日拱一卒之FMCW雷达基本原理5

FMCW雷达基本原理5

理论结合实际，才能读懂读通，当然实际雷达开发的过程中还会遇到别的问题，这里就简单的用matlab进行仿真，对FMCW雷达的应用有一个初步的认识就好。

clc; clear; close all;

%% ================= 1. 雷达参数设置 =================
c = 3e8;                % 光速
fc = 77e9;              % 载波频率 77GHz
lambda = c/fc;          % 波长 (~3.9mm)

B = 150e6;              % 带宽 150MHz
Tc = 40e-6;             % Chirp 持续时间 (40us)
N_chirps = 64;          % 一帧里的 Chirp 数量
Fs = 10e6;              % 采样率
Ns = round(Tc * Fs);    % 每个 Chirp 的采样点数

% 标准 DSP 时间轴 (0 ~ N-1)
t = (0:Ns-1) / Fs;      
Slope = B/Tc;           % 调频斜率

%% ================= 2. 目标设置 =================
% 目标1: 20m, 0m/s (静止)
R1 = 20; v1 = 0;

% 目标2: 50m, 10m/s (远离，产生多普勒)
R2 = 50; v2 = 10;

%% ================= 3. 信号生成 =================
Mix_Data_Matrix = zeros(N_chirps, Ns);

fprintf('正在生成雷达回波信号...\n');
for m = 1:N_chirps
    t_slow = (m-1) * Tc; % 慢时间
    
    % 更新目标位置 (R = R0 + v*t)
    r1_curr = R1 + v1 * t_slow;
    r2_curr = R2 + v2 * t_slow;
    
    % 计算往返延迟
    tau1 = 2 * r1_curr / c;
    tau2 = 2 * r2_curr / c;
    
    % 生成中频信号 (IF Signal)
    Sig1 = exp(1j * 2*pi * (Slope * tau1 * t + fc * tau1));
    Sig2 = exp(1j * 2*pi * (Slope * tau2 * t + fc * tau2));
    
    % 叠加噪声 (SNR 调整)
    Noise = 0.5 * (randn(1, Ns) + 1j*randn(1, Ns));
    Mix_Data_Matrix(m, :) = Sig1 + Sig2 + Noise;
end

%% ================= 4. 信号处理 (FFT) =================

% --- 第一步: Range-FFT (对快时间做FFT) ---
Range_Map = fft(Mix_Data_Matrix, Ns, 2); 
Range_Map = Range_Map(:, 1:Ns/2); % 取正半轴

% 生成距离轴
f_bin_res = Fs / Ns;
f_axis = (0:Ns/2-1) * f_bin_res;
R_axis = c * f_axis / (2 * Slope); 

% --- 第二步: Doppler-FFT (对慢时间做FFT) ---
Doppler_Map = fft(Range_Map, N_chirps, 1);    
Doppler_Map = fftshift(Doppler_Map, 1);       % 零频移到中间

% 生成速度轴
v_res = lambda / (2 * N_chirps * Tc); % 速度分辨率
v_idx = -N_chirps/2 : N_chirps/2 - 1;
v_axis = v_idx * v_res;

%% ================= 5. 可视化绘图 =================
figure('Color', 'white', 'Position', [50, 50, 1200, 800]);

% --- 子图1: 混频器输出 (Mixer Output) ---
subplot(2,2,1);
plot(t*1e6, real(Mix_Data_Matrix(1,:)), 'LineWidth', 1);
title('1. 混频器输出 (单个Chirp时域)');
xlabel('时间 (us)'); ylabel('幅度');
grid on; axis tight;
subtitle('充满了噪声和杂波，看不出目标');

% --- 子图2: Range-FFT 结果堆叠 ---
subplot(2,2,2);
% 这里的维度是 [N_chirps x N_bins]，所以 X轴是距离，Y轴是Chirp编号
imagesc(R_axis, 1:N_chirps, abs(Range_Map));
title('2. Range-FFT 结果 (垂直堆叠)');
xlabel('距离 (m)'); ylabel('Chirp 编号 (慢时间)');
colormap(jet);
xline(R1, 'w--', 'LineWidth', 1.5);
xline(R2, 'w--', 'LineWidth', 1.5);
xlim([0 80]);
subtitle('两条亮线位置不动，但颜色(相位)在变');

