , t , \log \lambda_{c,t,s}=\alpha_{c,s}+\beta_{c,s}(t-t_0)+\delta_s\log\big(1+E_{t,s}\big)+\gamma_s H_{c,t}, logλc,t,s=αc,s+βc,s(t−t0)+δslog(1+Et,s)+γsHc,t,

其中 α c , s , β c , s \alpha_{c,s},\beta_{c,s} αc,s,βc,s 捕捉国家在项目 s s s 上的基线及趋势， δ s \delta_s δs 表示项目 s s s 的赛事数量变化对奖牌数的弹性， γ s \gamma_s γs 描述东道主在该项目上的额外优势。通过估计 δ s \delta_s δs 及其不确定性，可定量识别对各国最关键的运动项目，并支持对美国不同赛事设置方案的情景分析。
模型拟合优度与不确定性评估指标：利用历史数据计算预测残差的均方根误差与决定系数，用于评价模型解释能力与预测精度。

R M S E T = 1 N ∑ c , t ( T c , t − μ c , t T ) 2 , R M S E G = 1 N ∑ c , t ( G c , t − μ c , t G ) 2 , RMSE_T=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{c,t}\big(T_{c,t}-\mu^T_{c,t}\big)^2},\qquad RMSE_G=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{c,t}\big(G_{c,t}-\mu^G_{c,t}\big)^2}, RMSET=N1c,t∑(Tc,t−μc,tT)2 ,RMSEG=N1c,t∑(Gc,t−μc,tG)2 ,

R T 2 = 1 − ∑ c , t ( T c , t − μ c , t T ) 2 ∑ c , t ( T c , t − T ˉ ) 2 , R G 2 = 1 − ∑ c , t ( G c , t − μ c , t G ) 2 ∑ c , t ( G c , t − G ˉ ) 2 , R^2_T=1-\frac{\sum_{c,t}\big(T_{c,t}-\mu^T_{c,t}\big)^2}{\sum_{c,t}\big(T_{c,t}-\bar T\big)^2},\qquad R^2_G=1-\frac{\sum_{c,t}\big(G_{c,t}-\mu^G_{c,t}\big)^2}{\sum_{c,t}\big(G_{c,t}-\bar G\big)^2}, RT2=1−∑c,t(Tc,t−Tˉ)2∑c,t(Tc,t−μc,tT)2,RG2=1−∑c,t(Gc,t−Gˉ)2∑c,t(Gc,t−μc,tG)2,

其中 N N N 为观测总数， T ˉ , G ˉ \bar T,\bar G Tˉ,Gˉ 为整体均值；同时可通过统计预测区间宽度（如 U c , 2028 T − L c , 2028 T U^T_{c,2028}-L^T_{c,2028} Uc,2028T−Lc,2028T 的均值或分位数）来给出"预测不确定性总体评价"。

2.3 预期输出定义

各国 2028 年金牌数预测与区间：输出 { μ c , 2028 G , L c , 2028 G , U c , 2028 G } \{\mu^G_{c,2028},L^G_{c,2028},U^G_{c,2028}\} {μc,2028G,Lc,2028G,Uc,2028G}，用于描述各国在 2028 年洛杉矶奥运会的金牌数预测及其不确定性。
各国 2028 年奖牌总数预测与区间：输出 { μ c , 2028 T , L c , 2028 T , U c , 2028 T } \{\mu^T_{c,2028},L^T_{c,2028},U^T_{c,2028}\} {μc,2028T,Lc,2028T,Uc,2028T}，刻画奖牌总数预测水平和相应的置信区间。
2028 年奖牌榜排名预测：基于 μ c , 2028 T \mu^T_{c,2028} μc,2028T 计算 R c , 2028 R_{c,2028} Rc,2028，给出各国预测排名（至少包括前若干名国家）的序列。
相对 2024 年的成绩变动概率：对每个国家给出 P ( G c , 2028 > G c , 2024 ) P(G_{c,2028}>G_{c,2024}) P(Gc,2028>Gc,2024) 与 P ( T c , 2028 > T c , 2024 ) P(T_{c,2028}>T_{c,2024}) P(Tc,2028>Tc,2024) 等概率指标，用于判断其成绩提升或下滑的可能性。
成绩最有可能提升/下滑国家识别：基于上述变动概率与预测区间，输出一组"预计成绩提升国家"与"一组预计成绩下滑国家"，并附带相应概率或置信度的定量描述（不含具体数值）。
首次获奖国家数量的概率分布：给出 N new N_{\text{new}} Nnew 的分布特征，包括其期望、方差以及 P ( N new = k ) P(N_{\text{new}}=k) P(Nnew=k) 在若干整数 k k k 上的取值，用于回答"预计有多少尚未获奖国家将在 2028 年赢得首枚奖牌"。
尚未获奖国家逐一的获奖概率：对每个 c ∈ C 0 c\in\mathcal{C}0 c∈C0，给出 p c , 2028 p{c,2028} pc,2028，用以比较不同未获奖国家在 2028 年突破奖牌零记录的可能性。
赛事设置与奖牌数关系的定量指标：输出各运动项目的参数 δ s \delta_s δs 及其不确定性度量（如估计值和置信区间），用于衡量赛事数量变化对各国奖牌总数的影响。
各国关键运动项目识别结果：基于 δ s \delta_s δs 与 T c , t , s T_{c,t,s} Tc,t,s 等量，给出对主要国家而言最关键的一组运动项目列表，并报告这些项目对其奖牌总数的边际贡献或弹性指标。
东道主赛事项目选择影响评估：在不同赛事设置方案下（不同的 E 2028 , s , d E_{2028,s,d} E2028,s,d 组合），输出东道主美国的奖牌总数预测 μ 美国 , 2028 T \mu^T_{\text{美国},2028} μ美国,2028T 及其预测区间，用以衡量赛事结构调整对成绩的定量影响。
模型拟合优度指标：输出 R M S E G , R M S E T , R G 2 , R T 2 RMSE_G,RMSE_T,R^2_G,R^2_T RMSEG,RMSET,RG2,RT2 等，刻画模型在历史数据上的拟合精度与解释度。
预测不确定性总体评价：汇总各国以及所有国家合计奖牌数的预测方差和区间宽度指标，用于定性与定量评价 2028 年奖牌榜预测的不确定性水平。

