通过超宽带信号估计位置------论文精读
S. Gezici and H. V. Poor, "Position Estimation via Ultra-Wide-Band Signals," in Proceedings of the IEEE, vol. 97, no. 2, pp. 386-403, Feb. 2009, doi: 10.1109/JPROC.2008.2008840.
文章的"主线骨架"：大带宽 → 高时间分辨率 → TOA 更准 → 定位更准
这篇 invited paper 的叙事相当工整：先解释 UWB 是什么、为什么它在法规限制下仍然适合定位；再给出定位系统的两种体系结构（直接定位 vs 两步定位）；随后把"两步法"的第一步（估计 RSS/AOA/TOA/TDOA 等位置相关参数）和第二步（由参数反推坐标）分别讲清；最后把最关键的"时间测距（TOA ranging）"单独拎出来讨论误差来源与算法，并把信号设计与硬件实现作为落地的约束条件。
如果用一句话抓住作者想传达的"根因"，就是：UWB 的带宽极大，因而有效带宽 β\betaβ 也大；在 AWGN 单径模型下，TOA 的 CRLB 与 1/(βSNR)1/(\beta\sqrt{\mathrm{SNR}})1/(βSNR ) 成正比，所以 UWB 天生能把时间估计误差压到极小，从而实现厘米级测距/定位的潜力。
1. UWB 的定义与监管约束：从"10 dB 带宽"走到"必须低功率共存"
1.1 10 dB 带宽与分数带宽：式 (1)--(4) 的含义不止是定义
论文采用 FCC 的 UWB 定义：绝对带宽至少 500 MHz 或分数带宽超过 20%。绝对带宽用 10 dB 发射点定义上下截止频率 fL,fHf_L,f_HfL,fH：
B=fH−fL(1) B=f_H-f_L \tag{1} B=fH−fL(1)
中心频率：
fc=fH+fL2(3) f_c=\frac{f_H+f_L}{2} \tag{3} fc=2fH+fL(3)
分数带宽：
Bfrac=Bfc(2) B_{\text{frac}}=\frac{B}{f_c} \tag{2} Bfrac=fcB(2)
代入 (1)(3) 可以得到常见的等价形式：
Bfrac=fH−fL(fH+fL)/2=2(fH−fL)fH+fL(4) B_{\text{frac}} =\frac{f_H-f_L}{(f_H+f_L)/2} =\frac{2(f_H-f_L)}{f_H+f_L} \tag{4} Bfrac=(fH+fL)/2fH−fL=fH+fL2(fH−fL)(4)
这些式子在定位语境下的"更深一层含义"是：带宽越大，时域波形越短，时间分辨率越高 ；而后面 TOA/AOA 的 CRLB 里都会出现有效带宽 β\betaβ，它本质上就是把"频谱能量分布的二阶矩"抽象为一个决定时间分辨率的尺度（附录里会把 β\betaβ 的定义与 Parseval 推导补全）。
1.2 图 1：10 dB 带宽在频域上的几何图像
图 1 的纵轴是功率谱密度（Power Spectral Density），横轴是频率。曲线代表某个发射谱形，左右两侧用"相对峰值下降 10 dB 的发射点"定义 fLf_LfL 与 fHf_HfH，两者之间的跨度就是式 (1) 的 BBB，中点则是式 (3) 的 fcf_cfc。图中的虚线标注了 10 dB 的上下界，强调这是一个"工程可测量"的带宽定义，而不是理想数学带宽。
1.3 FCC 发射限值：低功率并不削弱定位，反而改变"提升精度的路径"
为与既有系统共存，FCC 要求 UWB 在 3.1--10.6 GHz 的平均功率谱密度（PSD）不得超过 −41.3 dBm/MHz-41.3\ \mathrm{dBm/MHz}−41.3 dBm/MHz，带外更低，以 Fig.2 举室内通信系统的分段掩膜为例；限值以 EIRP（等效全向辐射功率）表示，测量分辨率带宽是 1 MHz。
1.4 图 2：室内 UWB 的 FCC 掩膜是"分段阶梯"，不是一条直线
图 2 的横轴是频率（GHz，图上刻度呈对数样式），纵轴是 EIRP emission level（dBm）。蓝色曲线是典型的"阶梯形分段上限"：
在 3.1--10.6 GHz 区间，上限约为 −41-41−41 dBm 左右形成平台；在 0.96--1.61 GHz 这一段限值非常低（图上约 −75-75−75 dBm），随后在 1.61--1.99、1.99--3.1 等区间上限逐步抬升，10.6 GHz 之后也会下调。图中标注的 0.96、1.61、1.99、3.1、10.6 等数字是分段边界。
对定位系统而言，这张图隐含一个实用结论：因为平均 PSD 被"压住"，定位精度提升不能指望简单增大发射功率，而更依赖 (i) 增大有效带宽 β\betaβ （UWB 先天优势）、(ii) 增加测距前导的时长 TTT 来累积能量、以及 (iii) 更聪明的相关/搜索/首径检测算法与硬件结构 （后文式 (30) 与"SNR∝TPmax\mathrm{SNR}\propto T P_{\max}SNR∝TPmax"就是沿着这条逻辑走的）。
2. IR-UWB 的脉冲结构：低占空比"脉冲列"是定位友好的时间标尺
论文将关注点放在 impulse radio UWB：用极短脉冲、很低的 duty cycle 传输，信息可由脉冲的时序或极性承载；对定位系统而言，核心任务是估计这些脉冲（或其前导结构）的 TOA/TDOA。
图 3：帧间隔 TfT_fTf 与总时长 TTT 是后面"精度--时延--功耗"权衡的坐标轴
图 3 画的是一串非常窄的双极性脉冲。上方箭头 TfT_fTf 表示相邻脉冲（或帧）之间的间隔（pulse repetition / frame interval），下方箭头 TTT 表示整段信号（常常对应一个用于同步/测距的前导或观测窗口）的总持续时间。直觉上 TTT 越长意味着可累积更多能量，TfT_fTf 越大意味着每帧在平均功率受限时可以"攒"更多能量但峰值功率与多径尾巴问题会变得更敏感；这些都在第四节信号设计里被公式化成"SNR∝TPmax\mathrm{SNR}\propto T P_{\max}SNR∝TPmax"与"TfT_fTf 存在上/下界"。
3. 为什么 UWB 也适合高速通信：式 (5) 的定位含义是"可在低功率下工作"
作者用 Shannon 容量提醒：在 AWGN 信道下
C=Blog2(1+SNR)(bits/s)(5) C=B\log_2(1+\mathrm{SNR})\quad(\mathrm{bits/s}) \tag{5} C=Blog2(1+SNR)(bits/s)(5)
当 BBB 很大时，即便 SNR 不高也能获得可观的数据率；反过来，从节能与共存的角度，也可以在较低功率下维持一定吞吐，从而减少对其他系统的干扰并延长电池寿命。对定位系统而言，这个论点的"侧面价值"是：UWB 的定位并不需要高功率，它更依赖时间分辨率（带宽）与处理增益（前导长度/相关累积）。
4. UWB 定位应用与标准化：为什么 IEEE 802.15.4a 把"测距能力"做成可选项
论文列举了 UWB WSN 的典型应用：医疗（体域网/病人跟踪）、安防与军事（人员授权与追踪）、库存管理（资产实时定位）、搜救（灾害/矿井/消防）、智能家居等，并指出不少场景希望达到"1 英尺以内"的精度，这使 UWB 成为很独特的候选。随后作者概述 IEEE 802.15.4a（2007 批准）作为 802.15.4 的增补，提供 UWB 与 CSS 两种可选 PHY，其中 UWB 选项带有可选的 ranging 能力，并支持若干频段（文中给出 250--750 MHz、3.244--4.742 GHz、5.944--10.234 GHz 等）。
5. 定位体系结构：直接定位 vs 两步定位（Fig.4）
