多目标鲸鱼优化算法（MOWOA）求解46个多目标函数及一个工程应用，包含四种评价指标，MATLAB代码

多目标鲸鱼优化算法（Multi‑Objective Whale Optimization Algorithm, MOWOA ）是基于单目标鲸鱼优化算法（WOA）扩展而来的多目标元启发式算法，核心是将座头鲸气泡网捕食行为与帕累托最优、非支配排序、外部存档等多目标优化机制融合，在平衡全局探索与局部开发的同时，高效逼近多目标优化问题（MOP）的帕累托最优前沿（PF）。其兼具WOA参数少、收敛快的优势，又适配多目标冲突场景，是工程与科学多目标优化的主流算法之一。

参考文献：

$1$ I. R. Kumawat, S. J. Nanda and R. K. Maddila, "Multi-objective whale optimization," TENCON 2017 - 2017 IEEE Region 10 Conference, Penang, Malaysia, 2017, pp. 2747-2752, doi: 10.1109/TENCON.2017.8228329.

一、算法起源与生物学基础

1.1 单目标WOA核心原理

WOA由Mirjalili与Lewis于2016年提出，模拟座头鲸气泡网捕食的三类核心行为：

包围猎物：鲸鱼向当前最优解（猎物）收缩移动，通过收敛因子控制搜索范围。
气泡网攻击：以螺旋路径逼近猎物，同时收缩包围圈，实现局部精细搜索。
随机搜索：当探索需求大于开发时，随机选择个体引导搜索，避免局部最优。

1.2 MOWOA的扩展动机

单目标WOA仅优化单一目标，无法处理多目标冲突场景。MOWOA通过引入帕累托支配、非支配排序、外部存档、拥挤距离等机制，将单目标搜索逻辑升级为多目标协同优化，目标是获得一组均匀分布、收敛性强的帕累托最优解集。

二、MOP数学定义与核心概念

2.1 多目标优化问题（MOP）

min⁡F(x)=(f1(x),f2(x),...,fM(x))Ts.t.x∈Ω⊆RD \begin{align*} \min \quad & \mathbf{F}(\mathbf{x}) = \left(f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), \dots, f_M(\mathbf{x})\right)^T \\ \text{s.t.} \quad & \mathbf{x} \in \Omega \subseteq \mathbb{R}^D \end{align*} mins.t.F(x)=(f1(x),f2(x),...,fM(x))Tx∈Ω⊆RD

x\mathbf{x}x：DDD维决策向量；Ω\OmegaΩ：决策空间；F(x)\mathbf{F}(\mathbf{x})F(x)：MMM维目标向量（M≥2M\ge2M≥2），目标间通常冲突。
帕累托支配 ：x1≺x2 ⟺ ∀i,fi(x1)≤fi(x2)∧∃j,fj(x1)<fj(x2)\mathbf{x}^1 \prec \mathbf{x}^2 \iff \forall i, f_i(\mathbf{x}^1) \le f_i(\mathbf{x}^2) \land \exists j, f_j(\mathbf{x}^1) < f_j(\mathbf{x}^2)x1≺x2⟺∀i,fi(x1)≤fi(x2)∧∃j,fj(x1)<fj(x2)。
帕累托最优解：不被任何解支配的解；其集合为帕累托最优集（PS），目标空间映射为PF。

2.2 MOWOA核心多目标机制

非支配排序：将种群按支配关系划分为不同层级，层级越高解质量越优。
拥挤距离：衡量目标空间中解的稀疏度，用于维持解集多样性。
外部存档（Archive）：存储迭代中所有非支配解，作为全局最优引导集。
领导者选择：从外部存档中随机/按规则选取个体，替代单目标WOA的单一全局最优，引导多目标搜索。

三、MOWOA核心数学模型

3.1 基础参数定义

种群规模：NNN；迭代次数：ttt；最大迭代：TmaxT_{\text{max}}Tmax；决策维度：DDD；目标维度：MMM。
收敛因子：a=2−2t/Tmaxa = 2 - 2t/T_{\text{max}}a=2−2t/Tmax（随迭代从2线性降至0，控制探索‑开发平衡）。
随机向量：A=2ar1−a\mathbf{A} = 2a\mathbf{r}_1 - aA=2ar1−a（r1∈ $0,1$ \mathbf{r}_1 \in $0,1$ r1∈ $0,1$ ，控制包围/随机搜索）；C=2r2\mathbf{C} = 2\mathbf{r}_2C=2r2（r2∈ $0,1$ \mathbf{r}_2 \in $0,1$ r2∈ $0,1$ ，权重系数）。
螺旋参数：bbb（常数，控制螺旋形状）；l∈ $-1,1$ l \in $-1,1$ l∈ $-1,1$ （随机数，控制螺旋步长）；p∈ $0,1$ p \in $0,1$ p∈ $0,1$ （随机概率，选择气泡网攻击/包围策略）。