% --- 子图3: 相位旋转演示 (Phasor Rotation) ---
% 提取目标2 (50m) 的相位数据
[~, idx_target2] = min(abs(R_axis - R2)); 
phase_history = angle(Range_Map(:, idx_target2)); 

subplot(2,2,3);
% 画单位圆背景
theta = linspace(0, 2*pi, 100);
plot(cos(theta), sin(theta), 'k:', 'LineWidth', 1); hold on;
% 画前12个Chirp的相位矢量
for k = 1:12
    phasor = exp(1j * phase_history(k));
    col = [1 0 0] * (1 - (k-1)/15); % 颜色渐变
    % 画箭头
    quiver(0, 0, real(phasor), imag(phasor), 'Color', col, ...
        'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5, 'AutoScale', 'off');
end
axis equal; grid on; xlim([-1.2 1.2]); ylim([-1.2 1.2]);
title('3. 目标2(50m, 10m/s) 的相位旋转');
xlabel('实部 I'); ylabel('虚部 Q');
text(-0.9, -1.1, '箭头随Chirp逆时针旋转 \rightarrow', 'Color', 'r', 'FontSize', 10);

% --- 子图4: 2D-FFT 最终结果 (已修正) ---
subplot(2,2,4);

% [重要修正] 转置 Doppler_Map 以匹配 (x=速度, y=距离)
% Doppler_Map.' 的维度变成 [200 x 64]
imagesc(v_axis, R_axis, abs(Doppler_Map).'); 

title('4. 最终结果: 距离-速度热力图');
xlabel('速度 (m/s)'); ylabel('距离 (m)');
axis xy; % 翻转Y轴方向，让0在下面
colormap(jet); 
colorbar;

% 限制显示范围，聚焦目标
ylim([0 80]); 
xlim([-15 15]); 

% 加上辅助线验证 (理论位置)
hold on;
xline(v1, 'w--', 'LineWidth', 1.5); 
yline(R1, 'w--', 'LineWidth', 1.5);
plot(v1, R1, 'wo', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % 画个圈

xline(v2, 'w--', 'LineWidth', 1.5); 
yline(R2, 'w--', 'LineWidth', 1.5);
plot(v2, R2, 'wo', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % 画个圈

legend('理论位置', 'Location', 'best');
subtitle('红点精准落在白虚线交叉处');

fprintf('绘图完成！请查看弹出的窗口。\n');

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这是一段MATLAB仿真的代码，分析一下：

第一部分：搭建雷达系统 (System Parameters)

这部分定义了雷达的物理属性，决定了它"能看多远"和"能看多细"。

c = 3e8;                % 光速
fc = 77e9;              % 载波频率 77GHz
lambda = c/fc;          % 波长
B = 150e6;              % 带宽 150MHz
Tc = 40e-6;             % Chirp 持续时间
Slope = B/Tc;           % [关键] 调频斜率 S

‍

1. 波长 λ \lambda λ：

   λ = c f c ≈ 3.9 mm \lambda = \frac{c}{f_c} \approx 3.9 \text{mm} λ=fcc≈3.9mm

   决定了雷达对微小位移（相位变化）的敏感度。测速全靠它。

2. 调频斜率 S S S (Slope) ：

   S = B T c S = \frac{B}{T_c} S=TcB

   这是 FMCW 的"刻度尺"。它定义了频率随时间增加得有多快。后续计算距离时，需要用它把"频率差"换算回"时间延迟"。

3. Tc = 40e-6; % Chirp 持续时间 (40us)

   Fs = 10e6; % 采样率

   Ns = round(Tc * Fs); % 每个 Chirp 的采样点数

   这里采样点数是通过计算得出的，可以想想为什么这么计算。

---

第二部分：信号生成核心 (Signal Generation)

这是整个仿真中最"硬核"的部分，模拟了物理世界中的回波混频。

for m = 1:N_chirps
    t_slow = (m-1) * Tc;       % 慢时间
    r1_curr = R1 + v1 * t_slow;% 实时距离
    tau1 = 2 * r1_curr / c;    % 往返延迟
    