定位系统通常涉及"目标节点"与若干"参考节点"之间的信号交换；位置既可由目标自算（self-positioning），也可由网络侧集中估计（remote/network-centric）。在估计算法结构上，论文强调两类：直接定位与两步定位。
图 4：两步定位多了一个"参数估计层"，它不是多余，而是工程可实现性的代价
图 4(a) 只有一块：Received Signals → Position Estimation → Position Estimate，代表直接从原始接收波形推断坐标。图 4(b) 则是 Received Signals → Estimation of Position Related Parameters → Parameter Estimates → Position Estimation → Position Estimate，代表先把波形压缩成少量"位置相关参数"（RSS、AOA、TOA...），再用几何/统计方法融合成坐标。
作者的关键判断是：两步法一般是次优的（因为压缩会丢信息），但当信号带宽很高或 SNR 足够高时，两者性能常常很接近；而两步法复杂度显著更低，所以现实系统多采用两步法。UWB 恰恰属于"带宽很高"的一类，因此两步法尤其自然。
6. 第一步：位置相关参数估计（RSS、AOA、TOA、TDOA...）
这一节是整篇的"理论核心"，因为作者用一组 CRLB 把可达精度与系统物理量（β\betaβ、SNR、阵列规模等）绑定起来。
6.1 RSS：从路径损耗模型到测距 CRLB（式 (6)--(9)）
作者先给出常见的对数距离路径损耗模型（dB 域）：
P‾(d)=P0−10nlog10(d/d0)(6) \overline{P}(d)=P_0-10n\log_{10}(d/d_0) \tag{6} P(d)=P0−10nlog10(d/d0)(6)
这里 nnn 是 path-loss exponent，P0P_0P0 是参考距离 d0d_0d0 处的平均接收功率（dB）。实际 RSS 会因反射/散射/绕射产生波动，为减弱小尺度快衰落，接收端可在时域上对功率积分平均：
P(d)=1T∫0T∣r(t;d)∣2 dt(7) P(d)=\frac{1}{T}\int_0^T |r(t;d)|^2\,dt \tag{7} P(d)=T1∫0T∣r(t;d)∣2dt(7)
即便如此仍会受到"阴影衰落"（遮挡等导致的慢变偏差）影响，论文在对数域把它建模为高斯（log-normal shadowing 的常见近似）：
P(d)∼N(P‾(d),σsh2)(8) P(d)\sim\mathcal{N}\bigl(\overline{P}(d),\sigma_{\mathrm{sh}}^2\bigr) \tag{8} P(d)∼N(P(d),σsh2)(8)
在这个模型下，作者给出无偏距离估计 d^\hat dd^ 的 CRLB（标准差形式）：
Var(d^)≥ln(10) σsh d10n(9) \sqrt{\mathrm{Var}(\hat d)} \ge \frac{\ln(10)\,\sigma_{\mathrm{sh}}\,d}{10n} \tag{9} Var(d^) ≥10nln(10)σshd(9)
这条式子的"读法"是：RSS 测距误差下界随距离 ddd 线性变差 ，与阴影方差 σsh\sigma_{\mathrm{sh}}σsh 成正比、与路径损耗指数 nnn 成反比。论文还给了一个很具体的数值例子：在 IEEE 802.15.4a 的 NLOS residential 信道模型下，若 n=4.58n=4.58n=4.58、σsh=3.51\sigma_{\mathrm{sh}}=3.51σsh=3.51，则 d=10 md=10\ \mathrm{m}d=10 m 时 (9) 给出的下界约 1.76 m1.76\ \mathrm{m}1.76 m，这直接说明 RSS 在复杂 NLOS 场景下很难做到"高精度测距"。
6.2 AOA：角度信息来自"阵列时间差"，UWB 让时间差更易估（式 (10)）
图 5：AOA 给出的不是"一个点"，而是"一个方向约束"
图 5 中下方节点测得入射方向与参考水平线的夹角 α\alphaα，于是目标只能在该方向的射线上。这是 AOA 的基本几何意义：单个角度不足以唯一定位（二维至少两角交会），但它能提供强约束，尤其当距离信息不可靠时。
图 6：ULA 的核心是把角度变成"相邻阵元到达时间差"
图 6 左侧是一列阵元沿 yyy 轴排列，相邻间距标为 lll。右侧斜虚线表示入射平面波的波前，黑色三角箭头表示传播方向；角度 α\alphaα 是传播方向与 xxx 轴之间的夹角。由于几何投影，相邻阵元的路径差为 lsinαl\sin\alphalsinα，因此相邻阵元的到达时间差为
Δτ=lsinαc \Delta\tau=\frac{l\sin\alpha}{c} Δτ=clsinα
其中 ccc 为光速。论文特别强调：在窄带系统中，时间延迟常可近似等效为"单一相位移"，可以用相位扫描做 AOA；但在 UWB 中，一个延迟对应的相位随频率变化，无法用一个相位代表，因此必须显式处理"波形的时间平移"。换句话说，UWB 的 AOA 本质上更像"多通道 TOA/时延差估计问题"。
式 (10)：AOA 的 CRLB 把 β\betaβ（有效带宽）写进了分母
作者给出在单径到达、ULA 有 NaN_aNa 个阵元、各阵元 SNR 相同的条件下，无偏 AOA 估计 α^\hat\alphaα^ 的 CRLB（标准差形式）：
Var(α^)≥3 c2 π β SNR Na(Na2−1) lcosα(10) \sqrt{\mathrm{Var}(\hat\alpha)} \ge \frac{\sqrt{3}\,c} {\sqrt{2}\,\pi\,\beta\,\sqrt{\mathrm{SNR}}\, \sqrt{N_a(N_a^2-1)}\,l\cos\alpha} \tag{10} Var(α^) ≥2 πβSNR Na(Na2−1) lcosα3 c(10)
其中，β\betaβ 与 SNR\sqrt{\mathrm{SNR}}SNR 越大，角度越准；阵列越长（NaN_aNa 越多、lll 越大）越准；当 α\alphaα 接近 ±90∘\pm 90^\circ±90∘ 时 cosα→0\cos\alpha\to 0cosα→0，角度对时间差的敏感度下降，因此误差下界上升。论文还指出一个与 RSS 对比很关键的点：AOA 的精度随 β\betaβ 线性提升，这意味着 UWB 的大带宽不仅利于 TOA，也能明显利于 AOA。
（附录 D 将把 (10) 从"阵列各通道 TOA Fisher 信息"与"消去未知公共时延 τ0\tau_0τ0"的 Schur complement 推到一致的系数，原文引用文献但未推导。）
6.3 TOA：UWB 定位的绝对主角（式 (11)--(13)）
TOA 测距要避免"绝对时钟未知"的歧义，节点要么共享时钟，要么采用两次往返测距协议（two-way ranging）交换时序信息。
在最基本的单径 AWGN 模型下：
r(t)=s(t−τ)+n(t)(11) r(t)=s(t-\tau)+n(t) \tag{11} r(t)=s(t−τ)+n(t)(11)
τ\tauτ 是到达时间（TOA）。相关器用不同候选延迟 τ^\hat\tauτ^ 的模板去相关，取相关峰对应的延迟作为估计：
τ^TOA=argmaxτ^∫r(t) s(t−τ^) dt(12) \hat\tau_{\mathrm{TOA}}=\arg\max_{\hat\tau}\int r(t)\,s(t-\hat\tau)\,dt \tag{12} τ^TOA=argτ^max∫r(t)s(t−τ^)dt(12)
文中解释相关器与匹配滤波器在该模型下是最优的（渐近达到 CRLB），但现实多径会破坏"相关峰=真实 TOA"的简单对应。
图 7：多径下"最大峰值可能不是首径"，TOA 会被系统性拉晚
