多目标鲸鱼优化算法（Multi‑Objective Whale Optimization Algorithm, MOWOA ）是基于单目标鲸鱼优化算法（WOA）扩展而来的多目标元启发式算法，核心是将座头鲸气泡网捕食行为与帕累托最优、非支配排序、外部存档等多目标优化机制融合，在平衡全局探索与局部开发的同时，高效逼近多目标优化问题（MOP）的帕累托最优前沿（PF）。其兼具WOA参数少、收敛快的优势，又适配多目标冲突场景，是工程与科学多目标优化的主流算法之一。
参考文献：
1\]I. R. Kumawat, S. J. Nanda and R. K. Maddila, "**Multi-objective whale optimization**," TENCON 2017 - 2017 IEEE Region 10 Conference, Penang, Malaysia, 2017, pp. 2747-2752, doi: 10.1109/TENCON.2017.8228329.
### 一、算法起源与生物学基础
#### 1.1 单目标WOA核心原理
WOA由Mirjalili与Lewis于2016年提出，模拟座头鲸**气泡网捕食**的三类核心行为：
1. **包围猎物**：鲸鱼向当前最优解（猎物）收缩移动，通过收敛因子控制搜索范围。
2. **气泡网攻击**：以螺旋路径逼近猎物，同时收缩包围圈，实现局部精细搜索。
3. **随机搜索**：当探索需求大于开发时，随机选择个体引导搜索，避免局部最优。
#### 1.2 MOWOA的扩展动机
单目标WOA仅优化单一目标，无法处理多目标冲突场景。MOWOA通过引入**帕累托支配、非支配排序、外部存档、拥挤距离**等机制，将单目标搜索逻辑升级为多目标协同优化，目标是获得一组均匀分布、收敛性强的帕累托最优解集。
### 二、MOP数学定义与核心概念
#### 2.1 多目标优化问题（MOP）
minF(x)=(f1(x),f2(x),...,fM(x))Ts.t.x∈Ω⊆RD \\begin{align\*} \\min \\quad \& \\mathbf{F}(\\mathbf{x}) = \\left(f_1(\\mathbf{x}), f_2(\\mathbf{x}), \\dots, f_M(\\mathbf{x})\\right)\^T \\\\ \\text{s.t.} \\quad \& \\mathbf{x} \\in \\Omega \\subseteq \\mathbb{R}\^D \\end{align\*} mins.t.F(x)=(f1(x),f2(x),...,fM(x))Tx∈Ω⊆RD
* x\\mathbf{x}x：DDD维决策向量；Ω\\OmegaΩ：决策空间；F(x)\\mathbf{F}(\\mathbf{x})F(x)：MMM维目标向量（M≥2M\\ge2M≥2），目标间通常冲突。
* **帕累托支配** ：x1≺x2 ⟺ ∀i,fi(x1)≤fi(x2)∧∃j,fj(x1)\1\|\\mathbf{A}\| \> 1∣A∣\>1）**
X(t+1)=Xr(t)−A⋅D \\mathbf{X}(t+1) = \\mathbf{X}_r(t) - \\mathbf{A} \\cdot \\mathbf{D} X(t+1)=Xr(t)−A⋅D
D=∣C⋅Xr(t)−X(t)∣ \\mathbf{D} = \|\\mathbf{C} \\cdot \\mathbf{X}_r(t) - \\mathbf{X}(t)\| D=∣C⋅Xr(t)−X(t)∣
Xr(t)\\mathbf{X}_r(t)Xr(t)：种群中随机选取的个体，增强全局探索。
3. **气泡网螺旋攻击（p\>0.5p \> 0.5p\>0.5）**
X(t+1)=D′⋅ebl⋅cos(2πl)+X∗(t) \\mathbf{X}(t+1) = \\mathbf{D}' \\cdot e\^{bl} \\cdot \\cos(2\\pi l) + \\mathbf{X}\^\*(t) X(t+1)=D′⋅ebl⋅cos(2πl)+X∗(t)
D′=∣X∗(t)−X(t)∣ \\mathbf{D}' = \|\\mathbf{X}\^\*(t) - \\mathbf{X}(t)\| D′=∣X∗(t)−X(t)∣
D′\\mathbf{D}'D′：当前解与领导者的距离；螺旋路径实现局部精细开发。
### 四、标准MOWOA算法流程
#### 步骤1：初始化
1. 参数设置：N,Tmax,D,M,bN, T_{\\text{max}}, D, M, bN,Tmax,D,M,b，决策变量上下界lb,ub\\text{lb}, \\text{ub}lb,ub。