    % [核心公式] 生成中频信号
    Sig1 = exp(1j * 2*pi * (Slope * tau1 * t + fc * tau1));
    ...
end

对应的物理原理与公式推导

这行代码 exp(...)​ 实际上是 FMCW 混频输出公式 的直接实现。

1. 发射信号 (Tx) ：频率随时间 t t t 线性增加。

   相位 ϕ T x ( t ) = 2 π ( f c t + 1 2 S t 2 ) \phi_{Tx}(t) = 2\pi (f_c t + \frac{1}{2} S t^2) ϕTx(t)=2π(fct+21St2)

2. 接收信号 (Rx) ：比发射晚了 τ \tau τ 秒。

   相位 ϕ R x ( t ) = 2 π ( f c ( t − τ ) + 1 2 S ( t − τ ) 2 ) \phi_{Rx}(t) = 2\pi (f_c (t-\tau) + \frac{1}{2} S (t-\tau)^2) ϕRx(t)=2π(fc(t−τ)+21S(t−τ)2)

3. 混频 (Mixer) ：执行减法 Δ ϕ = ϕ T x − ϕ R x \Delta \phi = \phi_{Tx} - \phi_{Rx} Δϕ=ϕTx−ϕRx。

   忽略掉高次项（ S τ 2 S\tau^2 Sτ2 极小），剩下的相位差为：

   Δ ϕ ( t ) ≈ 2 π ( S τ t ⏟ 频率项 + f c τ ⏟ 相位项 ) \Delta \phi(t) \approx 2\pi \left( \underbrace{S \tau t}{\text{频率项}} + \underbrace{f_c \tau}{\text{相位项}} \right) Δϕ(t)≈2π 频率项 Sτt+相位项 fcτ

解读代码中的两项：

• 第1项：​ ​Slope * tau1 * t​ ​ (距离频率项)

  这一项包含快时间 t t t。

  对 t t t 求导得到频率： f = S τ f = S \tau f=Sτ。这就是拍频 (Beat Frequency) 。

• 作用： 给 Range-FFT 提供频率信息，用来算距离。

• 第2项：​ ​fc * tau1​ ​ (多普勒相位项)

  这一项不包含 t t t，对于单个 Chirp 来说是个常数（初相）。

  但在不同的 Chirp 之间（ m m m 变化），由于物体运动， r c u r r r_{curr} rcurr 变了 → \rightarrow → τ \tau τ 变了。

  相位变化量： Δ ϕ = 2 π f c Δ τ \Delta \phi = 2\pi f_c \Delta \tau Δϕ=2πfcΔτ。

• 作用： 给 Doppler-FFT 提供相位旋转信息，用来算速度。

---

第三部分：距离测量 (Range-FFT)

Range_Map = fft(Mix_Data_Matrix, Ns, 2); % 沿维度2(快时间)做FFT

% 坐标轴转换公式
f_bin_res = Fs / Ns;             
f_axis = (0:Ns/2-1) * f_bin_res; % 得到拍频 fb
R_axis = c * f_axis / (2 * Slope); % 将 fb 转换为 距离 R

对应的物理原理

这里利用的是 拍频与距离的线性关系。

1. 拍频公式 ：

   由混频原理可知，拍频 f b f_b fb 等于斜率乘以延迟：

   f b = S ⋅ τ f_b = S \cdot \tau fb=S⋅τ

2. 代入延迟公式 τ = 2 R c \tau = \frac{2R}{c} τ=c2R：

   f b = S ⋅ 2 R c f_b = S \cdot \frac{2R}{c} fb=S⋅c2R

3. 反解距离 R R R（即代码中的最后一行）：

   R = c ⋅ f b 2 S R = \frac{c \cdot f_b}{2S} R=2Sc⋅fb

FFT 找到了信号里包含哪个频率 f b f_b fb，代码用上面的公式把这个频率直接翻译成了距离 R R R。

!NOTE

坐标中的转换公式，可以好好想想

---

第四部分：速度测量 (Doppler-FFT)

这是最神奇的一步，利用相位旋转测速。

Doppler_Map = fft(Range_Map, N_chirps, 1); % 沿维度1(慢时间)做FFT

% 坐标轴转换公式
v_res = lambda / (2 * N_chirps * Tc); 
v_idx = -N_chirps/2 : N_chirps/2 - 1;
v_axis = v_idx * v_res;