图 7(a) 画的是单径接收：从"Transmission instant"（左侧虚线处）到达一个主要脉冲，图上用箭头标注其延迟 τ\tauτ。图 7(b) 则画出多径：在首径之后出现多组反射/散射脉冲，其中某些后续分量可能幅度更大。若仍用 (12) 的"最大相关峰"做 TOA，极可能选到较强但更晚的路径，导致距离估计偏大。论文因此强调 UWB 场景里常见的 first-path detection（首径检测）：目标不是找最大峰，而是尽可能找"最早可可靠检测到的路径"。
式 (13)：TOA 的 CRLB = (22πβSNR)−1\bigl(2\sqrt2\pi\beta\sqrt{\mathrm{SNR}}\bigr)^{-1}(22 πβSNR )−1
论文给出 (11) 模型下 TOA 无偏估计的 CRLB（标准差）：
Var(τ^)≥122 π β SNR(13) \sqrt{\mathrm{Var}(\hat\tau)} \ge \frac{1}{2\sqrt{2}\,\pi\,\beta\,\sqrt{\mathrm{SNR}}} \tag{13} Var(τ^) ≥22 πβSNR 1(13)
作者随后用一个直观例子强调 UWB 的威力：对"高斯脉冲的二阶导数"且脉冲宽度约 1 ns，在 SNR=5 dB 时，将 TOA 误差换算为距离误差（乘以 ccc）后，下界可小于 1 cm。该例子本质上是在说：当 β\betaβ 达到 GHz 量级时，(13) 的分母巨大，时间估计下界自然压到皮秒--十皮秒量级，换算距离就是毫米--厘米级。
6.4 TDOA：用差分抵消目标端时钟偏置（式 (14)）
TDOA 是两个参考节点接收同一信号的到达时间差。只要参考节点之间同步，就可以把目标端未知的时钟偏置在差分里消去：若分别得到两条 TOA，再相减即可；或者直接做互相关估计时延差：
$$
\hat\tau_{\mathrm{TDOA}}
\arg\max_{\tau}
\int_0^{T} r_1(t),r_2(t+\tau),dt
\tag{14}
这条式子从处理角度可以理解为：把两路接收波形在时间轴上滑动对齐，使相似度最大的位置就是 TDOA。 *** ** * ** *** ### 6.5 复合参数与 CIR/PDP：当"单个标量参数"不够时，用更丰富的信道指纹 论文还提到混合方案（TOA/AOA、TOA/RSS、TDOA/AOA、TOA/TDOA 等）以及利用多径功率延迟谱（PDP）或信道冲激响应（CIR）作为"位置指纹"的思路：TOA 只把目标限制在一个圆上，而在某些环境里 CIR 形状在空间上更独特，理论上可直接映射到位置；但代价是需要训练数据库且估计复杂度更高。 *** ** * ** *** ## 7. 第二步：由参数到位置（几何、统计、映射） 论文把第二步分成三类：几何/统计（不依赖训练数据库）与 mapping/fingerprinting（依赖训练数据库）。这三类并不是互斥的，更多是"模型驱动"到"数据驱动"的连续谱。 *** ** * ** *** ### 7.1 几何定位：圆、直线、双曲线（Fig.8--Fig.10） #### 图 8：TOA/RSS 的距离约束是"圆"，三圆交点给二维位置  图 8 里三个黑点是参考节点，圆半径标成 d1,d2,d3d_1,d_2,d_3d1,d2,d3，灰点是目标位置。每个测距结果都对应一个圆： (x−xi)2+(y−yi)2=di2,i=1,2,3 (x-x_i)\^2+(y-y_i)\^2=d_i\^2,\\quad i=1,2,3 (x−xi)2+(y−yi)2=di2,i=1,2,3 理想无噪声下三圆共点，解就是目标坐标。这就是 trilateration 的几何直觉。 #### 图 9：AOA 的方向约束是"射线"，两射线交会即可定位  图 9 中两参考节点分别测得角度 α1,α2\\alpha_1,\\alpha_2α1,α2，于是各自产生一条指向目标的直线（或射线），交点处（灰点）即目标位置。 #### 图 10：TDOA 的几何轨迹是"双曲线"，两条双曲线交点定位  图 10 中底部黑点可视为参考节点 000，左右黑点是参考节点 1,21,21,2。与节点 0 的距离差约束 ∥p−pi∥−∥p−p0∥=Δi\\\|p-p_i\\\|-\\\|p-p_0\\\|=\\Delta_i∥p−pi∥−∥p−p0∥=Δi 形成双曲线，两条双曲线交会于灰点给出目标位置。论文提醒：TDOA 可能存在几何条件不良导致的非唯一解，这与节点布局有关。 ### 7.2 图 11：噪声一来，"交点"变成"交叉区域"，几何法缺乏系统融合规则  图 11 仍然画了三个圆（对应三次测距），但由于测量带噪，圆不再在单点精确相交，交叉区域出现多个可能交点或干脆无公共交点。几何法在无噪声时非常直观，但在有噪声时缺少一个"最合理的选择原则"，也缺少一种自然的"多测量融合机制"。 *** ** * ** *** ### 7.3 统计建模：把问题写成 zi=fi(x,y)+ηiz_i=f_i(x,y)+\\eta_izi=fi(x,y)+ηi（式 (15)--(17)） 为系统处理噪声与融合多测量，作者给出统一观测模型： zi=fi(x,y)+ηi,i=1,...,Nm(15) z_i=f_i(x,y)+\\eta_i,\\quad i=1,\\dots,N_m \\tag{15} zi=fi(x,y)+ηi,i=1,...,Nm(15) 其中 ziz_izi 是测得的参数（通常把时间乘以 ccc 换成距离来统一量纲），fi(x,y)f_i(x,y)fi(x,y) 是在位置 (x,y)(x,y)(x,y) 下的"真值函数"，ηi\\eta_iηi 是测量噪声。不同参数类型的 fif_ifi 在文中写为： fi(x,y)={(x−xi)2+(y−yi)2,TOA/RSStan−1 (y−yix−xi),AOA(x−xi)2+(y−yi)2−(x−x0)2+(y−y0)2,TDOA(16) f_i(x,y)= \\begin{cases} \\sqrt{(x-x_i)\^2+(y-y_i)\^2}, \& \\text{TOA/RSS}\\\\\[4pt\] \\tan\^{-1}\\!\\left(\\dfrac{y-y_i}{x-x_i}\\right), \& \\text{AOA}\\\\\[8pt\] \\sqrt{(x-x_i)\^2+(y-y_i)\^2}-\\sqrt{(x-x_0)\^2+(y-y_0)\^2}, \& \\text{TDOA} \\end{cases} \\tag{16} fi(x,y)=⎩ ⎨ ⎧(x−xi)2+(y−yi)2 ,tan−1(x−xiy−yi),(x−xi)2+(y−yi)2 −(x−x0)2+(y−y0)2 ,TOA/RSSAOATDOA(16) 向量形式： z=f(x,y)+η(17) \\mathbf z=\\mathbf f(x,y)+\\boldsymbol\\eta \\tag{17} z=f(x,y)+η(17) 作者进一步把统计方法分为 parametric 与 nonparametric：前者假设噪声 pdf 形式已知（可能带未知参数），后者不假设 pdf 形式，只利用一些一般性质（如方差、对称性）或直接用训练数据驱动。 *** ** * ** *** ### 7.4 Bayes 与 ML：式 (18)--(21) 给出统一的"该优化什么"的答案 设未知参数向量为 Θ=\[x y ΛT\]T \\Theta=\[x\\ \\ y\\ \\ \\Lambda\^T\]\^T Θ=\[x y ΛT\]T 其中 Λ\\LambdaΛ 表示噪声分布可能的未知参数（方差、偏置等）。