问题二的核心需求与实现关键

1. 核心需求

在"运动员国籍转换受限而教练流动更自由"的背景下，构建数据驱动的"优秀教练效应"分析框架：通过国家--项目--年份层面的奖牌数据，寻找引入或更换优秀教练后成绩发生显著变化的统计证据。
量化优秀教练效应对各国奖牌数量的贡献度：估计项目层面的教练效应系数 α s \alpha_s αs，并累积得到各国在分析期内由教练效应带来的奖牌总贡献 C c C_c Cc 及其在总奖牌中的占比。
选取三个代表性国家 { c 1 , c 2 , c 3 } \{c_1,c_2,c_3\} {c1,c2,c3}，识别其最应优先引入金牌教练的运动项目，并在情景分析下预测引入优秀教练后各国家--项目的奖牌提升幅度，形成可操作的项目选择建议。

2. 实现关键

2.1 约束条件

奖牌分解一致性约束：在任何国家与年份上，总奖牌数等于金牌、银牌与铜牌数之和。

T c , t = G c , t + S c , t + B c , t , ∀ c , t ∈ T . T_{c,t}=G_{c,t}+S_{c,t}+B_{c,t},\qquad \forall c,\ t\in\mathcal{T}. Tc,t=Gc,t+Sc,t+Bc,t,∀c, t∈T.

该约束保证在引入教练效应分析时，项目层面与总量层面的统计口径保持一致。
东道主唯一性与二元性约束：在每一届奥运会中仅存在一个东道主国家，且东道主指示变量为 0 或 1。

∑ c H c , t = 1 , H c , t ∈ { 0 , 1 } , ∀ t ∈ T . \sum_c H_{c,t}=1,\qquad H_{c,t}\in\{0,1\},\qquad \forall t\in\mathcal{T}. c∑Hc,t=1,Hc,t∈{0,1},∀t∈T.

该约束用于在奖牌变动分解时区分"东道主优势"与"教练效应"。
基线--教练效应分解约束：在国家--项目--年份层面，实测奖牌数由"基线水平"与"优秀教练带来的增量"两部分组成。

T c , t , s = T c , t , s 0 + Δ T c , t , s , ∀ c , s , t ∈ T . T_{c,t,s}=T^0_{c,t,s}+\Delta T_{c,t,s},\qquad \forall c,s,\ t\in\mathcal{T}. Tc,t,s=Tc,t,s0+ΔTc,t,s,∀c,s, t∈T.

该分解是定义"优秀教练效应贡献度"的基础，使得 Δ T c , t , s \Delta T_{c,t,s} ΔTc,t,s 可以被解释为教练效应导致的奖牌变化。
运动员国籍转换约束：更换代表国家参赛的运动员占比分布在一个较小上界 ε \varepsilon ε 之内，体现国籍转换的困难。

0 ≤ p t switch ≤ ε , ∀ t ∈ T . 0\le p^{\text{switch}}_t\le \varepsilon,\qquad \forall t\in\mathcal{T}. 0≤ptswitch≤ε,∀t∈T.

该约束确保大部分成绩变动可以归因于国内体系、教练效应等因素，而非广泛的国籍流动。
奖牌与贡献度的整数非负性约束：项目级和国家级奖牌数及教练贡献度均为非负整数。

T c , t , s , T c , t , G c , t , S c , t , B c , t , C c ∈ Z ≥ 0 . T_{c,t,s},\ T_{c,t},\ G_{c,t},\ S_{c,t},\ B_{c,t},\ C_c\in\mathbb{Z}_{\ge 0}. Tc,t,s, Tc,t, Gc,t, Sc,t, Bc,t, Cc∈Z≥0.

