基础算法学习1

分数规划

题目一：洛谷P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G

思路：

考虑01背包。

二分一个答案x，把wi作为第i个物品的重量，ti-x*wi作为第i个物品的价值，那么dp[n][W]就是最大值。另外，Σwi可能超过W，此时直接视为W即可。若dp[n][W]>=0，就继续最大化x。同时滚动数组，降低维数。

代码：

int n,W;
int w[N],t[N];
double dp[N*4]; //dp[i]:t[i]-x*w[i];

bool check(double x){
    for(int i=1;i<=W;i++) dp[i]=-1e9;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=W;j>=0;j--){
            int k=min(W,j+w[i]);
            dp[k]=max(dp[k],dp[j]+t[i]-x*w[i]);
        }
    }
    return dp[W]>=0;
}

double find(){
    double l=0,r=1000;
    while(r-l>1e-5){
        double mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)) l=mid;
        else r=mid;
    }
    return r;
}

void solve(){
    cin>>n>>W;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>w[i]>>t[i];
    }
    int ans=find()*1000;
    cout<<ans<<endl;
}

题目二：P3199 [HNOI2009] 最小圈

思路：

0/1分数规划

每条边边权wi，求一个环C使环C中Σwi/Σ1最小。

二分一个答案x，把wi-x作为边权，那么最小环就是最小值，判断最小值是否<=0，等价于判负环。

代码：

struct edge{
    int v;
    double w;
    edge(int a,double b){
        v=a;
        w=b;
    }
};
vector<edge> e[N];
bool vis[N];
double d[N];
int n,m;

bool spfa(int u,double x){
    vis[u]=1;
    for(auto ei:e[u]){
        int v=ei.v;
        if(d[v]>1.0*d[u]+ei.w-x){
            d[v]=1.0*d[u]+ei.w-x;
            if(vis[v]||spfa(v,x)) return 1;
        }
    }
    vis[u]=0;
    return 0;
}

bool check(double x){
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    memset(vis,0,sizeof vis);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(spfa(i,x)) return 1;
    }
    return 0;
}

double find(){
    double l=-1e7,r=1e7;
    while(r-l>1e-10){
        double mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)) r=mid;
        else l=mid;
    }
    return r;
}

void solve(){
    cin>>n>>m;
    int u,v,w;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>u>>v>>w;
        e[u].push_back(edge(v,w));
    }
    printf("%.8lf\n",find());
}