若存在先验 π(Θ)\\pi(\\Theta)π(Θ)，常见贝叶斯估计包括 MMSE 与 MAP： Θ\^MMSE=E{Θ∣z}(18) \\hat\\Theta_{\\mathrm{MMSE}}=\\mathbb E\\{\\Theta\|\\mathbf z\\} \\tag{18} Θ\^MMSE=E{Θ∣z}(18) Θ\^MAP=argmaxΘp(z∣Θ) π(Θ)(19) \\hat\\Theta_{\\mathrm{MAP}}=\\arg\\max_{\\Theta} p(\\mathbf z\|\\Theta)\\,\\pi(\\Theta) \\tag{19} Θ\^MAP=argΘmaxp(z∣Θ)π(Θ)(19) 若无先验，则 ML： Θ\^ML=argmaxΘp(z∣Θ)(20) \\hat\\Theta_{\\mathrm{ML}}=\\arg\\max_{\\Theta} p(\\mathbf z\|\\Theta) \\tag{20} Θ\^ML=argΘmaxp(z∣Θ)(20) 并用"噪声 pdf"写似然： p(z∣Θ)=pη(z−f(x,y) ∣ Θ)(21) p(\\mathbf z\|\\Theta)=p_{\\boldsymbol\\eta}(\\mathbf z-\\mathbf f(x,y)\\,\|\\,\\Theta) \\tag{21} p(z∣Θ)=pη(z−f(x,y)∣Θ)(21) 一旦噪声模型确定，目标函数就确定。 *** ** * ** *** ### 7.5 高斯独立噪声下的 NLS：式 (22)--(25) 把融合写成加权最小二乘 论文给出一个代表性推导（Example 1）。若噪声分量独立： p(z∣Θ)=∏i=1Nmpηi(zi−fi(x,y))(22) p(\\mathbf z\|\\Theta)=\\prod_{i=1}\^{N_m} p_{\\eta_i}\\bigl(z_i-f_i(x,y)\\bigr) \\tag{22} p(z∣Θ)=i=1∏Nmpηi(zi−fi(x,y))(22) 若每个噪声是零均值高斯且方差已知： pηi(n)=12πσiexp (−n22σi2)(23) p_{\\eta_i}(n)=\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}\\sigma_i}\\exp\\!\\left(-\\frac{n\^2}{2\\sigma_i\^2}\\right) \\tag{23} pηi(n)=2π σi1exp(−2σi2n2)(23) 代入得： p(z∣Θ)∝exp (−∑i=1Nm(zi−fi(x,y))22σi2)(24) p(\\mathbf z\|\\Theta) \\propto \\exp\\!\\left( -\\sum_{i=1}\^{N_m}\\frac{(z_i-f_i(x,y))\^2}{2\\sigma_i\^2} \\right) \\tag{24} p(z∣Θ)∝exp(−i=1∑Nm2σi2(zi−fi(x,y))2)(24) 因此 ML 等价于最小化加权残差平方和： ##
\hat{\mathbf Q}_{\mathrm{ML}}
\arg\min_{[x\ y]^T}
\sum_{i=1}{N_m}\frac{(z_i-f_i(x,y))2}{\sigma_i^2}
\tag{25}
其中常用解法包括梯度下降、以及泰勒展开线性化的迭代方法。并特别提醒：TDOA 的噪声往往相关（因为都相对同一个参考节点），因此不能简单用"独立噪声"的 (22)，而应回到更一般的 (21)。 （附录 E、F 将把 (25) 的 Gauss--Newton 线性化迭代与"相关高斯噪声→协方差加权二次型"补全，这在原文只一笔带过。） *** ** * ** *** ### 7.6 指纹/映射：用训练数据把 NLOS 与复杂多径"吸收进模型"里（式 (26)(27)） mapping 方法依赖离线训练集： T={(m1,l1),...,(mNT,lNT)}(26) \\mathcal T=\\{(\\mathbf m_1,\\mathbf l_1),\\dots,(\\mathbf m_{N_T},\\mathbf l_{N_T})\\} \\tag{26} T={(m1,l1),...,(mNT,lNT)}(26) 其中 mi\\mathbf m_imi 是测量向量（RSS/TOA/CIR 特征等），li=\[xi yi\]T\\mathbf l_i=\[x_i\\ y_i\]\^Tli=\[xi yi\]T 是位置。k-NN 的在线估计是对最近的 kkk 个训练点位置加权平均： l\^=∑i=1kwi(m) l(i)(27) \\hat{\\mathbf l}=\\sum_{i=1}\^k w_i(\\mathbf m)\\,\\mathbf l_{(i)} \\tag{27} l\^=i=1∑kwi(m)l(i)(27) 作者认为 mapping 在矿井等极端多径/NLOS 环境下可能更稳，因为解析测量模型不可靠时，数据驱动能更鲁棒；但其成本是训练集必须足够大且要随环境变化更新，否则会失效。 *** ** * ** *** ## 8. 为什么第三节专讲 TOA ranging：UWB 的"高精度优势"主要在时间类参数上 作者在第三节开头就做了取舍解释：两步定位的精度取决于第一步参数估计精度。UWB 的高时间分辨率使 T(D)OA、AOA 都可以更精确，但 RSS 即便在 UWB 中也仍很粗；AOA 又常需要阵列、复杂度较高。因此工程上更偏向 TOA（以及 TDOA）来做 UWB 定位。 *** ** * ** *** ## 9. 时间测距的四类主要误差来源：多径、MAI、NLOS、高时间分辨率带来的实现挑战 ### 9.1 多径：UWB 能"分辨多径"，但首径检测仍是核心 窄带系统的脉冲宽、各径时延差相对小，多径叠加导致相关峰偏移，需要超分辨率时延估计算法；而 UWB 的脉冲窄、分辨率高，多径往往可分辨，相关法不必依赖超分辨率即可较准。但即便可分辨，多径仍会导致"最大峰非首径"的风险，所以首径检测仍关键。作者也强调分析多径影响需要准确的 UWB 信道模型，IEEE 802.15.4a 信道模型提供了各径时延与幅度的统计信息，可据此对 TOA 误差建模。 *** ** * ** *** ### 9.2 多址干扰 MAI：网络并发会让 TOA 退化，需要时频分配与抑制技术 作者提到常用 MAI 缓解包括给用户分配不同时间槽或频段，但仍可能存在网络间干扰，因此会用非线性滤波、训练序列设计等方法降低干扰对 TOA 的破坏。 *** ** * ** *** ### 9.3 NLOS：最棘手的不是方差，而是"正偏差（bias）" 当 LOS 被遮挡，直达径可能被强烈衰减甚至不可检测。如果只是衰减但仍可检测，首径检测还有希望；如果直达径不可检测，则"最早可检测径"比真实 TOA 晚，产生正偏差，称为 NLOS error。论文认为 NLOS 误差缓解是高精度 TOA 里最具挑战的任务之一，并给出三条路线： 其一，mapping 技术因训练集隐含了 NLOS 的影响而更鲁棒；其二，若已知 NLOS 统计特性，可做 NLOS 识别与修正（例如利用 NLOS 时 TOA 方差往往更大来识别）；其三，基于散射模型得到 TOA 统计后，用 MAP/ML 做补偿。 *** ** * ** *** ### 9.4 高时间分辨率的"副作用"：时钟抖动、难以奈奎斯特采样、搜索空间巨大 作者强调四个现实问题： 第一，UWB 脉冲极短，时钟 jitter 与漂移会显著影响 TOA；第二，UWB 的奈奎斯特采样率通常是数 GHz，功耗与实现难度极高，因此希望用低采样率信息；第三，时间分辨率高意味着可能的延迟栅格极密，串行相关搜索会非常慢；因此需要快速 TOA 搜索算法与两阶段方案。 *** ** * ** *** ## 10. TOA ranging 算法：从相关找峰到快速搜索与两阶段估计（Fig.12） ### 图 12：相关式 TOA 接收机是一个"模板--相关--判决--延迟更新"的闭环  图 12 的信号流是：Received Signal → Correlator → Decision Unit → TOA Estimate。Template Signal 同时输入 Correlator。