本文件整理 IGRF-13 C++ 实现中的关键数学公式与算法细节，确保与官方 Fortran igrf13syn 一致。
1. 球谐展开与磁势函数
地磁标量势函数：
V ( r , θ , ϕ , t ) = a ∑ n = 1 N ∑ m = 0 n ( a r ) n + 1 g n m ( t ) cos ( m ϕ ) + h n m ( t ) sin ( m ϕ ) P ˉ n m ( cos θ ) V(r,\theta,\phi,t) = a \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=0}^{n} \left(\frac{a}{r}\right)^{n+1} \leftg_n\^m(t)\\cos(m\\phi) + h_n\^m(t)\\sin(m\\phi)\\right \bar{P}_n^m(\cos\theta) V(r,θ,ϕ,t)=an=1∑Nm=0∑n(ra)n+1gnm(t)cos(mϕ)+hnm(t)sin(mϕ)Pˉnm(cosθ)
- a = 6371.2 k m a = 6371.2\,\mathrm{km} a=6371.2km 为 IGRF 参考半径
- ( r , θ , ϕ ) (r,\theta,\phi) (r,θ,ϕ) 为地心球坐标（ θ \theta θ 为余纬）
- g n m , h n m g_n^m, h_n^m gnm,hnm 为高斯系数
- P ˉ n m \bar{P}_n^m Pˉnm 为 Schmidt 半归一化勒让德函数
2. 磁场分量公式
磁场由势函数梯度给出：
B r = − ∂ V ∂ r B_r = -\frac{\partial V}{\partial r} Br=−∂r∂V
B θ = − 1 r ∂ V ∂ θ B_\theta = -\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta} Bθ=−r1∂θ∂V
B ϕ = − 1 r sin θ ∂ V ∂ ϕ B_\phi = -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial \phi} Bϕ=−rsinθ1∂ϕ∂V
在实现中，合成结果直接在 NED（北-东-地）坐标系输出，等价于 Fortran igrf13syn 的 x , y , z x,y,z x,y,z 输出。
3. Schmidt 半归一化勒让德函数
采用 Fortran 参考递推（对应 p(k) / q(k)）：
对角项（ m = n m=n m=n）：
P ˉ n n = sin θ 2 n + 1 2 n P ˉ n − 1 n − 1 \bar{P}n^n = \sin\theta \sqrt{\frac{2n+1}{2n}}\; \bar{P}{n-1}^{n-1} Pˉnn=sinθ2n2n+1 Pˉn−1n−1
一般项（ m < n m<n m<n）：
P ˉ n m = ( 2 n − 1 ) cos θ P ˉ n − 1 m − ( n − 1 ) 2 − m 2 P ˉ n − 2 m n 2 − m 2 \bar{P}n^m = \frac{(2n-1)\cos\theta\;\bar{P}{n-1}^m -\sqrt{(n-1)^2-m^2}\;\bar{P}_{n-2}^m} {\sqrt{n^2-m^2}} Pˉnm=n2−m2 (2n−1)cosθPˉn−1m−(n−1)2−m2 Pˉn−2m
Fortran 使用等效的 p ( k ) , q ( k ) p(k), q(k) p(k),q(k) 递推形式：
p ( k ) = u cos θ p ( i ) − t p ( j ) p(k) = u\cos\theta\,p(i) - t\,p(j) p(k)=ucosθp(i)−tp(j)
q ( k ) = u ( cos θ q ( i ) − sin θ p ( i ) ) − t q ( j ) q(k) = u(\cos\theta\,q(i) - \sin\theta\,p(i)) - t\,q(j) q(k)=u(cosθq(i)−sinθp(i))−tq(j)
其中 u , t u,t u,t 由 n , m n,m n,m 决定，索引 i , j i,j i,j 由三角形展开规则给出。
4. 球坐标 ↔ 笛卡尔坐标转换
球坐标到 ECEF：
x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ x = r \sin\theta \cos\phi,\quad y = r \sin\theta \sin\phi,\quad z = r \cos\theta x=rsinθcosϕ,y=rsinθsinϕ,z=rcosθ
ECEF 到球坐标：
r = x 2 + y 2 + z 2 , θ = arctan 2 ( x 2 + y 2 , z ) , ϕ = arctan 2 ( y , x ) r = \sqrt{x^2+y^2+z^2},\quad \theta = \arctan2(\sqrt{x^2+y^2}, z),\quad \phi = \arctan2(y, x) r=x2+y2+z2 ,θ=arctan2(x2+y2 ,z),ϕ=arctan2(y,x)
NED 坐标（北-东-地）与 ECEF 之间的变换矩阵：
B N B E B D = − sin φ cos λ − sin φ sin λ cos φ − sin λ cos λ 0 − cos φ cos λ − cos φ sin λ − sin φ B x B y B z \begin{bmatrix}B_N\\B_E\\B_D\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\sin\varphi\cos\lambda & -\sin\varphi\sin\lambda & \cos\varphi \\ -\sin\lambda & \cos\lambda & 0 \\ -\cos\varphi\cos\lambda & -\cos\varphi\sin\lambda & -\sin\varphi \end{bmatrix} \begin{bmatrix}B_x\\B_y\\B_z\end{bmatrix} BNBEBD = −sinφcosλ−sinλ−cosφcosλ−sinφsinλcosλ−cosφsinλcosφ0−sinφ BxByBz
其中 φ \varphi φ 为大地纬度， λ \lambda λ 为经度。
5. 磁场合成中 ( a / r ) n + 2 (a/r)^{n+2} (a/r)n+2 系数
由 B r = − ∂ V / ∂ r B_r = -\partial V/\partial r Br=−∂V/∂r 推导得到：
( a r ) n + 2 \left(\frac{a}{r}\right)^{n+2} (ra)n+2
在实现中通过递推计算：
ratio = a r , rr = ratio 2 , rr ← rr ⋅ ratio \text{ratio} = \frac{a}{r},\quad \text{rr} = \text{ratio}^2,\quad \text{rr} \leftarrow \text{rr} \cdot \text{ratio} ratio=ra,rr=ratio2,rr←rr⋅ratio
保证每阶 n n n 的幂次与 Fortran 一致。
6. 大地坐标 → 地心坐标（WGS84）
Fortran 参考公式：
a 2 = 40680631.6 , b 2 = 40408296.0 a^2 = 40680631.6,\quad b^2 = 40408296.0 a2=40680631.6,b2=40408296.0
ρ = a 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ \rho = \sqrt{a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta} ρ=a2sin2θ+b2cos2θ
r = h ( h + 2 ρ ) + a 2 ( a 2 sin 2 θ ) + b 2 ( b 2 cos 2 θ ) a 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ r = \sqrt{h(h + 2\rho) + \frac{a^2(a^2\sin^2\theta) + b^2(b^2\cos^2\theta)}{a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta}} r=h(h+2ρ)+a2sin2θ+b2cos2θa2(a2sin2θ)+b2(b2cos2θ)
并计算旋转参数 c d , s d cd, sd cd,sd 用于将地心结果转换为大地方向的 NED 分量。
7. 公式与实现对应说明
computeNedFieldIgrf()：实现igrf13syn的递推合成computeEcefField()：NED 合成后再旋转回 ECEFcomputeNedFieldGeodetic()：直接输出 NED
所有公式均与 Fortran 版本逐项对齐，确保与官方实现一致。