3.2 位置更新公式（核心）

MOWOA保留WOA的三类位置更新逻辑，但领导者从外部存档选取，而非单一全局最优：

包围猎物（p≤0.5p \le 0.5p≤0.5 且 ∣A∣≤1|\mathbf{A}| \le 1∣A∣≤1）
X(t+1)=X∗(t)−A⋅D \mathbf{X}(t+1) = \mathbf{X}^*(t) - \mathbf{A} \cdot \mathbf{D} X(t+1)=X∗(t)−A⋅D
D=∣C⋅X∗(t)−X(t)∣ \mathbf{D} = |\mathbf{C} \cdot \mathbf{X}^*(t) - \mathbf{X}(t)| D=∣C⋅X∗(t)−X(t)∣
X∗(t)\mathbf{X}^*(t)X∗(t)：从外部存档随机选取的领导者解；D\mathbf{D}D：当前解与领导者的距离。
随机搜索（p≤0.5p \le 0.5p≤0.5 且 ∣A∣>1|\mathbf{A}| > 1∣A∣>1）
X(t+1)=Xr(t)−A⋅D \mathbf{X}(t+1) = \mathbf{X}_r(t) - \mathbf{A} \cdot \mathbf{D} X(t+1)=Xr(t)−A⋅D
D=∣C⋅Xr(t)−X(t)∣ \mathbf{D} = |\mathbf{C} \cdot \mathbf{X}_r(t) - \mathbf{X}(t)| D=∣C⋅Xr(t)−X(t)∣
Xr(t)\mathbf{X}_r(t)Xr(t)：种群中随机选取的个体，增强全局探索。
气泡网螺旋攻击（p>0.5p > 0.5p>0.5）
X(t+1)=D′⋅ebl⋅cos⁡(2πl)+X∗(t) \mathbf{X}(t+1) = \mathbf{D}' \cdot e^{bl} \cdot \cos(2\pi l) + \mathbf{X}^*(t) X(t+1)=D′⋅ebl⋅cos(2πl)+X∗(t)
D′=∣X∗(t)−X(t)∣ \mathbf{D}' = |\mathbf{X}^*(t) - \mathbf{X}(t)| D′=∣X∗(t)−X(t)∣
D′\mathbf{D}'D′：当前解与领导者的距离；螺旋路径实现局部精细开发。

四、标准MOWOA算法流程

步骤1：初始化

参数设置：N,Tmax,D,M,bN, T_{\text{max}}, D, M, bN,Tmax,D,M,b，决策变量上下界lb,ub\text{lb}, \text{ub}lb,ub。
种群初始化：随机生成NNN个初始解{Xi}i=1N\{\mathbf{X}i\}{i=1}^N{Xi}i=1N，计算目标向量F(Xi)\mathbf{F}(\mathbf{X}_i)F(Xi)。
外部存档初始化：筛选初始种群中的非支配解，存入外部存档Archive\text{Archive}Archive。

步骤2：迭代进化（循环至TmaxT_{\text{max}}Tmax）

参数更新 ：计算a,A,C,l,pa, \mathbf{A}, \mathbf{C}, l, pa,A,C,l,p。
领导者选择 ：从Archive\text{Archive}Archive中随机选取一个领导者X∗\mathbf{X}^*X∗。
位置更新 ：对每个个体Xi\mathbf{X}_iXi，按p,∣A∣p, |\mathbf{A}|p,∣A∣选择包围/随机/螺旋策略更新位置，得到新解Xi′\mathbf{X}_i'Xi′，计算F(Xi′)\mathbf{F}(\mathbf{X}_i')F(Xi′)。
非支配排序与存档更新 ：
- 合并原种群与新解，执行非支配排序，划分层级。
- 按层级+拥挤距离筛选非支配解，更新Archive\text{Archive}Archive（剔除被支配解，保留优质解）。
种群更新 ：从Archive\text{Archive}Archive与新解中选取NNN个解，构成新一代种群。

步骤3：终止与输出

达到最大迭代次数后，输出外部存档Archive\text{Archive}Archive，作为MOP的帕累托最优近似解集。

五、关键技术模块解析

5.1 外部存档管理（核心）

存档维护 ：每次迭代后，合并新旧解，执行非支配排序，仅保留非支配解；若存档溢出，按拥挤距离剔除密集区域解，维持多样性。
领导者选择策略 ：
- 随机选择：简单高效，适配多数场景。
- 拥挤距离优先：选择拥挤距离大的解，提升解集均匀性。
- 分解引导：结合MOEA/D的权重向量，按偏好选择领导者，适配特定目标方向。

5.2 非支配排序与拥挤距离

非支配排序 ：将解划分为F1,F2,...F_1, F_2, \dotsF1,F2,...层级，F1F_1F1为第一级非支配解（最优），后续层级依次被前一层级支配。
拥挤距离：计算每个解在目标空间中相邻解的目标差值之和，值越大表示解越稀疏，多样性越好；用于存档筛选与种群选择。

5.3 探索‑开发平衡机制

收敛因子aaa：迭代前期aaa大，A\mathbf{A}A易大于1，侧重随机搜索（探索）；后期aaa小，A\mathbf{A}A易小于1，侧重包围与螺旋攻击（开发）。
概率ppp：控制气泡网攻击与包围的比例，默认p=0.5p=0.5p=0.5，可自适应调整以适配问题特性。

六、MOWOA应用

MOWOA用于求解46个多目标测试函数（ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6、DTLZ1-DTLZ7、WFG1-WFG10、UF1-UF10、CF1-CF10、Kursawe、Poloni、Viennet2、Viennet3）以及1个工程应用（盘式制动器设计）,并采用IGD、GD、HV、SP进行评价。

6.1部分代码

bash 复制代码

close all;
clear ; 
clc;
%%
% TestProblem测试问题说明：
%一共46个多目标测试函数，详情如下：
%1-5:ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6
%6-12：DZDT1-DZDT7
%13-22：wfg1-wfg10
%23-32：uf1-uf10
%33-42：cf1-cf10
%43-46:Kursawe、Poloni、Viennet2、Viennet3
%47 盘式制动器设计 温泽宇,谢珺,谢刚,续欣莹.基于新型拥挤度距离的多目标麻雀搜索算法[J].计算机工程与应用,2021,57(22):102-109.
%%
TestProblem=47;%1-47
MultiObj = GetFunInfo(TestProblem);
MultiObjFnc=MultiObj.name;%问题名
% Parameters
params.Np = 100;        % Population size
params.Nr = 100;        % Repository size
params.maxgen =100;    % Maximum number of generations
[x,f] = MOwoa(params,MultiObj);