Decision Unit 的输出还反馈到 Delay Update，Delay Update 再驱动 Template Signal（本质是更新模板延迟 τ\^\\hat\\tauτ\^ 的候选值）。这张框图把"搜索"的本质画得很直白：相关器本身不决定测哪个延迟点，延迟更新策略才决定复杂度与速度。 论文讨论了几类策略：传统的串行搜索会寻找第一个超过阈值的相关输出（而不是最大峰），但仍可能耗时很长；为加速可用随机搜索或 bit reversal search 等；更通用的工程方案是"两步法"：先用低复杂度方法（如能量检测器）快速得到粗 TOA 区间，再在小区间内用相关首径检测或统计变化检测做精估计。作者还强调低功耗实现往往依赖低采样率的 TOA 估计器，包括能量检测（非相干）、低速相关输出、符号率自相关接收机等。 *** ** * ** *** ## 11. 实用设计：信号设计与硬件实现（第四节 + Fig.13--Fig.14） ### 11.1 精度指标：RMSE（式 (28)(29)）把"偏差+方差"都算进去 测距精度常用指标 RMSE： RMSE=E\[(d\^−d)2\](28) \\mathrm{RMSE}=\\sqrt{\\mathbb E\[(\\hat d-d)\^2\]} \\tag{28} RMSE=E\[(d\^−d)2\] (28) 实验/仿真中用样本均值近似： RMSE≈1N∑i=1N(d\^i−di)2(29) \\mathrm{RMSE}\\approx \\sqrt{\\frac{1}{N}\\sum_{i=1}\^{N}(\\hat d_i-d_i)\^2} \\tag{29} RMSE≈N1i=1∑N(d\^i−di)2 (29) 这里 d\^\\hat dd\^ 是距离估计，ddd 是真值。RMSE 与 CRLB 的关系是：CRLB更多是"模型正确且无偏时的理论方差下界"，RMSE 则把偏差也算进来，因此在 NLOS 等有偏场景下 RMSE 才是更真实的性能刻画。 *** ** * ** *** ### 11.2 测距信号结构：式 (30) 把 Fig.3 的脉冲列写成可分析的形式 作者采用 Fig.3 的泛化结构： s(t)=∑j=1∞aj ω(t−jTf)(30) s(t)=\\sum_{j=1}\^{\\infty} a_j\\,\\omega(t-jT_f) \\tag{30} s(t)=j=1∑∞ajω(t−jTf)(30) 其中 ω(t)\\omega(t)ω(t) 是 UWB 脉冲，TfT_fTf 是帧间隔，aja_jaj 是二元 {±1}\\{\\pm 1\\}{±1} 或三元 {−1,0,+1}\\{-1,0,+1\\}{−1,0,+1} 码，用于抗干扰与谱优化。论文举 IEEE 802.15.4a 的例子：同步前导采用三元码并用于 ranging。 在 FCC 平均 PSD 约束下，论文指出可由掩膜确定可发的最大平均功率 PmaxP_{\\max}Pmax；则每一帧可用能量量级为 TfPmaxT_f P_{\\max}TfPmax。如果测距信号包含 NfN_fNf 个脉冲（总时长 T=NfTfT=N_fT_fT=NfTf），则 (13) 里的 SNR\\mathrm{SNR}SNR 会与 TPmaxT P_{\\max}TPmax 成正比，因此测距时长越长，CRLB 越低（误差方差与 TTT 近似成反比）。 这一段在原文是"口头说明"，附录 G 将把它更明确地写成能量/SNR 的关系链，并解释为什么 TfT_fTf 既不能太大也不能太小（峰值功率上限 vs 多径帧间干扰）。 *** ** * ** *** ### 11.3 发射机实现：把通信与测距前导放进同一个 packet（Fig.13）  图 13 是一个"通信+测距"一体的典型发射链：Data → Channel Coding → Symbol Mapping → Preamble Insertion → Pulse Generation →（可选）PA → Antenna。Preamble insertion 模块把测距/同步相关的前导插在数据前面，前导既用于 ranging，也常用于捕获、同步、信道估计等。 作者对 UWB 脉冲发生器做了两类划分：一类先在基带生成再上变频到目标中心频带；另一类直接在目标频带生成（例如用高斯脉冲导数、用天线整形、用滤波整形等）。关于 PA，论文指出在极低功率法规下甚至可以不需要 PA；但在需要 PA 的场景里，效率（输出到负载的信号功率与放大器总耗电之比）对功耗至关重要。 *** ** * ** *** ### 11.4 天线：UWB 的硬件难点常常是"宽带一致性"而不是某一单点性能 论文强调 UWB 天线需要宽阻抗带宽（将失配损耗限制在 10%以内），并且要尽量保证辐射出来的脉冲波形与馈电处的脉冲（或其导数）相似，以免产生严重脉冲畸变；同时由于发射功率受监管限制，天线辐射效率必须高，否则可用距离会显著缩短。作者还提到多种宽带天线结构与带宽拓展技巧，并认为多种平面天线（bowtie、diamond、方形偶极、各类单极子）在 UWB 中较常见，因为它们紧凑、适合 PCB、带宽可做大且畸变可控。 *** ** * ** *** ### 11.5 接收机实现：全数字 vs 模拟相关/能量检测（Fig.14），"ADC"是核心瓶颈  图 14 的主链是：Antenna → Filtering → LNA →（虚线框：Analog Correlator / Energy Detector，可选）→ AGC → ADC → Digital Signal Processing。虚线框表示：只有当系统在模拟域先做相关或能量检测时才需要这块。 论文把接收机分成两类： 第一类是 all-digital：尽早 ADC，把相关等处理放到数字域，灵活性高；但必须面对 GHz 级采样率导致的高功耗与实现难度。第二类是先在模拟域做相关/能量检测，再用低速 ADC（每帧或每符号采一次也许就够），这样功耗更低但更容易受电路失配影响，且相关器数量受限使得一些复杂干扰抑制不易实现。 作者还强调一个很"UWB 工程化"的经验：相比采样率，ADC 的分辨率要求没那么苛刻；超过 4 bit 往往只有边际提升。为满足高采样率要求，常用频域 channelization 或 subsampling 等技术分摊压力。 *** ** * ** *** ## 12. 小结 TOA/AOA 的理论精度由 Fisher 信息控制，而 Fisher 信息在时间延迟问题中几乎总会把信号带宽压缩成一个有效带宽 β\\betaβ；UWB 的价值在于把 β\\betaβ 做到极大，从而把时间估计下界压到很小。但真实系统中，多径（首径检测）、MAI（抑制）、NLOS（偏差建模/识别/校正）、以及实现约束（时钟抖动、ADC 采样、搜索复杂度）会把"理论厘米级"变成"工程上要精心设计才能接近的厘米级"。这也是作者把第三节与第四节写得同样重要的原因。 ## 附录： ### 附录 A：由 (6)(8) 推出 RSS 测距 CRLB (9) 在 dB 域观测模型 (8) 可写成 P=P‾(d)+X,X∼N(0,σsh2) P=\\overline{P}(d)+X,\\quad X\\sim\\mathcal N(0,\\sigma_{\\mathrm{sh}}\^2) P=P(d)+X,X∼N(0,σsh2) 其中 P‾(d)=P0−10nlog10(d/d0) \\overline{P}(d)=P_0-10n\\log_{10}(d/d_0) P(d)=P0−10nlog10(d/d0) 对单次观测、参数为 ddd 的高斯模型，Fisher 信息是 I(d)=1σsh2(dP‾(d)dd)2 \\mathcal I(d)=\\frac{1}{\\sigma_{\\mathrm{sh}}\^2}\\left(\\frac{d\\overline{P}(d)}{dd}\\right)\^2 I(d)=σsh21(dddP(d))2 计算导数。