该约束保证教练贡献度 C c C_c Cc 的统计意义明确，可与奖牌总数直接比较。
项目--国家--年份到总奖牌的一致性约束：各项目奖牌数之和等于该国该年的总奖牌数。

∑ s T c , t , s = T c , t , ∀ c , t ∈ T . \sum_s T_{c,t,s}=T_{c,t},\qquad \forall c,\ t\in\mathcal{T}. s∑Tc,t,s=Tc,t,∀c, t∈T.

该式确保在项目层面测得的教练效应可以正确汇总到国家总奖牌水平。
参赛约束：如果某国在某项目某年没有运动员参赛，则不可能在该项目获得奖牌。

A c , s , t = 0 ⇒ T c , t , s = 0 , ∀ c , s , t ∈ T . A_{c,s,t}=0\Rightarrow T_{c,t,s}=0,\qquad \forall c,s,\ t\in\mathcal{T}. Ac,s,t=0⇒Tc,t,s=0,∀c,s, t∈T.

该约束将教练效应的分析限定在实际参与的项目--年份组合上。
教练效应增量边界约束：优秀教练效应不能减少奖牌数，且其增量不超过实际奖牌数。

0 ≤ Δ T c , t , s ≤ T c , t , s , ∀ c , s , t ∈ T . 0\le \Delta T_{c,t,s}\le T_{c,t,s},\qquad \forall c,s,\ t\in\mathcal{T}. 0≤ΔTc,t,s≤Tc,t,s,∀c,s, t∈T.

该条件保证 Δ T c , t , s \Delta T_{c,t,s} ΔTc,t,s 被解释为"提升"或"至多占据全部奖牌"的贡献，而不会形成负向或过度归因。

2.2 数学模型核心公式框架

基线项目层面奖牌数模型：在未考虑优秀教练的情形下，以国家--项目--年份为单元构建 Poisson 回归，估计基线奖牌期望数。

T c , t , s 0 ∣ λ c , t , s 0 ∼ Poisson ( λ c , t , s 0 ) , T^0_{c,t,s}\mid \lambda^0_{c,t,s}\sim \text{Poisson}(\lambda^0_{c,t,s}), Tc,t,s0∣λc,t,s0∼Poisson(λc,t,s0),

log ⁡ λ c , t , s 0 = β 0 , c , s + β 1 , c , s ( t − t min ⁡ ) + β 2 , s H c , t + β 3 , s log ⁡ ( 1 + N s , t ) + β 4 , s log ⁡ ( 1 + A c , s , t ) , \log \lambda^0_{c,t,s}=\beta_{0,c,s}+\beta_{1,c,s}(t-t_{\min})+\beta_{2,s}H_{c,t}+\beta_{3,s}\log\big(1+N_{s,t}\big)+\beta_{4,s}\log\big(1+A_{c,s,t}\big), logλc,t,s0=β0,c,s+β1,c,s(t−tmin)+β2,sHc,t+β3,slog(1+Ns,t)+β4,slog(1+Ac,s,t),

其中 β 0 , c , s \beta_{0,c,s} β0,c,s 和 β 1 , c , s \beta_{1,c,s} β1,c,s 描述国家 c c c 在项目 s s s 上的长期实力与趋势， β 2 , s \beta_{2,s} β2,s 捕捉东道主在项目 s s s 的优势， β 3 , s \beta_{3,s} β3,s 刻画赛事数量对奖牌的影响， β 4 , s \beta_{4,s} β4,s 则考虑参赛规模的作用；该模型给出了在无优秀教练假设下的奖牌参考水平。
优秀教练效应增量模型 ：引入优秀教练指示变量 Z c , s , t Z_{c,s,t} Zc,s,t，建立教练效应对奖牌增量的线性模型。

Δ T c , t , s = α s Z c , s , t + u c , s , t , u c , s , t ∼ N ( 0 , σ s 2 ) , \Delta T_{c,t,s}=\alpha_s Z_{c,s,t}+u_{c,s,t},\qquad u_{c,s,t}\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2_s), ΔTc,t,s=αsZc,s,t+uc,s,t,uc,s,t∼N(0,σs2),

其中 α s ≥ 0 \alpha_s\ge 0 αs≥0 为项目 s s s 上的平均教练效应系数， u c , s , t u_{c,s,t} uc,s,t 为残差。该模型通过对比有无优秀教练时的奖牌增量，估计每个项目的教练效应强度和不确定性。
优秀教练效应的乘性建模视角：在 Poisson 框架中将教练效应视为对基线强度的乘性放大。

