星际能量矩阵：树形 DP 的递归与非递归双解

在算法竞赛和工程开发中，处理树形结构上的最大独立集（Maximum Independent Set）及其变种问题是非常经典的。

今天我们不谈无聊的"上司与下属"，而是来解决一个星际级别的工程难题------能量矩阵的过载保护 。我们将对比两种解法：DFS 递归 和BFS非递归（防爆栈）。

题目背景：能量矩阵的共振干扰

题目名称：星际能量矩阵

【背景描述】 你是一座巨型空间站的首席能源工程师。空间站的能源系统由 N 个能量核心（编号 1∼N）组成。这些核心之间通过光缆连接，形成了一个严密的树状网络，其中 1 号核心是主反应堆（根节点）。

除了主反应堆外，每个核心都有且仅有一个"上级供能节点"（父节点）。

每个能量核心 i 都有一个固定的额定功率 ai​。现在你需要激活这些核心来为空间站供电。但是，系统存在一个致命的物理缺陷："相位共振"。

规则： 如果一个能量核心和它的直连上级节点同时被激活，它们之间会产生剧烈的相位共振，导致线路熔断。 简单来说：相邻的父子节点不能同时被激活。

【你的任务】 在不触发"相位共振"的前提下（即任意一条连接线两端的节点不能同时被选），制定一个激活方案，使得所有被激活核心的总功率之和最大。

【输入格式】

• 第一行：一个整数 N（核心总数）。

• 第二行：N−1 个整数，第 i 个数表示第 i+1 号核心的上级节点（父节点）。

• 第三行：N 个整数，表示每个核心的额定功率 a[i]​。

【输出格式】

• 一个整数，表示能获得的最大总功率。

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算法核心：树形 DP

这个问题本质上是在树上做决策：每个节点只有"激活"和"不激活"两种状态。

我们定义状态数组 dp[u][0/1]：

• dp[u][0] ：表示不激活节点 u 时，以 u 为根的子系统能提供的最大功率。

• dp[u][1] ：表示激活节点 u 时，以 u 为根的子系统能提供的最大功率。

状态转移方程（决策逻辑）：

1. 如果不激活当前节点 u (dp[u][0])： 它的子节点 v 就失去了限制，可以激活，也可以不激活。为了总功率最大，我们对每个子节点取两种情况的最大值并累加。

   dp[u][0]+=max(dp[v][0],dp[v][1])

2. 如果激活当前节点 u (dp[u][1])： 为了防止共振，它的子节点 v 绝对不能激活。

   dp[u][1]+=dp[v][0]

   别忘了加上 u 自身的功率 au​。

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解法一：DFS 递归

这是最符合人类思维的写法。利用 DFS 的"回溯"特性，先深入到最底层的叶子节点，算好后一层层向上汇报。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring> 
using namespace std;
const int maxn=100010;
int n;
int a[maxn]; // 核心功率
int h[maxn], vtex[maxn], nxt[maxn], idx;
long long dp[maxn][2];

// 邻接表存图
void addedge(int u,int v){
    vtex[idx]=v;
    nxt[idx]=h[u];
    h[u]=idx++;
}

// 递归计算
inline void dfs(int x){
    int p=h[x];
    while(p!=-1){
        int son=vtex[p];
        dfs(son); // 【递】先去计算子节点
        
        // 【归】状态转移
        // 1. x 不激活，子节点随意（选最大的）
        dp[x][0]+=max(dp[son][0],dp[son][1]);
        // 2. x 激活，子节点必须静默
        dp[x][1]+=dp[son][0];
        
        p=nxt[p];
    }
    dp[x][1]+=a[x]; // 激活 x，加上自身的功率
}

int main(){
    cin>>n;
    memset(h,-1,sizeof(h));
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int x;
        cin>>x;
        addedge(x,i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    
    dfs(1); // 从主反应堆开始
    cout<<max(dp[1][0],dp[1][1]);
    return 0;
}

---

解法二：BFS + 逆序 DP

为了解决递归过深的问题，我们采用BFS来模拟递归过程。

核心思路：

1. BFS 拓扑排序 ：利用队列，将树按层级展开，存入 vec 数组。这样保证了父节点一定在子节点前面。

2. 逆序遍历 ：我们倒着遍历 vec 数组（从最后一个元素往前）。这相当于从叶子节点向根节点推进。当我们处理父节点时，它的所有子节点一定已经处理完了，数据是现成的。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=100010;
int n;
int a[maxn];
int h[maxn], vtex[maxn], nxt[maxn], idx;
long long dp[maxn][2];
queue<int> q;
vector<int> vec; // 关键：存储BFS的拓扑序列

void addedge(int u,int v){
    vtex[idx]=v;
    nxt[idx]=h[u];
    h[u]=idx++;
}

int main(){
    cin>>n;
    memset(h,-1,sizeof(h));
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int x;
        cin>>x;
        addedge(x,i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    
    // --- 第一步：BFS 建立层级顺序 ---
    q.push(1); // 主反应堆入队
    vec.push_back(1);
    while(!q.empty()){
        int tmp=q.front();
        q.pop();
        int p=h[tmp];
        while(p!=-1){
            int v=vtex[p];
            q.push(v);
            vec.push_back(v); // 记录顺序：子节点永远在父节点后面
            p=nxt[p];
        }
    }
    
    // --- 第二步：逆序 DP (自底向上计算) ---
    // 倒序遍历 vec，相当于从树的边缘向中心汇聚
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        int u=vec[i]; // 取出当前要处理的核心编号
        int p=h[u];
        while(p!=-1){ // 遍历它的子节点
            int v=vtex[p];
            // 此时 v 一定已经计算完毕了，直接取值
            
            // 1. u 不激活，v 可选最大值
            dp[u][0]+=max(dp[v][1],dp[v][0]);
            // 2. u 激活，v 必须静默
            dp[u][1]+=dp[v][0];
            
            p=nxt[p];
        }
        dp[u][1]+=a[u]; // 加上自身功率
    }
    
    cout<<max(dp[1][0],dp[1][1]);
    return 0;
}

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总结

维度	DFS 递归版	BFS 非递归版
思维模型	"先钻到底，再回来汇报"	"先排好队，再倒着统计"
代码量	短小精悍	稍长（需维护队列和数组）
内存消耗	占用系统栈	占用堆内存
稳定性	深度过大时会崩溃	极其稳定