注意 log10(d/d0)=ln(d/d0)ln10⇒dddlog10(d/d0)=1dln10 \\log_{10}(d/d_0)=\\frac{\\ln(d/d_0)}{\\ln 10} \\Rightarrow \\frac{d}{dd}\\log_{10}(d/d_0)=\\frac{1}{d\\ln 10} log10(d/d0)=ln10ln(d/d0)⇒dddlog10(d/d0)=dln101 因此 dP‾(d)dd=−10n⋅1dln10=−10ndln10 \\frac{d\\overline{P}(d)}{dd} =-10n\\cdot\\frac{1}{d\\ln 10} =-\\frac{10n}{d\\ln 10} dddP(d)=−10n⋅dln101=−dln1010n 代回 Fisher 信息： I(d)=1σsh2(10ndln10)2 \\mathcal I(d) =\\frac{1}{\\sigma_{\\mathrm{sh}}\^2} \\left(\\frac{10n}{d\\ln 10}\\right)\^2 I(d)=σsh21(dln1010n)2 CRLB： ##
\mathrm{Var}(\hat d)\ge \frac{1}{\mathcal I(d)}
\sigma_{\mathrm{sh}}^2\left(\frac{d\ln 10}{10n}\right)^2
两边开方得到： Var(d\^)≥ln(10) σsh d10n \\sqrt{\\mathrm{Var}(\\hat d)} \\ge \\frac{\\ln(10)\\,\\sigma_{\\mathrm{sh}}\\,d}{10n} Var(d\^) ≥10nln(10)σshd 即式 (9)。这也解释了为什么 RSS 的测距误差下界随 ddd 线性恶化：因为均值函数对 ddd 的导数本身是 1/d1/d1/d 级别。 *** ** * ** *** ### 附录 B：为什么相关器/匹配滤波在 (11) 模型下等价于 ML（推到 (12)） 模型 (11)： r(t)=s(t−τ)+n(t) r(t)=s(t-\\tau)+n(t) r(t)=s(t−τ)+n(t) 设噪声为零均值白高斯，双边功率谱密度 N0/2N_0/2N0/2。在连续时间高斯噪声下，给定 τ\\tauτ 的对数似然（忽略常数）与平方误差泛函成反比： ##
\ln p(r|\tau)
-\frac{1}{N_0}\int \bigl(r(t)-s(t-\tau)\bigr)^2 dt + \text{const}
最大化 lnp(r∣τ)\\ln p(r\|\\tau)lnp(r∣τ) 等价于最小化 J(τ)=∫(r(t)−s(t−τ))2dt J(\\tau)=\\int \\bigl(r(t)-s(t-\\tau)\\bigr)\^2 dt J(τ)=∫(r(t)−s(t−τ))2dt 展开： J(τ)=∫r2(t) dt−2∫r(t)s(t−τ) dt+∫s2(t−τ) dt J(\\tau)=\\int r\^2(t)\\,dt -2\\int r(t)s(t-\\tau)\\,dt + \\int s\^2(t-\\tau)\\,dt J(τ)=∫r2(t)dt−2∫r(t)s(t−τ)dt+∫s2(t−τ)dt 其中 ∫r2(t) dt\\int r\^2(t)\\,dt∫r2(t)dt 与 τ\\tauτ 无关；若 sss 能量有限且与平移无关，则 ∫s2(t−τ) dt=∫s2(t) dt\\int s\^2(t-\\tau)\\,dt=\\int s\^2(t)\\,dt∫s2(t−τ)dt=∫s2(t)dt 也与 τ\\tauτ 无关。于是最小化 J(τ)J(\\tau)J(τ) 等价于最大化互相关项： ##
\hat\tau
\arg\max_{\tau} \int r(t),s(t-\tau),dt
即式 (12)。这就说明：在 (11) 的单径 AWGN 条件下，相关器/匹配滤波的"找峰"就是 ML。 *** ** * ** *** ### 附录 C：TOA CRLB (13) 的完整推导与有效带宽 β\\betaβ 的出现方式 仍在 (11) 模型下。TOA 参数 τ\\tauτ 的 Fisher 信息（连续时间白高斯噪声）为经典结果： I(τ)=2N0∫−∞∞(∂s(t−τ)∂τ)2dt \\mathcal I(\\tau)=\\frac{2}{N_0}\\int_{-\\infty}\^{\\infty} \\left(\\frac{\\partial s(t-\\tau)}{\\partial \\tau}\\right)\^2 dt I(τ)=N02∫−∞∞(∂τ∂s(t−τ))2dt 而 ∂s(t−τ)∂τ=−s′(t−τ) \\frac{\\partial s(t-\\tau)}{\\partial \\tau}=-s'(t-\\tau) ∂τ∂s(t−τ)=−s′(t−τ) 故 ##
\mathcal I(\tau)=\frac{2}{N_0}\int (s'(t-\tau))^2 dt
\frac{2}{N_0}\int (s'(t))^2 dt
将 ∫∣s′(t)∣2dt\\int \|s'(t)\|\^2 dt∫∣s′(t)∣2dt 变换到频域。若 S(f)S(f)S(f) 为 s(t)s(t)s(t) 的傅里叶变换，则 s′(t)s'(t)s′(t) 的频域是 j2πfS(f)j2\\pi f S(f)j2πfS(f)，Parseval 定理给出： ∫∣s′(t)∣2dt=∫∣j2πfS(f)∣2df=(2π)2∫f2∣S(f)∣2df \\int \|s'(t)\|\^2 dt =\\int \|j2\\pi f S(f)\|\^2 df =(2\\pi)\^2\\int f\^2 \|S(f)\|\^2 df ∫∣s′(t)∣2dt=∫∣j2πfS(f)∣2df=(2π)2∫f2∣S(f)∣2df 定义信号能量 Es=∫∣s(t)∣2dt=∫∣S(f)∣2df E_s=\\int \|s(t)\|\^2 dt=\\int \|S(f)\|\^2 df Es=∫∣s(t)∣2dt=∫∣S(f)∣2df 定义有效带宽（RMS 带宽）： β2=∫f2∣S(f)∣2df∫∣S(f)∣2df=1Es∫f2∣S(f)∣2df \\beta\^2 =\\frac{\\int f\^2 \|S(f)\|\^2 df}{\\int \|S(f)\|\^2 df} =\\frac{1}{E_s}\\int f\^2 \|S(f)\|\^2 df β2=∫∣S(f)∣2df∫f2∣S(f)∣2df=Es1∫f2∣S(f)∣2df 则 ∫∣s′(t)∣2dt=(2π)2β2Es \\int \|s'(t)\|\^2 dt=(2\\pi)\^2\\beta\^2 E_s ∫∣s′(t)∣2dt=(2π)2β2Es 代回 Fisher 信息： I(τ)=2N0(2π)2β2Es=8π2β2EsN0 \\mathcal I(\\tau)=\\frac{2}{N_0}(2\\pi)\^2\\beta\^2 E_s =\\frac{8\\pi\^2\\beta\^2 E_s}{N_0} I(τ)=N02(2π)2β2Es=N08π2β2Es 令 SNR=Es/N0\\mathrm{SNR}=E_s/N_0SNR=Es/N0（与文中常用能量信噪比口径一致），得 I(τ)=8π2β2SNR \\mathcal I(\\tau)=8\\pi\^2\\beta\^2\\mathrm{SNR} I(τ)=8π2β2SNR CRLB： ##
\mathrm{Var}(\hat\tau)\ge \frac{1}{\mathcal I(\tau)}
\frac{1}{8\pi2\beta2\mathrm{SNR}}
