【状态压缩动态规划】P8733 [蓝桥杯 2020 国 C] 状态压缩动态规划|普及+

闻缺陷则喜何志丹2026-02-16 9:29

本文涉及知识点

C++动态规划

P8733 [蓝桥杯 2020 国 C] 补给

题目描述

小蓝是一个直升飞机驾驶员，他负责给山区的 n n n 个村庄运送物资。

每个月，他都要到每个村庄至少一次，可以多于一次，将村庄需要的物资运送过去。

每个村庄都正好有一个直升机场，每两个村庄之间的路程都正好是村庄之间的直线距离。

由于直升机的油箱大小有限，小蓝单次飞行的距离不能超过 D D D。每个直升机场都有加油站，可以给直升机加满油。

每个月，小蓝都是从总部出发，给各个村庄运送完物资后回到总部。如果方便，小蓝中途也可以经过总部来加油。

总部位于编号为 1 1 1 的村庄。

请问，要完成一个月的任务，小蓝至少要飞行多长距离？

输入格式

输入的第一行包含两个整数 n n n， D D D，分别表示村庄的数量和单次飞行的距离。

接下来 n n n 行描述村庄的位置，其中第 i i i 行两个整数 x i x_i xi， y i y_i yi 分别表示编号为 i i i 的村庄的坐标。村庄 i i i 和村庄 j j j 之间的距离为 ( x i − x j ) 2 + ( y i − y j ) 2 \sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2} (xi−xj)2+(yi−yj)2 。

输出格式

输出一行，包含一个实数，四舍五入保留正好 2 2 2 位小数，表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

复制代码 
4 6
1 1
4 5
8 5
11 1

输出 #1

复制代码 
28.00

说明/提示

对于所有数据，保证， 1 ≤ n ≤ 20 , 1 ≤ x i , y i ≤ 10 4 , 1 ≤ D ≤ 10 5 1\le n\le20,1\le x_i,y_i\le10^4,1\le D\le10^5 1≤n≤20,1≤xi,yi≤104,1≤D≤105。

蓝桥杯 2020 年国赛 C 组 I 题。

P8733 [蓝桥杯 2020 国 C] 状态压缩动态规划

如果两个村庄距离<=D，则相邻。建立邻接表。

动态规划的状态表示

dp[mask][end] 记录最小飞行距离：当前在end，（1<<i）& mask 表示是否补给过第i个村庄。
空间复杂度 ： O ( n 2 n ) O(n2^n) O(n2n)。

动态规划的填报顺序

第一层和第二层循环，枚举前置状态:mask和end。mask从小到大。

第三层循环，枚举新的当前位置nend。
时间复杂度 ： O ( n n 2 n ) O(nn2^n) O(nn2n)

动态规划的转移方程

MinSelf(dp[mask | (1 << nend)][nend],dp[mask][end]+ 两者距离)

动态规划的初始值

dp[0][0]=0,其它INF/2。

动态规划的返回值

min(dp[mask][end]+ (end到0的距离))

#错误原因： 无后效性证明

mask，end经过n1个村庄，则其最佳前置mask1一定经过n-1个村庄且不包括end。

如果mask1经过了n+1个村庄，则到达end后，至少经过n+1村庄，和假设不符。

如果mask1经过了n个村庄，不包括end，在mask经过n+1个村庄，和假设不符。

如果mask1经过了n个村庄，且包括end。mask1和mask 可能相等。

如果mask1经过了n-2或更少的村庄，则mask经过n-1或更少的村庄，和假设不符。

如果mask1经过你n-1村庄，且经过了end，则mask只经过n-1个村庄，和假设不符。

故：除第end位,mask为1，mask1为0外，其它位都相同。即mask1 < mask。

优化

理论上：end和nend都是第一次经过，且可以通过已经经过的其它村庄中转。这样mask从小到大枚举，可以保证无后续性。

实际上：end和nend可以途径没有经过的村庄，即任意村庄。假定经过j1，则一定会枚举到dp[mask][nend] = dp[mask |(1<<j1)][end]。后者不劣于前者。

代码

核心代码

必须用double，不能用float。

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

template<class T = int >
class CFloyd
{
public:
	CFloyd(int n, const T INF = 1000 * 1000 * 1000) :m_INF(INF)
	{
		m_vMat.assign(n, vector<T>(n, m_INF));
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			m_vMat[i][i] = 0;
		}
	}
	void SetEdge(int i1, int i2, const T& dis, bool bDirect = false)
	{
		m_vMat[i1][i2] = min(m_vMat[i1][i2], dis);
		if (!bDirect) {
			m_vMat[i2][i1] = m_vMat[i1][i2];
		}
	}
	vector<vector<T>> Dis()const
	{
		auto vResMat = m_vMat;
		const int n = m_vMat.size();
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{//通过i中转
			for (int i1 = 0; i1 < n; i1++)
			{
				if (m_INF == vResMat[i1][i])
				{
					continue;
				}
				for (int i2 = 0; i2 < n; i2++)
				{
					//此时：m_vMat[i1][i2] 表示通过[0,i)中转的最短距离
					vResMat[i1][i2] = min(vResMat[i1][i2], vResMat[i1][i] + vResMat[i][i2]);
					//m_vMat[i1][i2] 表示通过[0,i]中转的最短距离
				}
			}
		}
		return vResMat;
	};
	vector<vector<T>> m_vMat;//结果串
	const T m_INF;
};
class Solution {
public:
	double Ans(const long long D, vector<pair<int, int>>& pts) {
		const int N = pts.size();
		const int MC = 1 << N;
		auto Dis2 = [&](int i, int j) {
			return (pts[i].first - pts[j].first) * (pts[i].first - pts[j].first) + (pts[i].second - pts[j].second) * (pts[i].second - pts[j].second);
		};

		vector<vector<double>> dis;
		{
			CFloyd<double> floyd(N);
			for (int u = 0; u < N; u++) {
				for (int v = u + 1; v < N; v++) {
					const int dis2 = Dis2(u, v);
					if (dis2 > D * D) { continue; }
					floyd.m_vMat[u][v] = floyd.m_vMat[v][u] = sqrt(dis2);
				}
			}
			dis = floyd.Dis();
		}
		vector<vector<double>> dp(MC, vector<double>(N, 1e9));
		dp[1 << 0][0] = 0;
		for (int mask = 0; mask < MC; mask++) {
			for (int end = 0; end < N; end++) {
				for (int nend = 0; nend < N; nend++) {
					const int nmask = mask | (1 << nend);
					dp[nmask][nend] = min(dp[nmask][nend], dp[mask][end] + dis[end][nend]);
				}
			}
		}
		double ans = 1e9;
		for (int end = 0; end < N; end++) {
			ans = min(ans, dp[MC - 1][end] + dis[end][0]);
		}
		return ans;
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	//ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
	long long N, D;
	cin >> N >> D;
	auto pts = Read<pair<int, int>>(N);
#ifdef _DEBUG		
	printf("D=%d", D);
	Out(pts, ",pts=");
	//Out(que, "que=");
	//Out(B, "B=");
	//Out(que, "que=");
	//Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	
	auto res = Solution().Ans(D,pts);
	printf("%.2lf\n", res);
	return 0;
}

单元测试

cpp 复制代码 
int D;
		vector<pair<int, int>> pts;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			D = 6, pts = { {1,1},{4,5},{8,5},{11,1} };
			auto res = Solution().Ans(D,pts);
			AssertEx((double)28.00, (double)res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功 成功+反思=成功

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https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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