对应的物理原理

这里利用的是 多普勒效应引起的相位变化。

1. 位移与相位 ：

   相邻两个 Chirp 间隔时间 T c T_c Tc。物体移动了 Δ d = v ⋅ T c \Delta d = v \cdot T_c Δd=v⋅Tc。

   这导致的相位变化 Δ ϕ \Delta \phi Δϕ 为：

   Δ ϕ = 4 π Δ d λ = 4 π v T c λ \Delta \phi = \frac{4\pi \Delta d}{\lambda} = \frac{4\pi v T_c}{\lambda} Δϕ=λ4πΔd=λ4πvTc

2. 角频率与 FFT ：

   如果在慢时间轴上做 FFT，得到的"频率"索引 k k k (代码中的 v_idx) 代表了相位的旋转速度。

   其关系满足：

   2 π k N c h i r p s = Δ ϕ = 4 π v T c λ 2\pi \frac{k}{N_{chirps}} = \Delta \phi = \frac{4\pi v T_c}{\lambda} 2πNchirpsk=Δϕ=λ4πvTc

3. 反解速度 v v v：

   v = λ 2 T c ⋅ k N c h i r p s v = \frac{\lambda}{2 T_c} \cdot \frac{k}{N_{chirps}} v=2Tcλ⋅Nchirpsk

   观察代码：v_res = lambda / (2 * N_chirps * Tc)​ 其实就是上面公式里的系数部分。

   所以 v = v_idx * v_res 就是把 FFT 的索引变成了速度值。

!NOTE

同样，坐标轴的转换还是值得去想想为什么需要这么做。

结果

总结全流程

1. S τ t S \tau t Sτt (快时间项) → Range-FFT \xrightarrow{\text{Range-FFT}} Range-FFT 提取出 f b f_b fb → R = c f b 2 S \xrightarrow{R=\frac{c f_b}{2S}} R=2Scfb 算出距离。
2. f c τ f_c \tau fcτ (慢时间项) → Doppler-FFT \xrightarrow{\text{Doppler-FFT}} Doppler-FFT 提取出 Δ ϕ \Delta \phi Δϕ → v = λ Δ ϕ 4 π T c \xrightarrow{v=\frac{\lambda \Delta \phi}{4\pi T_c}} v=4πTcλΔϕ 算出速度。

坐标轴转换

FFT（快速傅里叶变换）本质上是一个数学工具，它只懂 "数字" （索引 Index 0, 1, 2...），不懂 "物理" （米、米/秒）。

之所以能把 FFT 的结果坐标轴画成"距离"和"速度"，是因为在雷达设计之初，就建立了一套严密的物理映射关系。

一、 距离轴转换 (Range Axis)

代码源头：

f_bin_res = Fs / Ns;              % 1. FFT的一个格子代表多少Hz
f_axis = (0:Ns/2-1) * f_bin_res;  % 2. 生成频率轴 (Hz)
R_axis = c * f_axis / (2 * Slope);% 3. 把 Hz 换算成 米

1. 第一步：从"格子(Bin)"到"频率(Hz)"

FFT 的输出是一个数组。数组的第 k k k 个元素（Bin k k k）代表什么频率？

这取决于你的采样参数：

• 总带宽： 也就是采样率 F s F_s Fs（Sampling Rate）。
• 切成几份： 也就是采样点数 N s N_s Ns。

所以，每一个格子代表的频率宽度（分辨率）是：

Δ f = F s N s \Delta f = \frac{F_s}{N_s} Δf=NsFs

第 k k k 个格子的频率就是： f = k ⋅ Δ f f = k \cdot \Delta f f=k⋅Δf。

2. 第二步：从"频率(Hz)"到"时间(s)"

这是 FMCW 的核心特性。

• 发射的 Chirp 是线性调频波，斜率是 S S S (Slope)。
• 意思是：每过 1秒，频率增加 S S S Hz。
• 反过来：如果你看到了 f b f_b fb 的频率差，说明信号延迟了 τ \tau τ 秒。