开方： Var(τ\^)≥122πβSNR \\sqrt{\\mathrm{Var}(\\hat\\tau)} \\ge \\frac{1}{2\\sqrt{2}\\pi\\beta\\sqrt{\\mathrm{SNR}}} Var(τ\^) ≥22 πβSNR 1 即式 (13)。若要换算距离 d=cτd=c\\taud=cτ，则 Var(d\^)≥c22πβSNR \\sqrt{\\mathrm{Var}(\\hat d)}\\ge \\frac{c}{2\\sqrt{2}\\pi\\beta\\sqrt{\\mathrm{SNR}}} Var(d\^) ≥22 πβSNR c 这就是作者说"UWB 可到厘米级"的数学根。 *** ** * ** *** ### 附录 D：ULA 单径条件下 AOA CRLB (10) 的推导（含消去未知公共时延） 这部分推导的关键是：阵列每个通道都像一个"TOA 观测器"，但它们共享一个未知公共延迟 τ0\\tau_0τ0（传播到阵列参考点的整体延迟），角度只体现在"随阵元编号线性增长的相对延迟"上。 设 ULA 有 NaN_aNa 个阵元，编号 m=0,1,...,Na−1m=0,1,\\dots,N_a-1m=0,1,...,Na−1。单径平面波入射角为 α\\alphaα，第 mmm 个阵元的到达时间为 τm(α)=τ0+mlsinαc \\tau_m(\\alpha)=\\tau_0+\\frac{m l\\sin\\alpha}{c} τm(α)=τ0+cmlsinα 其中 lll 为阵元间距。对参数向量 θ=\[τ0,α\]T\\theta=\[\\tau_0,\\alpha\]\^Tθ=\[τ0,α\]T，有 ∂τm∂τ0=1,∂τm∂α=mlcosαc \\frac{\\partial \\tau_m}{\\partial \\tau_0}=1,\\qquad \\frac{\\partial \\tau_m}{\\partial \\alpha}=\\frac{m l\\cos\\alpha}{c} ∂τ0∂τm=1,∂α∂τm=cmlcosα 在每个阵元上，若接收信号满足 (11) 的单径 AWGN 模型，则"单个延迟参数"的 Fisher 信息与附录 C 相同： Iτ=8π2β2SNR \\mathcal I_{\\tau} = 8\\pi\^2\\beta\^2\\mathrm{SNR} Iτ=8π2β2SNR （这里 SNR\\mathrm{SNR}SNR 指每个阵元的信噪比，论文假设所有阵元相同。） 由于各阵元噪声独立，总 Fisher 信息矩阵是各阵元信息累加： I(θ)=∑m=0Na−1Iτ\[∂τm∂τ0∂τm∂α\]\[∂τm∂τ0∂τm∂α\] \\mathbf I(\\theta)= \\sum_{m=0}\^{N_a-1} \\mathcal I_{\\tau} \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial \\tau_m}{\\partial \\tau_0}\\\\\[4pt\] \\frac{\\partial \\tau_m}{\\partial \\alpha} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial \\tau_m}{\\partial \\tau_0}\& \\frac{\\partial \\tau_m}{\\partial \\alpha} \\end{bmatrix} I(θ)=m=0∑Na−1Iτ\[∂τ0∂τm∂α∂τm\]\[∂τ0∂τm∂α∂τm\] 因此 ##
I_{\tau_0\tau_0}
\mathcal I_{\tau}\sum_{m=0}^{N_a-1} 1
\mathcal I_{\tau}N_a
##
I_{\alpha\alpha}
\mathcal I_{\tau}\sum_{m=0}^{N_a-1}\left(\frac{m l\cos\alpha}{c}\right)^2
\mathcal I_{\tau}\left(\frac{l\cos\alpha}{c}\right)2\sum_{m=0}{N_a-1}m^2
##
I_{\tau_0\alpha}
\mathcal I_{\tau}\sum_{m=0}^{N_a-1}
\left(1\cdot\frac{m l\cos\alpha}{c}\right)
\mathcal I_{\tau}\left(\frac{l\cos\alpha}{c}\right)\sum_{m=0}^{N_a-1}m
当 τ0\\tau_0τ0 是 nuisance parameter 时，α\\alphaα 的等效 Fisher 信息是 Schur complement： ##
I_{\mathrm{eff}}(\alpha)
I_{\alpha\alpha}-\frac{I_{\tau_0\alpha}^2}{I_{\tau_0\tau_0}}
把上式代入，可得 ##
I_{\mathrm{eff}}(\alpha)
\mathcal I_{\tau}\left(\frac{l\cos\alpha}{c}\right)^2
\left(
\sum m^2 - \frac{(\sum m)^2}{N_a}
\right)
而 ∑m=0Na−1m=Na(Na−1)2,∑m=0Na−1m2=(Na−1)Na(2Na−1)6 \\sum_{m=0}\^{N_a-1}m=\\frac{N_a(N_a-1)}{2},\\qquad \\sum_{m=0}\^{N_a-1}m\^2=\\frac{(N_a-1)N_a(2N_a-1)}{6} m=0∑Na−1m=2Na(Na−1),m=0∑Na−1m2=6(Na−1)Na(2Na−1) 可化简得到（这一步很关键，它等价于"阵元编号的方差×阵元数"）： ##
\sum m^2 - \frac{(\sum m)^2}{N_a}
\frac{N_a(N_a^2-1)}{12}
所以 ##
I_{\mathrm{eff}}(\alpha)
\mathcal I_{\tau}\left(\frac{l\cos\alpha}{c}\right)^2
\frac{N_a(N_a^2-1)}{12}
CRLB： Var(α\^)≥1Ieff(α) \\mathrm{Var}(\\hat\\alpha)\\ge \\frac{1}{I_{\\mathrm{eff}}(\\alpha)} Var(α\^)≥Ieff(α)1 开方： Var(α\^)≥clcosα⋅1Iτ⋅12Na(Na2−1) \\sqrt{\\mathrm{Var}(\\hat\\alpha)} \\ge \\frac{c}{l\\cos\\alpha} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{\\mathcal I_{\\tau}}} \\cdot \\sqrt{\\frac{12}{N_a(N_a\^2-1)}} Var(α\^) ≥lcosαc⋅Iτ 1⋅Na(Na2−1)12 代入 Iτ=8π2β2SNR\\mathcal I_{\\tau}=8\\pi\^2\\beta\^2\\mathrm{SNR}Iτ=8π2β2SNR，得到 Var(α\^)≥clcosα⋅18πβSNR⋅12Na(Na2−1) \\sqrt{\\mathrm{Var}(\\hat\\alpha)} \\ge \\frac{c}{l\\cos\\alpha} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{8}\\pi\\beta\\sqrt{\\mathrm{SNR}}} \\cdot \\sqrt{\\frac{12}{N_a(N_a\^2-1)}} Var(α\^) ≥lcosαc⋅8 πβSNR 1⋅Na(Na2−1)12 ##
\frac{\sqrt{3},c}