T c , t , s ∣ Z c , s , t ∼ Poisson ( λ c , t , s 0 exp ⁡ ( α s Z c , s , t ) ) , T_{c,t,s}\mid Z_{c,s,t}\sim \text{Poisson}\big(\lambda^0_{c,t,s}\exp(\alpha_s Z_{c,s,t})\big), Tc,t,s∣Zc,s,t∼Poisson(λc,t,s0exp(αsZc,s,t)),

当 Z c , s , t = 1 Z_{c,s,t}=1 Zc,s,t=1 时，期望奖牌数为 λ c , t , s 0 exp ⁡ ( α s ) \lambda^0_{c,t,s}\exp(\alpha_s) λc,t,s0exp(αs)，否则为基线 λ c , t , s 0 \lambda^0_{c,t,s} λc,t,s0；该形式便于使用广义线性模型直接估计 α s \alpha_s αs 及其置信区间。
各国奖牌中教练效应总贡献度计算 ：在估计 Δ T c , t , s \Delta T_{c,t,s} ΔTc,t,s 后，将其在时间与项目维度上累积，得到国家级教练贡献。

C c = ∑ t ∈ T ∑ s Δ T c , t , s , C_c=\sum_{t\in\mathcal{T}}\sum_s \Delta T_{c,t,s}, Cc=t∈T∑s∑ΔTc,t,s,

Share c = C c ∑ t ∈ T T c , t , \text{Share}c=\frac{C_c}{\sum{t\in\mathcal{T}}T_{c,t}}, Sharec=∑t∈TTc,tCc,

其中 Share c \text{Share}_c Sharec 表示教练效应在国家 c c c 总奖牌数中的占比，用于比较不同国家对优秀教练依赖程度。
国家--项目层面前后期对比与显著性检验 ：针对每个 ( c , s ) (c,s) (c,s) 组合，依据 Z c , s , t Z_{c,s,t} Zc,s,t 的变化划分"引入教练前后"两个时期，比较平均奖牌水平。

T c , s pre = { t ∈ T : Z c , s , t = 0 } , T c , s post = { t ∈ T : Z c , s , t = 1 } , \mathcal{T}^{\text{pre}}{c,s}=\{t\in\mathcal{T}:Z{c,s,t}=0\},\qquad \mathcal{T}^{\text{post}}{c,s}=\{t\in\mathcal{T}:Z{c,s,t}=1\}, Tc,spre={t∈T:Zc,s,t=0},Tc,spost={t∈T:Zc,s,t=1},

T ˉ c , s pre = 1 ∣ T c , s pre ∣ ∑ t ∈ T c , s pre T c , t , s , T ˉ c , s post = 1 ∣ T c , s post ∣ ∑ t ∈ T c , s post T c , t , s , \bar T^{\text{pre}}{c,s}=\frac{1}{|\mathcal{T}^{\text{pre}}{c,s}|}\sum_{t\in\mathcal{T}^{\text{pre}}{c,s}}T{c,t,s},\qquad \bar T^{\text{post}}{c,s}=\frac{1}{|\mathcal{T}^{\text{post}}{c,s}|}\sum_{t\in\mathcal{T}^{\text{post}}{c,s}}T{c,t,s}, Tˉc,spre=∣Tc,spre∣1t∈Tc,spre∑Tc,t,s,Tˉc,spost=∣Tc,spost∣1t∈Tc,spost∑Tc,t,s,

Δ T ˉ c , s = T ˉ c , s post − T ˉ c , s pre , \Delta \bar T_{c,s}=\bar T^{\text{post}}{c,s}-\bar T^{\text{pre}}{c,s}, ΔTˉc,s=Tˉc,spost−Tˉc,spre,

通过构造差值 Δ T ˉ c , s \Delta \bar T_{c,s} ΔTˉc,s 及其标准误，可以进行显著性检验，从而提供"优秀教练效应"引发成绩变动的统计证据。
三个重点国家的情景预测模型 ：选取 { c 1 , c 2 , c 3 } \{c_1,c_2,c_3\} {c1,c2,c3}，在下一届奥运会年份 t next t_{\text{next}} tnext 下，对假设引入优秀教练的项目进行情景预测。

T c k , s , t next scenario = T c k , s , t next 0 + α ^ s , k = 1 , 2 , 3 , T^{\text{scenario}}{c_k,s,t{\text{next}}}=T^0_{c_k,s,t_{\text{next}}}+\hat \alpha_s,\qquad k=1,2,3, Tck,s,tnextscenario=Tck,s,tnext0+α^s,k=1,2,3,

其中假设在 t next t_{\text{next}} tnext 年于项目 s s s 上新引入一名优秀教练（即设置 Z c k , s , t next = 1 Z_{c_k,s,t_{\text{next}}}=1 Zck,s,tnext=1）， α ^ s \hat \alpha_s α^s 为估计的教练效应系数。通过比较 T c k , s , t next scenario T^{\text{scenario}}{c_k,s,t{\text{next}}} Tck,s,tnextscenario 与 T c k , s , t next 0 T^0_{c_k,s,t_{\text{next}}} Tck,s,tnext0，可量化预期的奖牌提升幅度。
教练效应敏感性排序指标：为识别对教练投入最敏感的国家--项目组合，构造绝对与相对提升指标并进行排序。