τ = f b S \tau = \frac{f_b}{S} τ=Sfb

3. 第三步：从"时间(s)"到"距离(m)"

• 信号是电磁波，以光速 c c c 飞行。
• 信号走了往返（去+回），所以路程是 2 R 2R 2R。

τ = 2 R c \tau = \frac{2R}{c} τ=c2R

4. 终极合并：从"频率"到"距离"

联立上面两步：

f b S = 2 R c \frac{f_b}{S} = \frac{2R}{c} Sfb=c2R

把 R R R 挪到左边：

R = c ⋅ f b 2 S R = \frac{c \cdot f_b}{2S} R=2Sc⋅fb

这就是代码中 R_axis = c * f_axis / (2 * Slope) 的物理来源。

• 直观理解： 频率越高 → \rightarrow → 延迟越大 → \rightarrow → 距离越远。

---

二、 速度轴转换 (Velocity Axis)

代码源头：

v_res = lambda / (2 * N_chirps * Tc); % 1. 一个格子代表多少速度
v_idx = -N_chirps/2 : N_chirps/2 - 1; % 2. 生成索引 (-32 ~ +31)
v_axis = v_idx * v_res;               % 3. 生成速度轴

这个转换稍微绕一点，因为它涉及到了相位。

1. 物理源头：相位差与速度

正如之前分析的，相邻两个 Chirp（间隔 T c T_c Tc）之间，物体移动距离 Δ d = v ⋅ T c \Delta d = v \cdot T_c Δd=v⋅Tc。

这导致的相位变化 Δ ϕ \Delta \phi Δϕ 是：

Δ ϕ = 4 π ⋅ ( v ⋅ T c ) λ \Delta \phi = \frac{4\pi \cdot (v \cdot T_c)}{\lambda} Δϕ=λ4π⋅(v⋅Tc)

2. FFT 的视角：角频率

我们在慢时间维度（Chirp 序列）上做 FFT。FFT 看到的"频率"（这里指数字角频率 ω \omega ω）其实就是相位变化率。

FFT 的第 k k k 个格子，代表的相位变化是：

Δ ϕ = 2 π ⋅ k N c h i r p s \Delta \phi = \frac{2\pi \cdot k}{N_{chirps}} Δϕ=Nchirps2π⋅k

(注：这里假设 k k k 覆盖一个完整周期)

3. 建立映射：从"格子"到"速度"

让上面两个 Δ ϕ \Delta \phi Δϕ 相等：

4 π v T c λ = 2 π k N c h i r p s \frac{4\pi v T_c}{\lambda} = \frac{2\pi k}{N_{chirps}} λ4πvTc=Nchirps2πk

4. 求解速度 v v v

我们把 v v v 解出来：

v = ( λ 2 ⋅ T c ⋅ N c h i r p s ) ⏟ 代码中的 v_res ⋅ k v = \underbrace{\left( \frac{\lambda}{2 \cdot T_c \cdot N_{chirps}} \right)}_{\text{代码中的 v\_res}} \cdot k v=代码中的 v_res (2⋅Tc⋅Nchirpsλ)⋅k

• λ \lambda λ：波长。波长越短，同样的移动产生的相位变化越大，测量越灵敏。
• T c ⋅ N c h i r p s T_c \cdot N_{chirps} Tc⋅Nchirps：这就是一帧的总时间 T f r a m e T_{frame} Tframe。观测时间越长，速度分辨率越高（分母越大，分辨率数值越小）。

这就是代码中 v_res 公式的由来。

总结表

维度	FFT 输出 (数学)	中间物理量 (桥梁)	最终物理量 (人话)	核心转换因子
距离轴	频率 Bin ( k k k)	拍频 f b f_b fb (Hz)	距离 R R R (m)	c 2 S \frac{c}{2S} 2Sc (光速除以2倍斜率)
速度轴	频率 Bin ( k k k)	相位差 Δ ϕ \Delta \phi Δϕ (rad)	速度 v v v (m/s)	λ 2 T f r a m e \frac{\lambda}{2 T_{frame}} 2Tframeλ (波长除以2倍总时长)

• 距离转换 依赖于 Slope (调频斜率) 。
• 速度转换 依赖于 Wavelength (波长) 和 Time (观测时长) 。