单调队列优化dp

你说得对，但是单调队列优化 dp 我都是用线段树写的。

绝对不是因为不会写

情景

对于一类 dp 的状态转移方程是类似于 f i = max ⁡ { f j } ( j ∈ $l , r$ ) f_i=\max\{f_j\}(j\in $l,r$ ) fi=max{fj}(j∈ $l,r$ ) 的优化。

然而实际题目中很难凑得这么正好，常见的是 f i = max ⁡ { f j + a } + b f_i=\max\{f_j+a\}+b fi=max{fj+a}+b 之类的。

一般来说，dp 的 i i i 这一维是一个个递增的，如果 j j j 取值的区间 $l , r$ $l,r$ $l,r$ 也是逐渐扩大的，那么就可以用单调队列搞。类似于莫队。

单调队列怎么写我之前写过，翻翻我的 blog 就找的到了。

但是这种优化 dp 思想简单，所以看例题。

例题

T1 琪露诺

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先感叹一下：这题是我老师 24 年 1 月推给我们做的，但是我现在 26 年 1 月才捡起来，唉......

状态：设 f i f_i fi 表示走到第 i i i 号格子的最大冰冻指数。

方程： f i = max ⁡ { f j } + a i ∣ j ∈ $i - r , i - l$ f_i=\max\{f_j\}+a_i\mid j\in $i-r,i-l$ fi=max{fj}+ai∣j∈ $i-r,i-l$ 。

算是简单的一种吧。

注意到枚举到 i i i 的时候， i − 1 i-1 i−1 的答案是算好了的，所以只需要添加 i i i 号位的答案进去。

那么我们可以用单调队列，维护 $i - r , i - l$ $i-r,i-l$ $i-r,i-l$ 的最大的 f f f 值。

不过毕竟我很懒，直接线段树搞定。代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ljl;
#define FUP(i,x,y) for(auto (i)=(x);(i)<=(y);++(i))
#define FDW(i,x,y) for(auto (i)=(x);(i)>=(y);--(i))
inline void Rd(auto &num);
const int N=2e5+5;
const ljl inf=1e18;
int n,l,r;
ljl a[N],f[N],ans=-inf;
struct NODE{
	int l,r;
	ljl maxn;
}node[N*4];
#define lc (p<<1)
#define rc (p<<1|1)
void pushup(int p)
{
	if(node[p].l==node[p].r)return;
	node[p].maxn=max(node[lc].maxn,node[rc].maxn);
	return;
}
void bld(int l,int r,int p)
{
	node[p].l=l;node[p].r=r;
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)/2;
	bld(l,mid,lc);bld(mid+1,r,rc);
	return;
}
ljl query(int l,int r,int p)
{
	if(l<0||r<0||r<l)return -inf;
	if(l<=node[p].l&&node[p].r<=r)return node[p].maxn;
	int mid=(node[p].l+node[p].r)/2;
	ljl ans=-inf;
	if(l<=mid)ans=max(ans,query(l,r,lc));
	if(mid<r)ans=max(ans,query(l,r,rc));
	return ans;
}
void addx(int x,ljl val,int p)
{
	if(node[p].l==node[p].r&&node[p].l==x)
	{
		node[p].maxn=val;
		return;
	}
	int mid=(node[p].l+node[p].r)/2;
	if(x<=mid)addx(x,val,lc);
	else addx(x,val,rc);
	pushup(p);
	return;
}
int main(){
	Rd(n);Rd(l);Rd(r);
	FUP(i,0,n)Rd(a[i]);
	bld(0,n,1);
	FUP(i,1,n)
	{
		ljl tmp=query(max(0,i-r),i-l,1);
//		cout<<"----------\n";
		if(tmp==-inf)f[i]=-inf;
		else f[i]=tmp+a[i];
		addx(i,f[i],1);
	}
	FUP(i,1,n)
		if(i+r>n)ans=max(ans,f[i]);
//	FUP(i,1,n)cout<<f[i]<<' ';
//	cout<<'\n';
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}
inline void Rd(auto &num)
{
	num=0;char ch=getchar();bool f=0;
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-')f=1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		num=(num<<1)+(num<<3)+(ch-'0');
		ch=getchar();
	}
	if(f)num=-num;
	return;
}