Δ T c , t , s = T ^ c , t , s − T c , t , s 0 , Rel c , t , s = Δ T c , t , s max ⁡ ( T c , t , s 0 , 1 ) , \Delta T_{c,t,s}=\hat T_{c,t,s}-T^0_{c,t,s},\qquad \text{Rel}{c,t,s}=\frac{\Delta T{c,t,s}}{\max(T^0_{c,t,s},1)}, ΔTc,t,s=T^c,t,s−Tc,t,s0,Relc,t,s=max(Tc,t,s0,1)ΔTc,t,s,

其中 T ^ c , t , s \hat T_{c,t,s} T^c,t,s 为包含教练效应的拟合值， Rel c , t , s \text{Rel}{c,t,s} Relc,t,s 为相对提升率（对 T c , t , s 0 = 0 T^0{c,t,s}=0 Tc,t,s0=0 情形使用平移避免除零）。按照 Δ T c , t , s \Delta T_{c,t,s} ΔTc,t,s 或 Rel c , t , s \text{Rel}_{c,t,s} Relc,t,s 排序，可为有限优秀教练资源的配置提供优先级列表。

2.3 预期输出定义

项目层面优秀教练效应强度指标：对每个项目 s s s 输出 α s \alpha_s αs 及其不确定性度量（如置信区间或后验区间），用于量化在该项目上引入优秀教练对平均奖牌数提升的大小。
各国奖牌中教练效应可归因贡献度：对每个国家 c c c 输出 C c C_c Cc 以及其占比 Share c = C c / ∑ t ∈ T T c , t \text{Share}c=C_c/\sum{t\in\mathcal{T}}T_{c,t} Sharec=Cc/∑t∈TTc,t，用于衡量优秀教练效应在该国整体成绩中的重要性。
国家--项目层面的成绩突变与教练效应证据：对每个 ( c , s ) (c,s) (c,s) 输出前后两期平均奖牌数 T ˉ c , s pre , T ˉ c , s post \bar T^{\text{pre}}{c,s},\bar T^{\text{post}}{c,s} Tˉc,spre,Tˉc,spost、差值 Δ T ˉ c , s \Delta \bar T_{c,s} ΔTˉc,s 及显著性指标，以量化"优秀教练效应"带来的成绩变化。
三个重点国家的优先引入项目及情景提升效果：对 { c 1 , c 2 , c 3 } \{c_1,c_2,c_3\} {c1,c2,c3} 分别给出应优先引入金牌教练的项目集合及对应的情景预测奖牌数 T c k , s , t next scenario T^{\text{scenario}}{c_k,s,t{\text{next}}} Tck,s,tnextscenario 与基线 T c k , s , t next 0 T^0_{c_k,s,t_{\text{next}}} Tck,s,tnext0 的差值，用于评估潜在成绩提升。
按项目与国家划分的教练效应敏感性排序：输出基于 Δ T c , t , s \Delta T_{c,t,s} ΔTc,t,s 或 Rel c , t , s \text{Rel}_{c,t,s} Relc,t,s 的国家--项目组合排序结果，指出在哪些项目与国家上追加教练投入对奖牌数最为敏感，为资源优化配置提供量化依据。

问题三的核心需求与实现关键

1. 核心需求

基于前两问构建的奖牌数、东道主效应、赛事设置和优秀教练效应等模型，进一步挖掘关于奥运奖牌数量分布的创新性规律与结构性特征，如主场效应强度、赛事设置对奖牌集中度的影响、各国奖牌结构的多样化/专业化程度以及历史表现的稳定性与波动性。
将这些规律提炼为一组可量化的指标（如 α host , α prog , D c , t , σ c , p c , t , α coach \alpha_{\text{host}},\alpha_{\text{prog}},D_{c,t},\sigma_c,p_{c,t},\alpha_{\text{coach}} αhost,αprog,Dc,t,σc,pc,t,αcoach 等），为各国奥委会在申办赛事、优化项目布局、配置教练资源与支持新兴奖牌国家方面提供可操作的决策参考。

2. 实现关键

2.1 约束条件

奖牌计数非负整数约束：各国在各届奥运会的金牌、银牌、铜牌及奖牌总数均为非负整数。

G c , t , S c , t , B c , t , T c , t ∈ Z ≥ 0 , ∀ c ∈ C , t ∈ T . G_{c,t},\,S_{c,t},\,B_{c,t},\,T_{c,t}\in\mathbb{Z}_{\ge 0},\qquad \forall c\in\mathcal{C},\ t\in\mathcal{T}. Gc,t,Sc,t,Bc,t,Tc,t∈Z≥0,∀c∈C, t∈T.