{\sqrt{2},\pi,\beta,\sqrt{\mathrm{SNR}},
\sqrt{N_a(N_a^2-1)},l\cos\alpha}
完全一致于式 (10)。这也清晰解释了式 (10) 里那个看似"神秘"的 Na(Na2−1)\\sqrt{N_a(N_a\^2-1)}Na(Na2−1) ：它来自阵元编号去均值后的二次和。 *** ** * ** *** ### 附录 E：由 (15)(23) 推出 (25) 后，如何用 Gauss--Newton 线性化求解 式 (25) 是一个非线性加权最小二乘。写成矩阵形式更清晰： ##
\hat{\mathbf q}
\arg\min_{\mathbf q=[x\ y]^T}
\left(\mathbf z-\mathbf f(\mathbf q)\right)^T
\mathbf W
\left(\mathbf z-\mathbf f(\mathbf q)\right)
其中 W=diag(1/σ12,...,1/σNm2)\\mathbf W=\\mathrm{diag}(1/\\sigma_1\^2,\\dots,1/\\sigma_{N_m}\^2)W=diag(1/σ12,...,1/σNm2)。 Gauss--Newton 的核心是对 f(q)\\mathbf f(\\mathbf q)f(q) 在当前迭代点 qk\\mathbf q_kqk 做一阶泰勒展开： f(qk+Δ)≈f(qk)+JkΔ \\mathbf f(\\mathbf q_k+\\Delta) \\approx \\mathbf f(\\mathbf q_k)+\\mathbf J_k\\Delta f(qk+Δ)≈f(qk)+JkΔ Jk\\mathbf J_kJk 是 Jacobian： Jk=∂f∂q∣q=qk \\mathbf J_k=\\left.\\frac{\\partial \\mathbf f}{\\partial \\mathbf q}\\right\|_{\\mathbf q=\\mathbf q_k} Jk=∂q∂f q=qk 把线性化代入目标函数，得到关于 Δ\\DeltaΔ 的二次型最小化，解满足正规方程： ##
(\mathbf J_k^T\mathbf W\mathbf J_k)\Delta
\mathbf J_k^T\mathbf W\left(\mathbf z-\mathbf f(\mathbf q_k)\right)
于是迭代更新： qk+1=qk+Δ \\mathbf q_{k+1}=\\mathbf q_k+\\Delta qk+1=qk+Δ 对于 TOA/RSS 类型的 fi(x,y)=(x−xi)2+(y−yi)2f_i(x,y)=\\sqrt{(x-x_i)\^2+(y-y_i)\^2}fi(x,y)=(x−xi)2+(y−yi)2 ，其偏导数为： ∂fi∂x=x−xi(x−xi)2+(y−yi)2,∂fi∂y=y−yi(x−xi)2+(y−yi)2 \\frac{\\partial f_i}{\\partial x}= \\frac{x-x_i}{\\sqrt{(x-x_i)\^2+(y-y_i)\^2}},\\qquad \\frac{\\partial f_i}{\\partial y}= \\frac{y-y_i}{\\sqrt{(x-x_i)\^2+(y-y_i)\^2}} ∂x∂fi=(x−xi)2+(y−yi)2 x−xi,∂y∂fi=(x−xi)2+(y−yi)2 y−yi 把这些导数填进 Jk\\mathbf J_kJk 就可实现一个标准的"加权迭代最小二乘定位器"。这就是原文提到的"Taylor series linearization techniques"的具体形式。 *** ** * ** *** ### 附录 F：TDOA 噪声相关时，(25) 应如何改写（原文只提示未展开） 作者指出 TDOA 的噪声项往往相关，因为多个 TDOA 都相对同一个参考节点生成，会共享同一参考端 TOA 误差项。此时若仍用 (25) 的"独立噪声对角权重"会不匹配。 若噪声向量 η∼N(0,Σ)\\boldsymbol\\eta\\sim\\mathcal N(\\mathbf 0,\\mathbf\\Sigma)η∼N(0,Σ) 为相关高斯，则 p(z∣q)∝exp (−12(z−f(q))TΣ−1(z−f(q))) p(\\mathbf z\|\\mathbf q) \\propto \\exp\\!\\left( -\\frac{1}{2} (\\mathbf z-\\mathbf f(\\mathbf q))\^T \\mathbf\\Sigma\^{-1} (\\mathbf z-\\mathbf f(\\mathbf q)) \\right) p(z∣q)∝exp(−21(z−f(q))TΣ−1(z−f(q))) 因此 ML 等价于最小化 ##
\hat{\mathbf q}
\arg\min_{\mathbf q}
(\mathbf z-\mathbf f(\mathbf q))^T
\mathbf\Sigma^{-1}
(\mathbf z-\mathbf f(\mathbf q))
这就是"协方差加权"的广义最小二乘（GLS）。其 Gauss--Newton 更新只需把附录 E 的 W\\mathbf WW 换成 Σ−1\\mathbf\\Sigma\^{-1}Σ−1： ##
(\mathbf J_kT\mathbf\Sigma{-1}\mathbf J_k)\Delta
\mathbf J_kT\mathbf\Sigma{-1}\left(\mathbf z-\mathbf f(\mathbf q_k)\right)
这部分推导与结论是理解"为什么 TDOA 系统要特别处理相关性"的关键。 *** ** * ** *** ### 附录 G：式 (30) 与 FCC PSD 约束如何推出"SNR∝TPmax\\mathrm{SNR}\\propto T P_{\\max}SNR∝TPmax"（原文为文字叙述） 原文在第四节给出的逻辑是：FCC 掩膜决定最大平均功率 PmaxP_{\\max}Pmax，从而一帧内最大能量与 TfPmaxT_fP_{\\max}TfPmax 同阶；若有 NfN_fNf 帧，总能量与 NfTfPmax=TPmaxN_fT_fP_{\\max}=TP_{\\max}NfTfPmax=TPmax 同阶，于是 (13) 中 SNR\\mathrm{SNR}SNR 与 TPmaxTP_{\\max}TPmax 成正比，因而误差下界与 TTT 反比。 把这段更公式化地写出来，可这样理解：在平均功率受限为 PmaxP_{\\max}Pmax 的前提下，观测窗口 TTT 内可发送/接收的有效能量上界近似为 Es≲∫0TPmax dt=TPmax E_s \\lesssim \\int_0\^T P_{\\max}\\,dt = TP_{\\max} Es≲∫0TPmaxdt=TPmax 若噪声谱密度固定，则能量信噪比 SNR=EsN0∝TPmax \\mathrm{SNR}=\\frac{E_s}{N_0}\\propto TP_{\\max} SNR=N0Es∝TPmax 代入 TOA CRLB（忽略常数）： Var(τ\^)≳1β2SNR∝1β2 T Pmax \\mathrm{Var}(\\hat\\tau)\\gtrsim \\frac{1}{\\beta\^2\\mathrm{SNR}} \\propto \\frac{1}{\\beta\^2\\,T\\,P_{\\max}} Var(τ\^)≳β2SNR1∝β2TPmax1 这就把"测距前导更长更准"的经验规律与 (13) 的理论下界连成了同一条链。与此同时也能解释 TfT_fTf 的双重约束：增大 TfT_fTf 可提高单脉冲能量上限（在平均功率受限下），但会推高峰值功率需求并可能触碰硬件/法规的峰值限制；减小 TfT_fTf 又可能使多径尾巴跨帧叠加导致帧间干扰。