2. 种群初始化：随机生成NNN个初始解{Xi}i=1N\\{\\mathbf{X}_i\\}_{i=1}\^N{Xi}i=1N，计算目标向量F(Xi)\\mathbf{F}(\\mathbf{X}_i)F(Xi)。
3. 外部存档初始化：筛选初始种群中的非支配解，存入外部存档Archive\\text{Archive}Archive。
#### 步骤2：迭代进化（循环至TmaxT_{\\text{max}}Tmax）
1. **参数更新** ：计算a,A,C,l,pa, \\mathbf{A}, \\mathbf{C}, l, pa,A,C,l,p。
2. **领导者选择** ：从Archive\\text{Archive}Archive中随机选取一个领导者X∗\\mathbf{X}\^\*X∗。
3. **位置更新** ：对每个个体Xi\\mathbf{X}_iXi，按p,∣A∣p, \|\\mathbf{A}\|p,∣A∣选择包围/随机/螺旋策略更新位置，得到新解Xi′\\mathbf{X}_i'Xi′，计算F(Xi′)\\mathbf{F}(\\mathbf{X}_i')F(Xi′)。
4. **非支配排序与存档更新** ：
* 合并原种群与新解，执行非支配排序，划分层级。
* 按层级+拥挤距离筛选非支配解，更新Archive\\text{Archive}Archive（剔除被支配解，保留优质解）。
5. **种群更新** ：从Archive\\text{Archive}Archive与新解中选取NNN个解，构成新一代种群。
#### 步骤3：终止与输出
达到最大迭代次数后，输出外部存档Archive\\text{Archive}Archive，作为MOP的帕累托最优近似解集。
### 五、关键技术模块解析
#### 5.1 外部存档管理（核心）
* **存档维护** ：每次迭代后，合并新旧解，执行非支配排序，仅保留非支配解；若存档溢出，按**拥挤距离**剔除密集区域解，维持多样性。
* **领导者选择策略** ：
* 随机选择：简单高效，适配多数场景。
* 拥挤距离优先：选择拥挤距离大的解，提升解集均匀性。
* 分解引导：结合MOEA/D的权重向量，按偏好选择领导者，适配特定目标方向。
#### 5.2 非支配排序与拥挤距离
* **非支配排序** ：将解划分为F1,F2,...F_1, F_2, \\dotsF1,F2,...层级，F1F_1F1为第一级非支配解（最优），后续层级依次被前一层级支配。
* **拥挤距离**：计算每个解在目标空间中相邻解的目标差值之和，值越大表示解越稀疏，多样性越好；用于存档筛选与种群选择。
#### 5.3 探索‑开发平衡机制
* 收敛因子aaa：迭代前期aaa大，A\\mathbf{A}A易大于1，侧重随机搜索（探索）；后期aaa小，A\\mathbf{A}A易小于1，侧重包围与螺旋攻击（开发）。
* 概率ppp：控制气泡网攻击与包围的比例，默认p=0.5p=0.5p=0.5，可自适应调整以适配问题特性。
### 六、MOWOA应用
MOWOA用于求解46个多目标测试函数（ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6、DTLZ1-DTLZ7、WFG1-WFG10、UF1-UF10、CF1-CF10、Kursawe、Poloni、Viennet2、Viennet3）以及1个工程应用（盘式制动器设计）,并采用IGD、GD、HV、SP进行评价。
#### 6.1部分代码
```bash
close all;
clear ;
clc;
%%
% TestProblem测试问题说明：
%一共46个多目标测试函数，详情如下：
%1-5:ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6
%6-12：DZDT1-DZDT7
%13-22：wfg1-wfg10
%23-32：uf1-uf10
%33-42：cf1-cf10
%43-46:Kursawe、Poloni、Viennet2、Viennet3
%47 盘式制动器设计 温泽宇,谢珺,谢刚,续欣莹.基于新型拥挤度距离的多目标麻雀搜索算法[J].计算机工程与应用,2021,57(22):102-109.
%%
TestProblem=47;%1-47
MultiObj = GetFunInfo(TestProblem);
MultiObjFnc=MultiObj.name;%问题名
% Parameters
params.Np = 100; % Population size
params.Nr = 100; % Repository size
params.maxgen =100; % Maximum number of generations
[x,f] = MOwoa(params,MultiObj);
```
#### 6.2部分结果
### 八、完整MATLAB代码见下方名片