该约束保证所有用于构建创新性指标的基础数据在统计上合法。
奖牌总数分解约束：国家 c c c 在年份 t t t 的奖牌总数由三类奖牌数量之和唯一确定。

T c , t = G c , t + S c , t + B c , t , ∀ c ∈ C , t ∈ T . T_{c,t}=G_{c,t}+S_{c,t}+B_{c,t},\qquad \forall c\in\mathcal{C},\ t\in\mathcal{T}. Tc,t=Gc,t+Sc,t+Bc,t,∀c∈C, t∈T.

该关系用于在分析金牌结构和总量波动时保持口径一致。
排名与奖牌总数单调性约束：在同一年份，奖牌总数越大，排名数值越小。

T c , t > T j , t ⇒ R c , t < R j , t , ∀ c ≠ j , t ∈ T . T_{c,t}>T_{j,t}\Rightarrow R_{c,t}<R_{j,t},\qquad \forall c\neq j,\ t\in\mathcal{T}. Tc,t>Tj,t⇒Rc,t<Rj,t,∀c=j, t∈T.

这使得有关"奖牌集中度"和"榜首竞争格局"的分析可以基于 T c , t T_{c,t} Tc,t 与 R c , t R_{c,t} Rc,t 的一致关系展开。
奖牌占比定义约束：奖牌占比由奖牌总数对该年全体国家奖牌总和的归一化给出。

P c , t = T c , t ∑ j ∈ C T j , t , ∀ c ∈ C , t ∈ T . P_{c,t}=\frac{T_{c,t}}{\sum_{j\in\mathcal{C}}T_{j,t}},\qquad \forall c\in\mathcal{C},\ t\in\mathcal{T}. Pc,t=∑j∈CTj,tTc,t,∀c∈C, t∈T.

该指标为分析奖牌集中程度、主办国与传统强国对总奖牌"份额"的影响提供基础。
金银铜牌总量与赛事数量约束：每届奥运会中，所有国家的金、银、铜牌总数分别不超过该年的赛事总数。

∑ c ∈ C G c , t ≤ E t , ∑ c ∈ C S c , t ≤ E t , ∑ c ∈ C B c , t ≤ E t , ∀ t ∈ T . \sum_{c\in\mathcal{C}}G_{c,t}\le E_t,\qquad \sum_{c\in\mathcal{C}}S_{c,t}\le E_t,\qquad \sum_{c\in\mathcal{C}}B_{c,t}\le E_t,\qquad \forall t\in\mathcal{T}. c∈C∑Gc,t≤Et,c∈C∑Sc,t≤Et,c∈C∑Bc,t≤Et,∀t∈T.

该约束将赛事设置与整体奖牌容量联系起来，为分析"赛事扩张是否稀释或放大奖牌集中度"提供约束。
主办国指示变量约束：主办国标记为 0/1 变量，同一年份至多存在一个主办国（赛事取消年份可视为不存在主办国）。

H c , t ∈ { 0 , 1 } , ∑ c ∈ C H c , t ≤ 1 , ∀ t ∈ T . H_{c,t}\in\{0,1\},\qquad \sum_{c\in\mathcal{C}}H_{c,t}\le 1,\qquad \forall t\in\mathcal{T}. Hc,t∈{0,1},c∈C∑Hc,t≤1,∀t∈T.

该约束用于定义主场效应参数 α host \alpha_{\text{host}} αhost，避免主办国身份发生重叠或不唯一。
奖牌在运动类别间的分解约束：任一国家--年份的奖牌总数等于其在各运动类别上的奖牌数之和。

T c , t = ∑ s ∈ S T c , t , s , ∀ c ∈ C , t ∈ T . T_{c,t}=\sum_{s\in\mathcal{S}}T_{c,t,s},\qquad \forall c\in\mathcal{C},\ t\in\mathcal{T}. Tc,t=s∈S∑Tc,t,s,∀c∈C, t∈T.

该式构成多样性/专业化指数 D c , t D_{c,t} Dc,t 的基础，使得项目结构分析与总量分析相兼容。
奖牌占比与获奖概率的取值范围约束：奖牌占比和未来获奖概率均为 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 内的概率型量，且在有奖牌产生年份，各国奖牌占比之和为 1。

0 ≤ P c , t ≤ 1 , 0 ≤ p c , t ≤ 1 , ∀ c , t , 0\le P_{c,t}\le 1,\qquad 0\le p_{c,t}\le 1,\qquad \forall c,t, 0≤Pc,t≤1,0≤pc,t≤1,∀c,t,

∑ c ∈ C P c , t = 1 , ∀ t ∈ T 且 ∑ c ∈ C T c , t > 0. \sum_{c\in\mathcal{C}}P_{c,t}=1,\qquad \forall t\in\mathcal{T}\ \text{且}\ \sum_{c\in\mathcal{C}}T_{c,t}>0. c∈C∑Pc,t=1,∀t∈T 且 c∈C∑Tc,t>0.