T2 股票交易

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哦哦哦怎么是省选真题。

感觉难在设状态和方程，以及优化时的被发现的明亮的眼睛。

设 f i , j f_{i,j} fi,j 表示到了第 i i i 天，手中有 j j j 张牌的最大收益。

方程：
f i = max ⁡ { f i − 1 , j − a p × j f i − w − 1 , k − ( j − k ) a p ( j − a s ≤ k < j ) f i − w − 1 , k + ( k − j ) b p ( j < k ≤ j + b s ) f_i=\max\begin{cases} f_{i-1,j}\\ -ap\times j\\ f_{i-w-1,k}-(j-k)ap\ \ \ (j-as\le k<j)\\ f_{i-w-1,k}+(k-j)bp\ \ \ (j<k\le j+bs)\\ \end{cases} fi=max⎩ ⎨ ⎧fi−1,j−ap×jfi−w−1,k−(j−k)ap (j−as≤k<j)fi−w−1,k+(k−j)bp (j<k≤j+bs)

前两种简单，直接暴力。

对于后两种，注意到 i − w − 1 i-w-1 i−w−1 是固定的，可以维护区间 $j - a s , j - 1$ $j-as,j-1$ $j-as,j-1$ 和 $j + 1 , j + b s$ $j+1,j+bs$ $j+1,j+bs$ 的最大值。

不过还要拆开式子，存在线段树里的是 f i − w − 1 , k + k a p f_{i-w-1,k}+kap fi−w−1,k+kap 和 f i − w − 1 , k + k b p f_{i-w-1,k}+kbp fi−w−1,k+kbp。最后减去 j a p jap jap 或 j b p jbp jbp 即可。

代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ljl;
#define FUP(i,x,y) for(auto (i)=(x);(i)<=(y);++(i))
#define FDW(i,x,y) for(auto (i)=(x);(i)>=(y);--(i))
inline void Rd(auto &num);
const int N=2005,P=2005;
const ljl inf=1e18;
ljl f[N][P],ap,bp,as,bs,ans,p,w,n;
struct NODE{
	int l,r;
	ljl maxn;
}node[N*4];
#define lc (p<<1)
#define rc (p<<1|1)
void pushup(int p)
{
	if(node[p].l==node[p].r)return;
	node[p].maxn=max(node[lc].maxn,node[rc].maxn);
	return;
}
void bld(int l,int r,int p)
{
	node[p].l=l;node[p].r=r;
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)/2;
	bld(l,mid,lc);bld(mid+1,r,rc);
	return;
}
void addx(int x,ljl val,int p)
{
	if(node[p].l==node[p].r)
	{
		node[p].maxn=val;
		return;
	}
	int mid=(node[p].l+node[p].r)/2;
	if(x<=mid)addx(x,val,lc);
	else addx(x,val,rc);
	pushup(p);
	return;
}
ljl query(int l,int r,int p)
{
	if(l<=node[p].l&&node[p].r<=r)return node[p].maxn;
	int mid=(node[p].l+node[p].r)/2;
	ljl ans=-inf;
	if(l<=mid)ans=max(ans,query(l,r,lc));
	if(mid<r)ans=max(ans,query(l,r,rc));
	return ans;
}
signed main(){
	Rd(n);Rd(p);Rd(w);
	for(int i=0;i<n;++i)
		for(int j=0;j<=p;++j)f[i][j]=-inf;
	f[0][0]=0;
	bld(0,p,1);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		Rd(ap);Rd(bp);Rd(as);Rd(bs);
		for(int j=0;j<=as;++j)f[i][j]=-j*ap;
		for(int j=0;j<=p;++j)f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]);
		if(i-w<1)continue;
		FUP(k,0,p)
			addx(k,f[i-w-1][k]+k*bp,1);
		FUP(j,0,p)
			f[i][j]=max(f[i][j],query(j+1,min(p,j+bs),1)-j*bp);
		FUP(k,0,p)
			addx(k,f[i-w-1][k]+k*ap,1);
		FUP(j,0,p)
			f[i][j]=max(f[i][j],query(max(0ll,j-as),max(0ll,j-1ll),1)-j*ap);
	}
	FUP(i,0,p)ans=max(ans,f[n][i]);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}
inline void Rd(auto &num)
{
	num=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
		ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		num=(num<<1)+(num<<3)+(ch-'0');
		ch=getchar();
	}
	return;
}

衷心警告

能用单调队列别用线段树！！！！

比如例二，时限一秒对吧，我过了对吧，注意看用时。