该约束确保集中度分析与新兴国家突破概率分析在概率空间内自洽。
奖牌时间波动指标定义约束：用于衡量历史表现稳定性的指标（如标准差）应基于各届奖牌总数的时间序列构建。

σ c ≥ 0 , σ c = 1 ∣ T c ∣ − 1 ∑ t ∈ T c ( T c , t − T ˉ c ) 2 , \sigma_c\ge 0,\qquad \sigma_c=\sqrt{\frac{1}{|\mathcal{T}c|-1}\sum{t\in\mathcal{T}c}\big(T{c,t}-\bar T_c\big)^2}, σc≥0,σc=∣Tc∣−11t∈Tc∑(Tc,t−Tˉc)2 ,

其中 T c \mathcal{T}_c Tc 为国家 c c c 参与的年份集合， T ˉ c \bar T_c Tˉc 为时间均值。非负性约束保证波动性指标可用于比较不同国家体系的稳定程度。

2.2 数学模型核心公式框架

主办国主场效应回归模型 ：在控制时间趋势与国家固定效应后，通过引入主办国指示变量估计主场效应参数 α host \alpha_{\text{host}} αhost。

T c , t = β 0 + β 1 t + η c + α host H c , t + ε c , t , T_{c,t}=\beta_0+\beta_1 t+\eta_c+\alpha_{\text{host}}H_{c,t}+\varepsilon_{c,t}, Tc,t=β0+β1t+ηc+αhostHc,t+εc,t,

其中 η c \eta_c ηc 为国家固定效应， ε c , t \varepsilon_{c,t} εc,t 为残差。 α host > 0 \alpha_{\text{host}}>0 αhost>0 时表示主办国在控制其他因素后平均多获得 α host \alpha_{\text{host}} αhost 枚奖牌，该参数可与金牌数模型中的类似系数联立分析，为申办奥运会的收益评估提供量化依据。
赛事设置对奖牌数量的敏感度模型 ：将各运动类别赛事数量作为解释变量，构建多元回归或广义线性模型估计赛事设置参数向量 α prog \alpha_{\text{prog}} αprog。

T c , t = γ 0 + γ 1 t + η c + ∑ s ∈ S α prog , s N s , t + γ host H c , t + ξ c , t , T_{c,t}=\gamma_0+\gamma_1 t+\eta_c+\sum_{s\in\mathcal{S}}\alpha_{\text{prog},s}\,N_{s,t}+\gamma_{\text{host}}H_{c,t}+\xi_{c,t}, Tc,t=γ0+γ1t+ηc+s∈S∑αprog,sNs,t+γhostHc,t+ξc,t,

其中 N s , t N_{s,t} Ns,t 为年份 t t t 中运动 s s s 的赛事数。参数 α prog , s \alpha_{\text{prog},s} αprog,s 刻画"每增加运动 s s s 一项赛事时，各国奖牌数期望变化的平均效应"，从而量化赛事结构调整对奖牌格局的影响。
奖牌结构多样性/专业化指数构造：基于各运动类别的奖牌分布，定义多样性指数以刻画一个国家奖牌是否集中在少数项目还是分散在多项目上。

q c , t , s = T c , t , s max ⁡ ( T c , t , 1 ) , D c , t = − ∑ s ∈ S q c , t , s log ⁡ q c , t , s , q_{c,t,s}=\frac{T_{c,t,s}}{\max(T_{c,t},1)},\qquad D_{c,t}=-\sum_{s\in\mathcal{S}}q_{c,t,s}\log q_{c,t,s}, qc,t,s=max(Tc,t,1)Tc,t,s,Dc,t=−s∈S∑qc,t,slogqc,t,s,

其中 q c , t , s q_{c,t,s} qc,t,s 为国家 c c c 在年份 t t t、运动 s s s 上的奖牌占比。 D c , t D_{c,t} Dc,t 越大，说明奖牌在多个项目上分布越均衡（多元布局）；反之则表征高度集中于少数优势项目，为各国在"集中投入"与"分散布局"之间权衡提供依据。
历史表现稳定性与波动性指标 ：基于时间序列 { T c , t } t ∈ T c \{T_{c,t}\}_{t\in\mathcal{T}_c} {Tc,t}t∈Tc 构造标准差等波动性指标 σ c \sigma_c σc，衡量一个国家长期奖牌表现的稳定程度。

T ˉ c = 1 ∣ T c ∣ ∑ t ∈ T c T c , t , σ c = 1 ∣ T c ∣ − 1 ∑ t ∈ T c ( T c , t − T ˉ c ) 2 , \bar T_c=\frac{1}{|\mathcal{T}c|}\sum{t\in\mathcal{T}c}T{c,t},\qquad \sigma_c=\sqrt{\frac{1}{|\mathcal{T}c|-1}\sum{t\in\mathcal{T}c}\big(T{c,t}-\bar T_c\big)^2}, Tˉc=∣Tc∣1t∈Tc∑Tc,t,σc=∣Tc∣−11t∈Tc∑(Tc,t−Tˉc)2 ,

σ c \sigma_c σc 越小表示该国奖牌表现越平稳、体系越稳健，越大则表明成绩周期性波动或对外部因素（如主办国、赛事设置）更为敏感。
新兴奖牌国家突破概率模型 ：针对历史上少有或从未获得奖牌的国家，通过逻辑回归建模其未来在某届奥运会获得至少一枚奖牌的概率 p c , t p_{c,t} pc,t。

logit ( p c , t ) = δ 0 + δ 1 log ⁡ ( 1 + A c , t ) + δ 2 log ⁡ ( 1 + E t ) + δ 3 H c , t + δ 4 D c , t , \text{logit}(p_{c,t})=\delta_0+\delta_1\log\big(1+A_{c,t}\big)+\delta_2\log\big(1+E_t\big)+\delta_3 H_{c,t}+\delta_4 D_{c,t}, logit(pc,t)=δ0+δ1log(1+Ac,t)+δ2log(1+Et)+δ3Hc,t+δ4Dc,t,

其中 A c , t A_{c,t} Ac,t 为参赛人数， E t E_t Et 为赛事总数， D c , t D_{c,t} Dc,t 为多样性指数。该模型刻画新兴国家突破奖牌零记录的关键因素，为识别潜在"黑马国家"提供定量工具。
"优秀教练效应"整体贡献度参数化 ：在国家--年份层面将项目级教练效应汇聚为一个综合指标 α coach \alpha_{\text{coach}} αcoach，与主办国效应和赛事设置效应并行比较。

T c , t = λ 0 + λ 1 t + η c + α host H c , t + ∑ s α prog , s N s , t + α coach Z ~ c , t + ζ c , t , T_{c,t}=\lambda_0+\lambda_1 t+\eta_c+\alpha_{\text{host}}H_{c,t}+\sum_{s}\alpha_{\text{prog},s}N_{s,t}+\alpha_{\text{coach}}\tilde Z_{c,t}+\zeta_{c,t}, Tc,t=λ0+λ1t+ηc+αhostHc,t+s∑αprog,sNs,t+αcoachZ~c,t+ζc,t,

其中 Z ~ c , t = ∑ s Z c , s , t \tilde Z_{c,t}=\sum_s Z_{c,s,t} Z~c,t=∑sZc,s,t 表示国家 c c c 在年份 t t t 拥有优秀教练的项目数量或强度聚合指标。参数 α coach \alpha_{\text{coach}} αcoach 刻画"每在一个项目上引入优秀教练时平均增加的奖牌数"，可与 α host \alpha_{\text{host}} αhost、 α prog \alpha_{\text{prog}} αprog 比较，为各国在"申办赛事"与"引进名帅"等策略之间的投入决策提供量化依据。

2.3 预期输出定义

主办国主场效应量化指标：输出 α host \alpha_{\text{host}} αhost 的估计值及其不确定性（如置信区间或后验分布特征），用于刻画在控制其他因素后主办国身份对 G c , t G_{c,t} Gc,t 和 T c , t T_{c,t} Tc,t 的平均影响，为评估申办奥运会的潜在奖牌收益提供依据。
赛事设置与奖牌数量敏感度指标：输出赛事设置参数向量 α prog = { α prog , s } s ∈ S \alpha_{\text{prog}}=\{\alpha_{\text{prog},s}\}_{s\in\mathcal{S}} αprog={αprog,s}s∈S 及相应不确定性，用于得到"每增加某运动类别一项赛事时，各国奖牌数期望变化"的敏感度矩阵。
各国奖牌结构多样性/专业化指数序列：输出 D c , t D_{c,t} Dc,t 的时间序列，用以识别不同国家在不同阶段是采用"多元布局"（高多样性）还是"少数优势项目高度集中"（低多样性）的发展策略。
历史表现稳定性与波动性指标：对每个国家 c c c 输出 σ c \sigma_c σc（及必要时的相关指标），用于比较各国奖牌表现的长期稳定性，为奥委会评估体系稳健性与规划风险提供定量信息。
新兴奖牌国家突破概率相关结果：对历史上少有或从未获得奖牌的国家，输出其在未来某届（如 2028 年）实现奖牌突破的概率 p c , t p_{c,t} pc,t 及其对关键因子（如参赛规模、赛事总量、多样性指数）的敏感度分解。
"优秀教练效应"对奖牌数量的综合贡献度估计：输出 α coach \alpha_{\text{coach}} αcoach 及其不确定性，并与 α host \alpha_{\text{host}} αhost、 α prog \alpha_{\text{prog}} αprog 等效应参数进行对比，为各国奥委会在引进高水平教练、优化教练团队配置与申办赛事、调整项目布局之间的资源配置决策提供量化支撑。